Daļas atvasinājums ir vienāds ar. Daļas atvasinājums no divām funkcijām. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Pierādīsim divu funkciju (daļskaitļu) koeficienta diferencēšanas noteikumu. Ir vērts to pieminēt g(x) nepazūd nekādā gadījumā x no starp X.

Pēc atvasinājuma definīcijas

Piemērs.

Veikt funkciju diferenciāciju.

Risinājums.

Sākotnējā funkcija ir divu izteiksmju attiecība sinx Un 2x+1. Piemērosim frakciju diferenciācijas likumu:

Nevar iztikt bez noteikumiem par summas diferencēšanu un patvaļīgas konstantes novietošanu ārpus atvasinātās zīmes:

Visbeidzot, apkoposim visus noteikumus vienā piemērā.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu , Kur a ir pozitīvs reālais skaitlis.

Risinājums.

Un tagad kārtībā.

Pirmais termiņš .

Otrais termiņš

Trešais termiņš

Saliekot to visu kopā:

4. Jautājums: Pamatelementāro funkciju atvasinājumi.

Vingrinājums. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs izmantojam diferenciācijas noteikumus un atvasinājumu tabulu:

Atbilde.

5.Jautājums: Sarežģītu funkciju piemēru atvasinājums

Visi šīs sadaļas piemēri ir balstīti uz atvasinājumu tabulu un teorēmu par kompleksas funkcijas atvasinājumu, kuras formulējums ir šāds:

Pieņemsim, ka 1) funkcijai u=φ(x) ir atvasinājums u′x=φ′(x0) kādā punktā x0, 2) funkcijai y=f(u) ir atvasinājums y′u= attiecīgajā punktā u0 =φ(x0) f′(u). Tad arī kompleksajai funkcijai y=f(φ(x)) minētajā punktā būs atvasinājums, kas vienāds ar funkciju f(u) un φ(x) atvasinājumu reizinājumu:

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

vai, īsākā apzīmējumā: y′x=y′u⋅u′x.

Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma y=f(x) (t.i., mēs ņemam vērā tikai viena mainīgā x funkcijas). Attiecīgi visos piemēros y′ atvasinājums tiek ņemts attiecībā pret mainīgo x. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums tiek ņemts attiecībā pret mainīgo x, y′ vietā bieži raksta y′x.

Piemēri Nr. 1, Nr. 2 un Nr. 3 iezīmē detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.

Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams pāriet uz piemēra Nr.5, Nr.6 un Nr.7 patstāvīgu risināšanu. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas y=ecosx atvasinājumu.

Risinājums

Mums jāatrod kompleksās funkcijas y′ atvasinājums. Tā kā y=ecosx, tad y′=(ecosx)′. Lai atrastu atvasinājumu (ecosx)′, mēs izmantojam formulu Nr. 6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā u=cosx. Tālākais risinājums ir vienkārši aizvietot izteiksmi cosx, nevis u formulā Nr. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Tagad mums jāatrod izteiksmes vērtība (cosx)′. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr.10. Formulā Nr. 10 aizstājot u=x, iegūstam: (cosx)′=−sinx⋅x′. Tagad turpināsim vienlīdzību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Tā kā x′=1, mēs turpinām vienādību (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1,3)

Tātad no vienādības (1.3) mums ir: y′=−sinx⋅ecosx. Dabiski, ka skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, ierakstot atvasinājuma atradumu vienā rindā, kā vienādībā (1.3). Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: y′=−sinx⋅ecosx.

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas y=9⋅arctg12(4⋅lnx) atvasinājumu.

Risinājums

Mums jāaprēķina atvasinājums y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinātās zīmes:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Tagad pievērsīsimies izteiksmei (arctg12(4⋅lnx))′. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, attiecīgo izteiksmi uzrādīšu šādā formā: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Aizstāsim u=arctg(4⋅lnx) un α=12 šajā formulā:

Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx)2. )

Piezīme: rādīt/slēpt

Tagad mums jāatrod (arctg(4⋅lnx))′. Izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr.19, aizvietojot tajā u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx) 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Atliek atrast (4⋅lnx)′. Izņemsim konstanti (t.i. 4) no atvasinājuma zīmes: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Lai atrastu (lnx)′ izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot tajā u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Tā kā x′=1, tad (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx) 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅4⋅4⋅2x⋅1x arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk atrodams vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, gatavojot standarta aprēķinus vai kontroles darbus, nemaz nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt risinājumu.

Atbilde: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Piemērs Nr.3

Atrodiet funkcijas y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7 y′.

Risinājums

Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju y, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā y=(sin(5⋅9x))37, tad:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Mēs izmantojam formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā u=sin(5⋅9x) un α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin (5⋅9x))′

Turpināsim vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))-47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Tagad mums jāatrod (sin(5⋅9x))′. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Atliek tikai atrast (5⋅9x)′. Sākumā no atvasinājuma zīmes izņemsim konstanti (skaitli 5), t.i. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Lai atrastu atvasinājumu (9x)′, izmanto atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā a=9 un u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Tā kā x′=1, tad (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Tagad mēs varam turpināt vienlīdzību (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Atkal varat atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i. saknēm), rakstot (sin(5⋅9x))−47 formā 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− − −−−√7. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Atbilde: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Piemērs Nr.4

Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir īpašs gadījumsšīs tabulas formulas Nr.2.

Risinājums

Atvasinājumu tabulas formula Nr.2 satur funkcijas uα atvasinājumu. Formulā Nr. 2 aizstājot α=−1, iegūstam:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1.)

Tā kā u−1=1u un u−2=1u2, vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: (1u)′=−1u2⋅u′. Tā ir atvasinājumu tabulas formula Nr.3.

Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstāsim tajā α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Tā kā u12=u−−√ un u−12=1u12=1u−−√, vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Rezultātā iegūtā vienādība (u−−√)′=12u−−√⋅u′ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr.3 un Nr.4 iegūtas no formulas Nr.2, aizstājot atbilstošo α vērtību.

Piemērs Nr.5

Atrodiet y′, ja y=arcsin2x.

Risinājums

Šajā piemērā mēs pierakstīsim sarežģītas funkcijas atvasinājuma noteikšanu bez detalizētiem paskaidrojumiem, kas tika sniegti iepriekšējos uzdevumos.

Atbilde: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Piemērs Nr.6

Atrodiet y′, ja y=7⋅lnsin3x.

Risinājums

Tāpat kā iepriekšējā piemērā, mēs norādīsim, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu bez detaļām. Atvasinājumu vēlams uzrakstīt pašam, tikai pārbaudot tālāk norādīto risinājumu.

Atbilde: y′=21⋅ctgx.

Piemērs Nr.7

Atrodiet y′, ja y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Risinājums

6 Jautājums. Apgriezto funkciju piemēru atvasinājums.

Apgrieztās funkcijas atvasinājums

Formula

Spēku īpašums ir zināms, ka

Izmantojot jaudas funkcijas atvasinājumu:

Diferenciālrēķina izcelsmi izraisa nepieciešamība atrisināt noteiktas fiziskas problēmas. Tiek pieņemts, ka cilvēks ar diferenciālrēķinu var ņemt dažādu funkciju atvasinājumus. Vai jūs zināt, kā ņemt atvasinājums no funkcijas, kas izteikta kā daļa?

Instrukcijas

1. Jebkurai daļai ir skaitītājs un saucējs. Atvasinājuma atrašanas procesā frakcijas būs jāmeklē atsevišķi atvasinājums skaitītājs un atvasinājums saucējs.

2. Lai atklātu atvasinājums no frakcijas , atvasinājums reiziniet skaitītāju ar saucēju. Atņemiet no iegūtās izteiksmes atvasinājums saucējs reizināts ar skaitītāju. Sadaliet kopējo summu ar saucēju kvadrātā.

3. 1. piemērs' = /cos? (x) = /cos? (x) = /cos? (x) = 1/cos? (x).

4. Iegūtais rezultāts ir nekas cits kā pieskares funkcijas atvasinājuma tabulas vērtība. Ir skaidrs, ka sinusa attiecība pret kosinusu pēc definīcijas ir tangenss. Izrādās, ka tg (x) = ' = 1 / cos? (x).

5. 2. piemērs [(x? - 1) / 6x]' = [(2x 6x - 6 x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Īpašs gadījums frakcijas ir daļa, kuras saucējs ir viens. Atklājiet atvasinājums no šāda veida frakcijas Tas ir vienkāršāk: iedomājieties to kā saucēju ar grādu (-1).

7. Piemērs(1/x)' = ' = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Piezīme!
Daļa var saturēt vēl vairākas frakcijas. Šajā gadījumā ērtāk ir vispirms atsevišķi atrast “primāro” frakciju atvasinājumus.

Noderīgs padoms
Meklējot saucēja un skaitītāja atvasinājumus, piemēro diferencēšanas noteikumus: summa, reizinājums, sarežģītas funkcijas. Ir lietderīgi paturēt prātā visvienkāršāko tabulas funkciju atvasinājumus: lineāro, eksponenciālo, jaudas, logaritmisko, trigonometrisko utt.

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Izstādes dalībnieks un naturālais logaritms- funkcijas ir unikāli vienkāršas atvasinājumu ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas ir viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vairāk vienkāršā formā. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:

Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Mūsu piemēram, .

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(Tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Formula daļskaitļa atvasināšanai no divām funkcijām. Pierādījums divos veidos. Detalizēti koeficientu diferencēšanas piemēri.

Atvasinātās daļas formula

Ļaujiet, lai funkcijas u ir definētas noteiktā punkta apkārtnē un tām ir atvasinājumi punktā. Ļaujiet tai iet. Tad to koeficientam punktā ir atvasinājums, ko nosaka pēc formulas:
(1) .

Pierādījums

Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
;
.
Šeit un ir mainīgo un funkcijas. Bet, lai atvieglotu apzīmējumu, mēs izlaidīsim viņu argumentu apzīmējumus.

Tālāk mēs to pamanām
;
.
Pēc nosacījuma funkcijām un punktā ir atvasinājumi, kuriem ir šādas robežas:
;
.
No atvasinājumu esamības izriet, ka funkcijas un ir nepārtrauktas punktā. Tāpēc
;
.

Apsveriet mainīgā x funkciju y, kas ir funkciju daļa un:
.
Apskatīsim šīs funkcijas pieaugumu punktā:
.
Reizināt ar:

.
No šejienes
.

Tagad mēs atrodam atvasinājumu:

.

Tātad,
.
Formula ir pierādīta.

Mainīgā vietā varat izmantot jebkuru citu mainīgo. Apzīmēsim to kā x. Tad, ja ir atvasinājumi un , un , tad no divām funkcijām sastāvošas daļas atvasinājumu nosaka pēc formulas:
.
Vai arī īsākā versijā
(1) .

Pierādījums otrajā veidā

Piemēri

Šeit mēs apskatīsim vienkāršus piemērus aprēķinot daļas atvasinājumu, izmantojot koeficienta atvasinājuma formulu (1). Ņemiet vērā, ka sarežģītākos gadījumos ir vieglāk atrast daļskaitļa atvasinājumu, izmantojot logaritmisko atvasinājumu.

1. piemērs

Atrodiet daļskaitļa atvasinājumu
,
kur , , , ir konstantes.

Izmantosim noteikumu, lai diferencētu funkciju summu:
.
Konstantes atvasinājums
.
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.
Tad
;
.

Aizstāt ar un ar:
.

Tagad mēs atrodam frakcijas atvasinājumu, izmantojot formulu
.

.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu no mainīgā x
.

Mēs piemērojam diferenciācijas noteikumus tāpat kā iepriekšējā piemērā.
;
.

Piemēro daļskaitļu diferencēšanas noteikumu
.


.

Fizisko problēmu vai piemēru risināšana matemātikā ir pilnīgi neiespējama bez atvasinājuma un tā aprēķināšanas metožu zināšanām. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāda ir tā fiziskā un ģeometriskā nozīme, kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme

Lai ir funkcija f(x) , kas norādīts noteiktā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Mainot argumentu - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinājuma definīcija:

Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.

Citādi to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Un lūk, kas tas ir:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.

Atvasinājuma fiziskā nozīme: ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.

Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir īpašs ceļš x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums noteiktā laika periodā:

Lai noskaidrotu kustības ātrumu konkrētā laika momentā t0 jums jāaprēķina limits:

Pirmais noteikums: iestatiet konstanti

Konstanti var izņemt no atvasinātās zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, ņemiet to kā likumu - Ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet to .

Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Risinājums:

Šeit ir svarīgi runāt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu un starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteicienu:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms mēs aprēķinām ārējās funkcijas atvasinājumu attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam reizinim ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums

Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:

Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā šķiet, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko testu un izprast uzdevumus, pat ja jūs nekad iepriekš neesat veicis atvasinātos aprēķinus.