Ir dotas attiecības starp trigonometriskajām pamatfunkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj samazināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.
Šajā rakstā mēs uzskaitīsim visas pamata trigonometriskās formulas, kas ir pietiekamas, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim pēc mērķa un ievadīsim tabulās.
Lapas navigācija.
Pamata trigonometriskās identitātes
Pamata trigonometriskās identitātes definēt attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas, kā arī no vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju ar jebkuru citu.
Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasinājumu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.
Samazināšanas formulas
Samazināšanas formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo periodiskuma īpašību trigonometriskās funkcijas, simetrijas īpašība, kā arī īpašība nobīdīt par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.
Šo formulu pamatojumu, mnemonisko noteikumu to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.
Papildināšanas formulas
Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana ir balstīta uz saskaitīšanas formulām.
Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis
Pusleņķa formulas
Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.
To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.
Pakāpju samazināšanas formulas
Trigonometriskās formulas grādu samazināšanai ir izstrādāti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.
Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai
Galvenais mērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas ir pāriet uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo tās ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.
Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma
Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.
Universāla trigonometriskā aizstāšana
Mēs pabeidzam trigonometrijas pamatformulu apskatu ar formulām, kas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē. Šo nomaiņu sauca universāla trigonometriskā aizstāšana. Tās ērtības slēpjas faktā, ka visas trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas pusleņķa pieskares izteiksmē racionāli bez saknēm.
Bibliogrāfija.
- Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis. - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Autortiesības pieder gudriem studentiem
Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu vietnes daļu, tostarp iekšējos materiālus un izskatu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.
Tagad mēs aplūkosim jautājumu par to, kā attēlot vairāku leņķu trigonometriskās funkcijas ωx, Kur ω - kāds pozitīvs skaitlis.
Lai attēlotu funkciju grafiku y = grēks ωx Salīdzināsim šo funkciju ar jau pētīto funkciju y = grēks x. Pieņemsim, ka kad x = x 0 funkciju y = grēks xņem vērtību, kas vienāda ar 0. Tad
y 0 = grēks x 0 .
Pārveidosim šīs attiecības šādi:
Tāpēc funkcija y = grēks ωx plkst X = x 0 / ω ņem tādu pašu vērtību plkst 0 , kas ir tāda pati kā funkcija y = grēks x plkst x = x 0 . Tas nozīmē, ka funkcija y = grēks ωx atkārto tās nozīmes ω reizes biežāk nekā funkcija y = grēks x. Tāpēc funkcijas grafiks y = grēks ωx iegūts, "saspiežot" funkcijas grafiku y = grēks x V ω reizes pa x asi.
Piemēram, funkcijas grafiks y = grēks 2x ko iegūst, “saspiežot” sinusoīdu y = grēks x divas reizes pa x asi.
Funkcijas grafiks y = sin x / 2 tiek iegūts, divreiz “izstiepjot” sinusoīdu y = sin x (vai “saspiežot” to par 1 / 2 reizes) pa x asi.
Kopš funkcijas y = grēks ωx atkārto tās nozīmes ω
reizes biežāk nekā funkcija
y = grēks x, tad tā periods ir ω
reizes mazāks par funkcijas periodu y = grēks x. Piemēram, funkcijas periods y = grēks 2x vienāds 2π/2 = π
, un funkcijas periods y = sin x / 2
vienāds π
/
x/ 2
= 4π .
Interesanti ir izpētīt funkcijas uzvedību y = grēka cirvis izmantojot animācijas piemēru, ko var ļoti vienkārši izveidot programmā Kļava:
Līdzīgi tiek veidoti arī citu vairāku leņķu trigonometrisko funkciju grafiki. Attēlā parādīts funkcijas grafiks y = cos 2x, ko iegūst, “saspiežot” kosinusa vilni y = cos x divas reizes pa x asi.
Funkcijas grafiks y = cos x / 2 iegūts, “izstiepjot” kosinusa vilni y = cos x dubultojies pa x asi.
Attēlā redzat funkcijas grafiku y = iedegums 2x, ko iegūst, “saspiežot” tangentoīdus y = dzeltenbrūns x divas reizes pa x asi.
Funkcijas grafiks y = tg x/ 2 , ko iegūst, “izstiepjot” tangensoīdus y = dzeltenbrūns x dubultojies pa x asi.
Un visbeidzot programmas izpildītā animācija Kļava:
Vingrinājumi
1. Izveidojiet šo funkciju grafikus un norādiet šo grafiku krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm. Nosakiet šo funkciju periodus.
A). y = grēks 4x/ 3 G). y = iedegums 5x/ 6 un). y = cos 2x/ 3
b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
V). y = iedegums 4x/ 3 e). y = grēks 2x/ 3
2. Nosakiet funkciju periodus y = grēks (πх) Un y = tg (πх/2).
3. Sniedziet divus funkciju piemērus, kas ņem visas vērtības no -1 līdz +1 (ieskaitot šos divus skaitļus) un periodiski mainās ar 10. punktu.
4 *. Sniedziet divus funkciju piemērus, kas ņem visas vērtības no 0 līdz 1 (ieskaitot šos divus skaitļus) un periodiski mainās ar punktu π/2.
5. Sniedziet divus funkciju piemērus, kas ņem visas reālās vērtības un periodiski mainās atkarībā no 1. perioda.
6 *. Sniedziet divus piemērus funkcijām, kas pieņem visas negatīvās vērtības un nulli, bet nepieņem pozitīvas vērtības, un periodiski mainās ar 5. punktu.
Trigonometrijā daudzas formulas ir vieglāk atvasināt nekā iegaumēt. Dubultā leņķa kosinuss ir brīnišķīga formula! Tas ļauj iegūt formulas grādu samazināšanai un formulas pusleņķiem.
Tātad, mums ir nepieciešams dubultā leņķa kosinuss un trigonometriskā vienība:
Tie ir pat līdzīgi: dubultā leņķa kosinusa formulā tā ir atšķirība starp kosinusa un sinusa kvadrātiem, bet trigonometriskajā vienībā tā ir to summa. Ja kosinusu izsakām no trigonometriskās vienības:
un aizstājot to dubultā leņķa kosinusā, mēs iegūstam:
Šī ir vēl viena dubultā leņķa kosinusa formula:
Šī formula ir atslēga reducēšanas formulas iegūšanai:
Tātad sinusa pakāpes samazināšanas formula ir:
Ja alfa leņķis tajā tiek aizstāts ar pusi alfa leņķa uz pusi, un dubults leņķis divas alfa uz leņķi alfa, mēs iegūstam sinusa pusleņķa formulu:
Tagad mēs varam izteikt sinusu no trigonometriskās vienības:
Aizstāsim šo izteiksmi dubultā leņķa kosinusa formulā:
Mēs saņēmām vēl vienu dubultā leņķa kosinusa formulu:
Šī formula ir atslēga, lai atrastu formulu kosinusa jaudas samazināšanai un kosinusa pusleņķa samazināšanai.
Tādējādi kosinusa pakāpes samazināšanas formula ir:
Ja aizstājam α ar α/2 un 2α ar α, mēs iegūstam kosinusa pusargumenta formulu:
Tā kā tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība, tangensa formula ir šāda:
Kotangenss ir kosinusa un sinusa attiecība. Tāpēc kotangenta formula ir šāda:
Protams, trigonometrisko izteiksmju vienkāršošanas procesā nav jēgas atvasināt formulu pusleņķim vai katru reizi samazināt grādu. Daudz vieglāk ir nolikt priekšā papīra lapu ar formulām. Un vienkāršošana virzīsies ātrāk, un vizuālā atmiņa ieslēgs iegaumēšanu.
Bet joprojām ir vērts vairākas reizes iegūt šīs formulas. Tad jūs būsiet pilnīgi pārliecināts, ka eksāmena laikā, kad nav iespējams izmantot krāpniecisko lapu, jūs tos viegli iegūsit, ja būs tāda nepieciešamība.
