Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.
Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:
Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?
Основной алгоритм
На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:
Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:
Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной
Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?
Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.
Более быстрый способ
В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:
- Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
- Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}^{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
- По возможности сократить полученную дробь.
Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:
Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}^{n}}={{10}^{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)
Ещё один пример:
Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}^{n}}={{10}^{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.
Наконец, последний пример:
Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.
Что делать с целой частью
На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.
Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:
Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:
\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]
Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:
\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]
В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)
В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.
Преобразования «на слух»
Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.
А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.
Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:
Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому
А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому
В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому
\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]
Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.
На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «
Говоря сухим математическим языком, дробь - это число, которое представляется в виде части от единицы. Дроби широко используются в жизни человека: при помощи дробных чисел мы указываем пропорции в кулинарных рецептах, выставляем десятичные оценки на соревнованиях или используем их для подсчета скидок в магазинах.
Представление дробей
Существует минимум две формы записи одного дробного числа: в десятичной форме или в виде обыкновенной дроби. В десятичной форме числа выглядят как 0,5; 0,25 или 1,375. Любое из этих значений мы может представить в виде обыкновенной дроби:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
И если 0,5 и 0,25 мы без проблем конвертируем из обыкновенной дроби в десятичную и обратно, то в случае с числом 1,375 все неочевидно. Как быстро преобразовать любое десятичное число в дробь? Существует три простых способа.
Избавляемся от запятой
Самый простой алгоритм подразумевает умножение числа на 10 до тех пор, пока из числителя не исчезнет запятая. Такое преобразование осуществляется в три шага:
Шаг 1 : Для начала десятичное число запишем в виде дроби «число/1», то есть мы получим 0,5/1; 0,25/1 и 1,375/1.
Шаг 2 : После этого умножим числитель и знаменатель новых дробей до тех пор, пока из числителей не исчезнет запятая:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Шаг 3 : Сокращаем полученные дроби до удобоваримого вида:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Число 1,375 пришлось три раза умножать на 10, что уже не очень удобно, а что нам придется делать в случае, если понадобится преобразовать число 0,000625? В этой ситуации используем следующий способ преобразования дробей.
Избавляемся от запятой еще проще
Первый способ детально описывает алгоритм «удаления» запятой из десятичной дроби, однако мы можем упростить этот процесс. И вновь мы выполняем три шага.
Шаг 1 : Считаем, сколько цифр стоит после запятой. К примеру, у числа 1,375 таких цифр три, а у 0,000625 - шесть. Это количество мы обозначим буквой n.
Шаг 2 : Теперь нам достаточно представить дробь в виде C/10 n , где C – это значимые цифры дроби (без нулей, если они есть), а n – количество цифр после запятой. К примеру:
- для числа 1,375 C = 1375, n = 3, итоговая дробь согласно формуле 1375/10 3 = 1375/1000;
- для числа 0,000625 C = 625, n = 6, итоговая дробь согласно формуле 625/10 6 = 625/1000000.
По сути, 10 n – это 1 с количеством нулей, равным n, поэтому вам не нужно заморачиваться с возведением десятки в степень - достаточно указать 1 с n нулей. После этого столь богатую на нули дробь желательно сократить.
Шаг 3 : Сокращаем нули и получаем итоговый результат:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Дробь 11/8 - это неправильная дробь, так как числитель у нее больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. В этой ситуации мы вычитаем из 11/8 целую часть 8/8 и получаем остаток 3/8, следовательно, дробь выглядит как 1 и 3/8.
Преобразование на слух
Для тех, кто умеет правильно читать десятичные дроби, проще всего их преобразовать на слух. Если вы читаете 0,025 не как «ноль, ноль, двадцать пять», а как «25 тысячных», то у вас не будет никаких проблем с конвертацией десятичных чисел в обыкновенные дроби.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Таким образом, правильное прочтение десятичного числа позволяет сразу же записать ее как обыкновенную дробь и сократить в случае необходимости.
Примеры использования дробей в повседневной жизни
На первый взгляд обыкновенные дроби практически не используются в быту или на работе и трудно представить ситуацию, когда вам понадобится перевести десятичную дробь в обычную за пределами школьных задач. Рассмотрим пару примеров.
Работа
Итак, вы работаете в кондитерском магазине и продаете халву на развес. Для простоты реализации продукта вы разделяете халву на килограммовые брикеты, однако мало кто из покупателей готов приобрести целый килограмм. Поэтому вам приходится каждый раз разделять лакомство на кусочки. И если очередной покупатель попросит у вас 0,4 кг халвы, вы без проблем продадите ему нужную порцию.
0,4 = 4/10 = 2/5
Быт
К примеру, необходимо сделать 12 % раствор для покраски модели в нужный вам оттенок. Для этого нужно смешать краску и растворитель, но как правильно это сделать? 12 % - это десятичная дробь 0,12. Преобразовываем число в обыкновенную дробь и получаем:
0,12 = 12/100 = 3/25
Зная дроби, вы сможете правильно смешать компоненты и получить нужный цвет.
Заключение
Дроби широко используются в повседневной жизни, поэтому если вам часто необходимо преобразовывать десятичные значения в обыкновенные дроби, вам пригодится онлайн-калькулятор, при помощи которого можно мгновенно получить результат в виде уже сокращенной дроби.
Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах 
Преобразование дроби в десятичное число
Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или
Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.
Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,
Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,
Преобразование смешанной дроби в неправильную
Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть
При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей
Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)
Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное.
Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат
- 20.09.2014
Практически все бытовые и профессиональные диммеры основаны на симисторах, также известных как фазорегулирующие (или фазосрезающие) диммеры. Эти устройства проводят ток, как только симистор запущен, при условии, что протекающий ток превышает минимальный ток удержания. Эти диммеры очень хорошо работают с резистивной нагрузкой, например, с лампами накаливания, так как симистор продолжает проводить …
- 15.03.2016
Стабистор является разновидностью полупроводникового диода в которым для стабилизации напряжения используется прямая ветвь вольт-амперной характеристики. Основное отличие стабисторов от стабилитронов является меньшее напряжение стабилизация, на уровне 0.7 В. Последовательное соединение нескольких стабисторов дает возможность увеличить напряжение стабилизации. Стабисторам присущ отрицательный температурный коэффициент сопротивления, то есть напряжение на стабисторе при неизменном токе …
- 25.09.2014
Бурно развивающаяся современная цифровая электроника требует от радиолюбителей глубоких знаний и хорошей измерительной техники. Если первое вполне достижимо, то второе при огромной дороговизне импортной аппаратуры и морально устаревшей отечественной приводит в тупиковую ситуацию, из которой выход можно найти совместными усилиями. В процессе наладки схем последовательной логики радиолюбителю может потребоваться одновременно …
- 21.09.2014
Автомат-выключатель освещения предназначен для отключения света в дневное время суток, его светочувствительным прибором служит фоторезистор R1 который включен на входе порогового уст-ва собранного на элементах DD1.1 DD1.3. При нормальной освещенности сопротивление фоторезистора мало, поэтому на выходе DD1.3 будет напряжение высокого уровня и генератор импульсов собранный на элементах DD1.2 DD1.4 не …
