Kā atrast matricas apgriezto vērtību, izmantojot Gausa metodi. Matricas algebra - apgrieztā matrica. Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam

Apgrieztās matricas atrašanas metodes. Apsveriet kvadrātveida matricu

Apzīmēsim Δ = det A.

Kvadrātmatricu A sauc nedeģenerēts, vai nav īpašs, ja tā determinants nav nulle, un deģenerēts, vai īpašs, JaΔ = 0.

Kvadrātmatrica B ir paredzēta tādas pašas kārtas kvadrātmatricai A, ja tās reizinājums ir A B = B A = E, kur E ir identitātes matrica tādā pašā secībā kā matricām A un B.

Teorēma . Lai matricai A būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tās determinants atšķirtos no nulles.

Apgrieztā matrica matrica A, ko apzīmē ar A- 1, tātad B = A - 1 un tiek aprēķināts pēc formulas

, (1)

kur A i j ir matricas A elementu a i j algebriskie papildinājumi.

A -1 aprēķins, izmantojot formulu (1) matricām augsta kārtība ir ļoti darbietilpīgs, tāpēc praksē ir ērti atrast A -1, izmantojot elementāro pārveidojumu (ET) metodi. Jebkuru nevienskaitļa matricu A var reducēt līdz identitātes matricai E, izmantojot tikai kolonnu (vai tikai rindu) ED. Ja identitātes matricai E tiek piemēroti ED, kas pilnveidoti, izmantojot matricu E, tad rezultāts ir apgrieztā matrica. Ir ērti veikt EP uz matricām A un E vienlaicīgi, rakstot abas matricas blakus pa līniju. Vēlreiz atzīmēsim, ka, meklējot matricas kanonisko formu, lai to atrastu, var izmantot rindu un kolonnu transformācijas. Ja jums ir jāatrod matricas apgrieztā vērtība, transformācijas procesā izmantojiet tikai rindas vai tikai kolonnas.

1. piemērs. Matricai atrast A -1 .

Risinājums.Vispirms atrodam matricas A determinantu
Tas nozīmē, ka pastāv apgrieztā matrica, un mēs to varam atrast, izmantojot formulu: , kur A i j (i,j=1,2,3) ir oriģinālās matricas elementu a i j algebriskie papildinājumi.

Kur .

2. piemērs. Izmantojot elementāro pārveidojumu metodi, atrodiet matricai A -1: A = .

Risinājums.Mēs piešķiram oriģinālajai matricai labajā pusē identitātes matricu tādā pašā secībā: . Izmantojot kolonnu elementārās transformācijas, mēs reducēsim kreiso “pusi” līdz identitātei, vienlaikus veicot tieši tādas pašas transformācijas labajā matricā.
Lai to izdarītu, samainiet pirmo un otro kolonnu: ~ . Trešajai kolonnai pievienojam pirmo, bet otrajai - pirmo, reizinot ar -2: . No pirmās kolonnas mēs atņemam otro dubultotu, bet no trešās - otro reizinātu ar 6; . Pievienosim trešo kolonnu pirmajai un otrajai: . Reiziniet pēdējo kolonnu ar -1: . Kvadrātmatrica, kas iegūta pa labi no vertikālās joslas, ir dotās matricas A apgrieztā matrica.
.

Lai ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica

Tiek izsaukta matrica A -1 apgrieztā matrica attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica.

Identitātes matrica- tāda kvadrātveida matrica, kurā visi elementi atrodas gar galveno diagonāli, kas iet no kreisās puses augšējais stūris apakšējā labajā stūrī ir vieninieki, bet pārējie ir nulles, piemēram:

Apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām tie. tām matricām, kurās rindu un kolonnu skaits sakrīt.

Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam

Lai matricai būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā nebūtu vienskaitlī.

Tiek izsaukta matrica A = (A1, A2,...A n). nedeģenerēts, ja kolonnu vektori ir lineāri neatkarīgi. Matricas lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru skaitu sauc par matricas rangu. Tāpēc mēs varam teikt, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai matricas rangs būtu vienāds ar tās dimensiju, t.i. r = n.

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

1. Tabulā ierakstiet matricu A vienādojumu sistēmu atrisināšanai pēc Gausa metodes un piešķiriet tai matricu E labajā pusē (vienādojumu labās puses vietā).
2. Izmantojot Jordan transformācijas, reducēt matricu A līdz matricai, kas sastāv no vienību kolonnām; šajā gadījumā ir nepieciešams vienlaicīgi pārveidot matricu E.
3. Ja nepieciešams, pārkārtojiet pēdējās tabulas rindas (vienādojumus), lai zem sākotnējās tabulas matricas A iegūtu identitātes matricu E.
4. Pierakstiet apgriezto matricu A -1, kas atrodas pēdējā tabulā zem sākotnējās tabulas matricas E.

Matricai A atrodiet apgriezto matricu A -1

Risinājums: Mēs rakstām matricu A un piešķiram identitātes matricu E, izmantojot Jordan transformācijas, reducējam matricu A līdz identitātes matricai E. Aprēķini ir doti 31.1. tabulā.

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu A un apgriezto matricu A -1.

Matricas reizināšanas rezultātā tika iegūta identitātes matrica. Tāpēc aprēķini tika veikti pareizi.

Atbilde:

Matricu vienādojumu risināšana

Matricas vienādojumi var izskatīties šādi:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica.

Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.

Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē.

Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē.

Citi vienādojumi tiek atrisināti līdzīgi.

Atrisiniet vienādojumu AX = B, ja

Risinājums: Tā kā apgrieztā matrica ir vienāda ar (skat. 1. piemēru)

Matricas metode ekonomiskajā analīzē

Kopā ar citiem tiek izmantoti arī tie matricas metodes . Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru. Šādas metodes tiek izmantotas, lai analizētu sarežģītas un daudzdimensionālas ekonomikas parādības. Visbiežāk šīs metodes tiek izmantotas, ja nepieciešams veikt organizāciju un to struktūrvienību darbības salīdzinošo novērtējumu.

Matricas analīzes metožu pielietošanas procesā var izdalīt vairākus posmus.

Pirmajā posmā sistēma tiek veidota ekonomiskie rādītāji un uz tās pamata tiek sastādīta avota datu matrica, kas ir tabula, kurā sistēmas numuri tiek parādīti atsevišķās rindās (i = 1,2,....,n), un vertikālajās kolonnās - rādītāju numuri (j = 1,2,....,m).

Otrajā posmā Katrai vertikālajai kolonnai tiek identificēta lielākā no pieejamajām indikatora vērtībām, kas tiek uzskatīta par vienu.

Pēc tam visas šajā slejā atspoguļotās summas tiek dalītas ar augstākā vērtība un veidojas standartizēto koeficientu matrica.

Trešajā posmā visas matricas sastāvdaļas ir kvadrātā. Ja tiem ir atšķirīga nozīme, tad katram matricas indikatoram tiek piešķirts noteikts svara koeficients k. Pēdējās vērtību nosaka ekspertu atzinums.

Pēdējā, ceturtais posms atrastas vērtējuma vērtības Rj ir sagrupēti to pieauguma vai samazinājuma secībā.

Izklāstītās matricas metodes jāizmanto, piemēram, dažādu salīdzinošā analīzē investīciju projektiem, kā arī vērtējot citus organizāciju ekonomiskos rādītājus.

Matricu A -1 sauc par apgriezto matricu attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica. Apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām.

Pakalpojuma mērķis. Izmantojot šo pakalpojumu tiešsaistē, jūs varat atrast algebriskos papildinājumus, transponēto matricu A T, sabiedroto matricu un apgriezto matricu. Lēmums tiek pieņemts tieši tīmekļa vietnē (tiešsaistē) un ir bezmaksas. Aprēķinu rezultāti tiek prezentēti atskaitē Word formātā un in Excel formātā(t.i. ir iespēja pārbaudīt risinājumu). skatiet dizaina piemēru.

Norādījumi. Lai iegūtu risinājumu, nepieciešams norādīt matricas izmēru. Pēc tam aizpildiet matricu A jaunajā dialoglodziņā.

Skatīt arī Inverso matricu, izmantojot Jordano-Gausa metodi

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

1. Transponētās matricas A T atrašana.
2. Algebrisko komplementu definīcija. Aizstāt katru matricas elementu ar tā algebrisko komplementu.
3. Apgrieztās matricas sastādīšana no algebriskiem papildinājumiem: katrs iegūtās matricas elements tiek dalīts ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica ir sākotnējās matricas apgrieztā vērtība.

1. Nosakiet, vai matrica ir kvadrātveida. Ja nē, tad tam nav apgrieztas matricas.
2. Matricas A determinanta aprēķins. Ja tas nav vienāds ar nulli, mēs turpinām risinājumu, pretējā gadījumā apgrieztā matrica nepastāv.
3. Algebrisko komplementu definīcija.
4. Savienojuma (savstarpējās, adjunktās) matricas C aizpildīšana.
5. Apgrieztās matricas sastādīšana no algebriskām saskaitījumiem: katrs adjungētās matricas C elements tiek dalīts ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica ir sākotnējās matricas apgrieztā vērtība.
6. Viņi veic pārbaudi: viņi reizina oriģinālu un iegūtās matricas. Rezultātā vajadzētu būt identitātes matricai.

Piemērs Nr.1. Rakstīsim matricu formā:

Vēl viens algoritms apgrieztās matricas atrašanai

1. Atrodiet dotās kvadrātmatricas A determinantu.
2. Mēs atrodam algebriskos papildinājumus visiem matricas A elementiem.
3. Mēs rakstām rindu elementu algebriskos papildinājumus kolonnās (transponēšana).
4. Mēs sadalām katru iegūtās matricas elementu ar matricas A determinantu.

Īpašs gadījums: Identitātes matricas E apgrieztā vērtība ir identitātes matrica E.

Lai atrisinātu sistēmu lineārie vienādojumi(3) relatīvi x 1 Izmantosim Gausa metodi.

Pārējās lineāro vienādojumu sistēmas (2) tiek atrisinātas līdzīgi.

Visbeidzot kolonnu vektoru grupa x 1 , x 2 , ..., x n veido apgriezto matricu A-1.

Ņemiet vērā, ka pēc permutācijas matricu atrašanas P 1 , P 2 , ... , P n-1 un izņēmumu matricas M 1, M 2, ..., M n-1(skat. lpp. Gausa eliminācijas metode) un matricas konstruēšana

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,

sistēmu (2) var pārveidot formā

• MAx 1 = es 1,
• MAx 2 = es 2,
• ......
• MAx n =Me n .

No šejienes ir x 1 , x 2 , ..., x n, ar dažādām labajām pusēm Es 1, Es 2, ..., Es n.

Aprēķinot apgriezto matricu, ir ērtāk ar labajā pusē sākotnējo matricu, pievienojiet identitātes matricu un pielietojiet Gausa metodi virzienā uz priekšu un atpakaļ.

Apskatīsim to ar piemēru.

Apgrieztās matricas aprēķināšanas piemērs

Pieņemsim, ka mums jāatrod apgrieztā matrica A-1 noteiktai matricai A:

Labajā pusē ierakstīsim identitātes matricu:

Atlasiet galveno elementu “4” (jo tas ir lielākais absolūtajā vērtībā) un samainiet pirmo un trešo rindu:

Lietojiet Gausa elimināciju pirmajai kolonnai:

Mēs pārkārtojam otro un trešo rindu un piemērojam Gausa elimināciju otrajai kolonnai.

Par apgrieztā matrica Pastāv atbilstoša analoģija ar skaitļa apgriezto vērtību. Par katru numuru a, kas nav vienāds ar nulli, ir šāds skaitlis b ka darbs a Un b vienāds ar vienu: ab= 1. Numurs b sauc par skaitļa apgriezto vērtību b. Piemēram, skaitlim 7 apgrieztā vērtība ir 1/7, jo 7*1/7=1.

Apgrieztā matrica , kas jāatrod noteiktai kvadrātveida matricai A, šādu matricu sauc

reizinājums, kura matricas A labajā pusē ir identitātes matrica, t.i.
. (1)

Identitātes matrica ir diagonāla matrica, kurā visi diagonālie elementi ir vienādi ar vienu.

Apgrieztās matricas atrašana- problēma, kas bieži tiek atrisināta ar divām metodēm:

• algebriskās saskaitīšanas metode, kas prasa atrast determinantus un transponēt matricas;
• Gausa metode nezināmo izslēgšanai, kas prasa veikt elementāras matricu transformācijas (saskaitīt rindas, reizināt rindas ar tādu pašu skaitli utt.).

Tiem, kas ir īpaši zinātkāri, ir arī citas metodes, piemēram, lineāro transformāciju metode. Šajā nodarbībā mēs analizēsim trīs minētās metodes un algoritmus apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot šīs metodes.

Teorēma.Katrai nevienskaitlīgai (nedeģenerētai, nevienskaitlīgai) kvadrātveida matricai var atrast apgrieztu matricu un tikai vienu. Īpašai (deģenerētai, vienskaitļa) kvadrātveida matricai apgrieztā matrica nepastāv.

Tiek saukta kvadrātveida matrica nav īpašs(vai nedeģenerēts, nevienskaitlis), ja tā determinants nav nulle, un īpašs(vai deģenerēts, vienskaitlis), ja tā determinants ir nulle.

Matricas apgriezto vērtību var atrast tikai kvadrātveida matricai. Protams, arī apgrieztā matrica būs kvadrātveida un tādā pašā secībā kā dotā matrica. Matricu, kurai var atrast apgriezto matricu, sauc par invertējamo matricu.

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot Gausa nezināmo eliminācijas metodi

Pirmais solis, lai atrastu apgriezto matricu, izmantojot Gausa eliminācijas metodi, ir piešķiršana matricai A tādas pašas kārtas identitātes matricu, atdalot tās ar vertikālu joslu. Mēs iegūsim duālo matricu. Reizināsim abas šīs matricas puses ar , tad iegūsim

,

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot Gausa nezināmo eliminācijas metodi

1. Uz matricu A piešķirt identitātes matricu tādā pašā secībā.

2. Pārveidojiet iegūto duālo matricu tā, lai tās kreisajā pusē iegūtu vienību matricu, tad labajā pusē identitātes matricas vietā automātiski iegūtu apgriezto matricu. Matrica A kreisajā pusē tiek pārveidots par identitātes matricu ar elementārām matricas transformācijām.

2. Ja matricas transformācijas procesā A identitātes matricā jebkurā rindā vai kolonnā būs tikai nulles, tad matricas determinants ir vienāds ar nulli, un līdz ar to matrica A būs vienskaitlī, un tai nav apgrieztas matricas. Šajā gadījumā turpmāka apgrieztās matricas noteikšana apstājas.

2. piemērs. Matricai

atrast apgriezto matricu.

un mēs to pārveidosim tā, lai kreisajā pusē iegūtu identitātes matricu. Mēs sākam transformāciju.

Reiziniet pirmo kreisās un labās matricas rindu ar (-3) un pievienojiet to otrajai rindai, un pēc tam reiziiniet pirmo rindu ar (-4) un pievienojiet to trešajai rindai, tad iegūstam

.

Lai nodrošinātu, ka turpmākajās transformācijās nav daļskaitļu, vispirms izveidosim vienību otrajā rindā duālās matricas kreisajā pusē. Lai to izdarītu, reiziniet otro rindu ar 2 un atņemiet no tās trešo rindu, tad mēs iegūstam

.

Saskaitīsim pirmo rindiņu ar otro, pēc tam reiziināsim otro rindu ar (-9) un pievienosim ar trešo rindiņu. Tad saņemam

.

Pēc tam sadaliet trešo rindu ar 8

.

Trešo rindu reiziniet ar 2 un pievienojiet to otrajai rindai. Izrādās:

.

Apmainīsim otro un trešo rindu, tad beidzot iegūstam:

.

Mēs redzam, ka kreisajā pusē mums ir identitātes matrica, tāpēc labajā pusē ir apgrieztā matrica. Tādējādi:

.

Jūs varat pārbaudīt aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu ar atrasto apgriezto matricu:

Rezultātā jābūt apgrieztai matricai.

tiešsaistes kalkulators apgrieztās matricas atrašanai .

3. piemērs. Matricai

atrast apgriezto matricu.

Risinājums. Duālās matricas sastādīšana

un mēs to pārveidosim.

Mēs reizinām pirmo rindu ar 3 un otro ar 2 un atņemam no otrās, un tad mēs reizinām pirmo rindu ar 5 un trešo ar 2 un atņemam no trešās rindas, tad mēs iegūstam

.

Mēs reizinām pirmo rindiņu ar 2 un pievienojam otrajai, un pēc tam no trešās rindas atņemam otro, tad iegūstam

.

Mēs redzam, ka trešajā rindā kreisajā pusē visi elementi ir vienādi ar nulli. Tāpēc matrica ir vienskaitlī un tai nav apgrieztas matricas. Mēs pārtraucam apgrieztā marica meklēšanu.

Jūs varat pārbaudīt risinājumu, izmantojot