Šajā rakstā mēs runāsim par matricas metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risināšanai, atradīsim tās definīciju un sniegsim risinājumu piemērus.

1. definīcija

Apgrieztās matricas metode ir metode, ko izmanto, lai atrisinātu SLAE, ja nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu.

1. piemērs

Atrodiet risinājumu sistēmai n lineārie vienādojumi ar n nezināmajiem:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Matricas ierakstīšanas veids : A × X = B

kur A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ir sistēmas matrica.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - nezināmo kolonna,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - brīvo koeficientu kolonna.

No saņemtā vienādojuma ir jāizsaka X. Lai to izdarītu, abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē jāreizina ar A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Tā kā A - 1 × A = E, tad E × X = A - 1 × B vai X = A - 1 × B.

komentēt

Apgrieztajai matricai A matricai ir tiesības pastāvēt tikai tad, ja ir izpildīts nosacījums d e t A nav vienāds ar nulli. Tāpēc, risinot SLAE ar apgrieztās matricas metodi, vispirms tiek atrasts d e t A.

Gadījumā, ja d e t A nav vienāds ar nulli, sistēmai ir tikai viena risinājuma iespēja: izmantojot apgrieztās matricas metodi. Ja d e t A = 0, tad sistēmu nevar atrisināt ar šo metodi.

Lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas piemērs, izmantojot apgrieztās matricas metodi

Mēs atrisinām SLAE, izmantojot apgrieztās matricas metodi:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Kā atrisināt?

• Mēs rakstām sistēmu matricas vienādojuma formā A X = B, kur

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• Mēs izsakām X no šī vienādojuma:

• Atrodiet matricas A determinantu:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A nav vienāds ar 0, tāpēc šai sistēmai ir piemērota apgrieztās matricas risināšanas metode.

• Mēs atrodam apgriezto matricu A - 1, izmantojot sabiedroto matricu. Mēs aprēķinām matricas A atbilstošajiem elementiem algebriskos papildinājumus A i j:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• Mēs pierakstām sabiedroto matricu A *, kas sastāv no matricas A algebriskajiem papildinājumiem:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Mēs rakstām apgriezto matricu pēc formulas:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Reizinām apgriezto matricu A - 1 ar brīvo terminu kolonnu B un iegūstam sistēmas risinājumu:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Atbilde : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Lai ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica

Tiek izsaukta matrica A -1 apgrieztā matrica attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica.

Identitātes matrica- tāda kvadrātveida matrica, kurā visi elementi atrodas gar galveno diagonāli, kas iet no kreisās puses augšējais stūris apakšējā labajā stūrī ir vieninieki, bet pārējie ir nulles, piemēram:

apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām tie. tām matricām, kurās rindu un kolonnu skaits sakrīt.

Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam

Lai matricai būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā nebūtu vienskaitlī.

Tiek izsaukta matrica A = (A1, A2,...A n). nav deģenerēts, ja kolonnu vektori ir lineāri neatkarīgi. Matricas lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru skaitu sauc par matricas rangu. Tāpēc mēs varam teikt, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai matricas rangs būtu vienāds ar tās dimensiju, t.i. r = n.

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

1. Tabulā ierakstiet matricu A vienādojumu sistēmu atrisināšanai pēc Gausa metodes un piešķiriet tai matricu E labajā pusē (vienādojumu labās puses vietā).
2. Izmantojot Jordan transformācijas, reducēt matricu A līdz matricai, kas sastāv no vienību kolonnām; šajā gadījumā ir nepieciešams vienlaicīgi pārveidot matricu E.
3. Ja nepieciešams, pārkārtojiet pēdējās tabulas rindas (vienādojumus), lai zem sākotnējās tabulas matricas A iegūtu identitātes matricu E.
4. Pierakstiet apgriezto matricu A -1, kas atrodas pēdējā tabulā zem sākotnējās tabulas matricas E.

Matricai A atrodiet apgriezto matricu A -1

Risinājums: Rakstām matricu A un pa labi piešķiram identitātes matricu E. Izmantojot Jordan transformācijas, reducējam matricu A līdz identitātes matricai E. Aprēķini doti 31.1. tabulā.

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu A un apgriezto matricu A -1.

Matricas reizināšanas rezultātā tika iegūta identitātes matrica. Tāpēc aprēķini tika veikti pareizi.

Atbilde:

Matricu vienādojumu risināšana

Matricas vienādojumi var izskatīties šādi:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica.

Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.

Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē.

Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē.

Citi vienādojumi tiek atrisināti līdzīgi.

Atrisiniet vienādojumu AX = B, ja

Risinājums: Tā kā apgrieztā matrica ir vienāda ar (skat. 1. piemēru)

Matricas metode ekonomiskajā analīzē

Kopā ar citiem tiek izmantoti arī tie matricas metodes. Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru. Šādas metodes tiek izmantotas, lai analizētu sarežģītas un daudzdimensionālas ekonomikas parādības. Visbiežāk šīs metodes tiek izmantotas, ja nepieciešams veikt organizāciju un to struktūrvienību darbības salīdzinošo novērtējumu.

Matricas analīzes metožu pielietošanas procesā var izdalīt vairākus posmus.

Pirmajā posmā sistēma veidojas ekonomiskie rādītāji un uz tās pamata tiek sastādīta avota datu matrica, kas ir tabula, kurā sistēmas numuri tiek parādīti atsevišķās rindās (i = 1,2,....,n), un vertikālajās kolonnās - rādītāju numuri (j = 1,2,....,m).

Otrajā posmā Katrai vertikālajai kolonnai tiek identificēta lielākā no pieejamajām indikatora vērtībām, kas tiek uzskatīta par vienu.

Pēc tam visas šajā slejā atspoguļotās summas tiek dalītas ar augstākā vērtība un veidojas standartizēto koeficientu matrica.

Trešajā posmā visas matricas sastāvdaļas ir kvadrātā. Ja tiem ir atšķirīga nozīme, tad katram matricas indikatoram tiek piešķirts noteikts svara koeficients k. Pēdējās vērtību nosaka ekspertu atzinums.

Pēdējā, ceturtais posms atrastas vērtējuma vērtības R j ir sagrupēti to pieauguma vai samazinājuma secībā.

Izklāstītās matricas metodes jāizmanto, piemēram, dažādu salīdzinošā analīzē investīciju projektiem, kā arī vērtējot citus organizāciju ekonomiskos rādītājus.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana matricas metode(izmantojot apgriezto matricu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu dosim matricas formā , kur matrica A ir dimensija n ieslēgts n un tā determinants nav nulle.

Kopš , tad matrica A– ir invertējama, tas ir, pastāv apgrieztā matrica. Ja reizinām abas vienādības puses pa kreisi, iegūstam formulu nezināmu mainīgo matricas kolonnas atrašanai. Tādā veidā mēs ieguvām risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot matricas metodi.

matricas metode.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Jo tad SLAE var atrisināt, izmantojot matricas metodi. Izmantojot apgriezto matricu, šīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Konstruēsim apgrieztu matricu, izmantojot matricu no matricas elementu algebriskajiem papildinājumiem A(ja nepieciešams, skatiet rakstu metodes apgrieztās matricas atrašanai):

Atliek aprēķināt nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu uz brīvo dalībnieku matricas kolonnu (ja nepieciešams, skatiet rakstu darbības ar matricām):

vai citā ierakstā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Galvenā problēma, meklējot risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, izmantojot matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, īpaši kvadrātmatricām, kuru secība ir augstāka par trešo.

Sīkāku teorijas aprakstu un papildu piemērus skatiet rakstu matricas metodē lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai.

Lapas augšdaļa

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrod risinājums sistēmai no n lineāri vienādojumi ar n nezināmi mainīgie kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no nezināmu mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas: vispirms likvidējot x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, tālāk tiek izslēgts x 2 no visiem vienādojumiem, sākot ar trešo un tā tālāk, līdz pēdējā vienādojumā paliek tikai nezināmais mainīgais x n. Šo sistēmu vienādojumu pārveidošanas procesu, lai secīgi likvidētu nezināmus mainīgos, sauc tiešā Gausa metode. Pēc Gausa metodes progresēšanas uz priekšu pabeigšanas no pēdējā vienādojuma mēs atrodam x n, izmantojot šo vērtību no priekšpēdējā vienādojuma, ko mēs aprēķinām x n-1, un tā tālāk, sākot no pirmā atrastā vienādojuma x 1 . Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgrieztā Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Likvidējiet nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar, trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, reizinātu ar un tā tālāk. nth vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar. Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu kur un .

Mēs nonāktu pie tāda paša rezultāta, ja izteiktos x 1 izmantojot citus nezināmus mainīgos sistēmas pirmajā vienādojumā, un iegūtā izteiksme tika aizstāta ar visiem citiem vienādojumiem. Tātad mainīgais x 1 izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar, ceturtajam vienādojumam pievieno otro, reizinot ar utt. nth vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar. Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu kur un . Tātad mainīgais x 2 izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā likvidēšanas x 3 , šajā gadījumā mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam Gausa metodes apvērsumu: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā, izmantojot iegūto vērtību x n mēs atradām x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode.

Likvidējiet nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma pusēm mēs pievienojam atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas reizinātas ar un attiecīgi:

Tagad izslēgsim no trešā vienādojuma x 2 , tā kreisajai un labajai pusei pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar:

Tas pabeidz Gausa metodes virzienu uz priekšu; mēs sākam apgriezto gājienu.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3 :

No otrā vienādojuma iegūstam .

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo un tādējādi pabeidzam Gausa metodes apvērsumu.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Sīkāku informāciju un papildu piemērus skatiet sadaļā par lineāro algebrisko vienādojumu elementāru sistēmu risināšanu, izmantojot Gausa metodi.

Lapas augšdaļa

Apsvērsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAU) relatīvi n nezināms x 1 , x 2 , ..., x n :

Šo sistēmu “sakļautā” formā var uzrakstīt šādi:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Atbilstoši matricas reizināšanas likumam apskatāmo lineāro vienādojumu sistēmu var ierakstīt matricas forma Ax=b, Kur

Matrica A, kuras kolonnas ir koeficienti attiecīgajiem nezināmajiem, bet rindas ir koeficienti nezināmajiem attiecīgajā vienādojumā tiek saukti sistēmas matrica. Kolonnu matrica b, kuras elementi ir sistēmas vienādojumu labās puses, sauc par labās puses matricu jeb vienkārši sistēmas labajā pusē. Kolonnu matrica x , kuras elementi ir nezināmie nezināmie, sauc sistēmas risinājums.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas uzrakstīta formā Ax=b, ir matricas vienādojums.

Ja sistēmas matrica nav deģenerēts, tad tai ir apgrieztā matrica un tad sistēmas risinājums ir Ax=b tiek dota pēc formulas:

x=A -1 b.

Piemērs Atrisiniet sistēmu matricas metode.

Risinājums atradīsim sistēmas koeficientu matricas apgriezto matricu

Aprēķināsim determinantu, izvēršot pa pirmo rindiņu:

Tāpēc ka Δ ≠ 0 , Tas A -1 pastāv.

Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi.

Meklēsim risinājumu sistēmai

Tāpēc x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Pārbaude:

7. Kronecker-Capelli teorēma par lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamību.

Lineāro vienādojumu sistēma ir šāda forma:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1.)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Šeit ir doti a i j un b i (i = ; j = ), un x j ir nezināmi reāli skaitļi. Izmantojot matricu reizinājuma jēdzienu, sistēmu (5.1) varam pārrakstīt šādā formā:

kur A = (a i j) ir matrica, kas sastāv no koeficientiem sistēmas (5.1) nezināmajiem, ko sauc sistēmas matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ir kolonnu vektori, kas sastāv attiecīgi no nezināmajiem x j un brīvajiem terminiem b i .

Pasūtīta kolekcija n tiek izsaukti reālie skaitļi (c 1, c 2,..., c n). sistēmas risinājums(5.1), ja šo skaitļu aizvietošanas rezultātā atbilstošo mainīgo x 1, x 2,..., x n vietā katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par aritmētisko identitāti; citiem vārdiem sakot, ja ir vektors C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tāds, ka AC  B.

Tiek izsaukta sistēma (5.1). locītava, vai atrisināms, ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai neatrisināms, ja tam nav risinājumu.

,

kas izveidota, piešķirot brīvo terminu kolonnu matricai A labajā pusē tiek izsaukta sistēmas paplašinātā matrica.

Sistēmas (5.1) saderības jautājums tiek atrisināts ar sekojošu teorēmu.

Kronekera-Kapella teorēma . Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja matricu A unA rindas sakrīt, t.i. r(A) = r(A) = r.

Sistēmas (5.1) risinājumu kopai M ir trīs iespējas:

1) M =  (šajā gadījumā sistēma ir nekonsekventa);

2) M sastāv no viena elementa, t.i. sistēmai ir unikāls risinājums (šajā gadījumā sistēmu sauc noteikti);

3) M sastāv no vairāk nekā viena elementa (tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts). Trešajā gadījumā sistēmai (5.1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Sistēmai ir unikāls risinājums tikai tad, ja r(A) = n. Šajā gadījumā vienādojumu skaits nav mazāks par nezināmo skaitu (mn); ja m>n, tad m-n vienādojumi ir pārējo sekas. Ja 0

Lai atrisinātu patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu, ir jāspēj atrisināt sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo - t.s. Cramer tipa sistēmas:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3.)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistēmas (5.3.) risina kādā no šādiem veidiem: 1) Gausa metode jeb nezināmo likvidēšanas metode; 2) pēc Krāmera formulām; 3) matricas metode.

Piemērs 2.12. Izpētiet vienādojumu sistēmu un atrisiniet to, ja tā ir konsekventa:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Risinājums. Mēs izrakstām sistēmas paplašināto matricu:

 .

Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas rangu. Ir skaidrs, ka, piemēram, otrās kārtas minors augšējā kreisajā stūrī = 7  0; trešās kārtas nepilngadīgie, kas to satur, ir vienādi ar nulli:

Līdz ar to sistēmas galvenās matricas rangs ir 2, t.i. r(A) = 2. Lai aprēķinātu paplašinātās matricas A rangu, apsveriet robežojošo minoru

tas nozīmē, ka paplašinātās matricas rangs r(A) = 3. Tā kā r(A)  r(A), sistēma ir nekonsekventa.

Apgrieztās matricas metode nav grūti, ja zināt vispārīgos principus darbam ar matricas vienādojumiem un, protams, zināt, kā veikt elementāras algebriskas darbības.

Vienādojumu sistēmas risināšana, izmantojot apgrieztās matricas metodi. Piemērs.

Ērtākais veids, kā izprast apgrieztās matricas metodi, ir ar skaidru piemēru. Ņemsim vienādojumu sistēmu:

Pirmais solis, lai atrisinātu šo vienādojumu sistēmu, ir atrast determinantu. Tāpēc pārveidosim mūsu vienādojumu sistēmu šādā matricā:

Un mēs atrodam nepieciešamo noteicēju:

Matricas vienādojumu risināšanai izmantotā formula ir šāda:

Tādējādi, lai aprēķinātu X, mums jānosaka matricas A-1 vērtība un jāreizina ar b. Vēl viena formula mums to palīdzēs:

Šajā gadījumā tas būs transponētā matrica- tas ir, tas pats oriģinālais, bet rakstīts nevis rindās, bet kolonnās.

Mums nevajadzētu to aizmirst apgrieztās matricas metode, tāpat kā Krāmera metode, ir piemērota tikai sistēmām, kurās determinants ir lielāks vai mazāks par nulli. Ja determinants ir vienāds ar nulli, jums jāizmanto Gausa metode.

Nākamais solis ir izveidot nepilngadīgo matricu, kas ir šāda shēma:

Rezultātā mēs saņēmām trīs matricas - minorās, algebriskos papildinājumus un transponētu algebrisko papildinājumu matricu. Tagad jūs varat pāriet uz faktisko apgrieztās matricas kompilāciju. Mēs jau zinām formulu. Mūsu piemērā tas izskatīsies šādi.