Atvasinājums x. Dabiskā logaritma atvasinājums un logaritms a bāzei. Augstāku logaritmu kārtu atvasinājumi bāzei a

Formulu pierādīšana un atvasināšana naturālā logaritma atvasināšanai un logaritmam līdz a bāzei. Ln 2x, ln 3x un ln nx atvasinājumu aprēķināšanas piemēri. N-tās kārtas logaritma atvasinājuma formulas pierādījums, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

Skatīt arī: Logaritms - īpašības, formulas, grafiks
Dabiskais logaritms - īpašības, formulas, grafiks

Formulu atvasināšana naturālā logaritma atvasinājumiem un logaritma bāzei a

X naturālā logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritma atvasinājums no bāzes a ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo x, kas reizināts ar a naturālo logaritmu:
(2) (log a x)′ =.

Pierādījums

Lai ir kāds pozitīvs skaitlis, kas nav vienāds ar vienu. Apsveriet funkciju atkarībā no mainīgā x, kas ir logaritms pret bāzi:
.
Šī funkcija ir definēta . Atradīsim tā atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x. Pēc definīcijas atvasinājums ir šāds ierobežojums:
(3) .

Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmām matemātiskām īpašībām un likumiem. Lai to izdarītu, mums jāzina šādi fakti:
A) Logaritma īpašības. Mums būs nepieciešamas šādas formulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Nepārtrauktas funkcijas logaritma nepārtrauktība un ierobežojumu īpašība:
(7) .
Šeit ir funkcija, kurai ir ierobežojums, un šī robeža ir pozitīva.
IN) Otrā ievērojamā ierobežojuma nozīme:
(8) .

Pielietosim šos faktus līdz mūsu robežām. Vispirms pārveidojam algebrisko izteiksmi
.
Lai to izdarītu, mēs izmantojam rekvizītus (4) un (5).

.

Izmantosim īpašību (7) un otro ievērojamo robežu (8):
.

Visbeidzot, mēs izmantojam īpašumu (6):
.
Logaritms līdz bāzei e sauca naturālais logaritms. Tas ir apzīmēts šādi:
.
Tad ;
.

Tādējādi mēs ieguvām formulu (2) logaritma atvasinājumam.

Dabiskā logaritma atvasinājums

Vēlreiz mēs izrakstām logaritma atvasinājuma formulu, lai bāzētu a:
.
Šai formulai ir visvienkāršākā forma naturālajam logaritmam, kuram , . Tad
(1) .

Šīs vienkāršības dēļ naturālo logaritmu ļoti plaši izmanto matemātiskajā analīzē un citās matemātikas nozarēs, kas saistītas ar diferenciālrēķinu. Logaritmiskās funkcijas ar citām bāzēm var izteikt naturālā logaritmā, izmantojot īpašību (6):
.

Logaritma atvasinājumu attiecībā pret bāzi var atrast no formulas (1), ja no diferenciācijas zīmes izņem konstanti:
.

Citi veidi, kā pierādīt logaritma atvasinājumu

Šeit mēs pieņemam, ka mēs zinām eksponenciāla atvasinājuma formulu:
(9) .
Tad mēs varam iegūt naturālā logaritma atvasinājuma formulu, ņemot vērā, ka logaritms ir eksponenciāla apgrieztā funkcija.

Pierādīsim naturālā logaritma atvasinājuma formulu, pielietojot apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu:
.
Mūsu gadījumā. Dabiskā logaritma apgrieztā funkcija ir eksponenciāla:
.
Tās atvasinājumu nosaka pēc formulas (9). Mainīgos var apzīmēt ar jebkuru burtu. Formulā (9) aizstājiet mainīgo x ar y:
.
Kopš tā laika
.
Tad
.
Formula ir pierādīta.

Tagad mēs pierādām naturālā logaritma atvasinājuma formulu, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumi. Tā kā funkcijas un ir apgrieztas viena otrai, tad
.
Atšķirsim šo vienādojumu attiecībā pret mainīgo x:
(10) .
X atvasinājums ir vienāds ar vienu:
.
Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:
.
Šeit . Aizstāsim ar (10):
.
No šejienes
.

Piemērs

Atrast atvasinājumus no 2x, 3x Un lnnx.

Sākotnējām funkcijām ir līdzīga forma. Tāpēc mēs atradīsim funkcijas atvasinājumu y = log nx. Tad mēs aizstājam n = 2 un n = 3. Un tādējādi mēs iegūstam formulas atvasinājumiem no ln 2x Un 3x .

Tātad, mēs meklējam funkcijas atvasinājumu
y = log nx .
Iedomāsimies šo funkciju kā sarežģītu funkciju, kas sastāv no divām funkcijām:
1) Funkcijas atkarībā no mainīgā lieluma: ;
2) Funkcijas atkarībā no mainīgā: .
Tad sākotnējā funkcija sastāv no funkcijām un:
.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x:
.
Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo:
.
Mēs izmantojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.
.
Šeit mēs to uzstādām.

Tātad mēs atradām:
(11) .
Redzam, ka atvasinājums nav atkarīgs no n. Šis rezultāts ir diezgan dabisks, ja pārveidojam sākotnējo funkciju, izmantojot produkta logaritma formulu:
.
- tā ir konstante. Tās atvasinājums ir nulle. Tad saskaņā ar summas diferenciācijas likumu mums ir:
.

; ; .

Moduļa x logaritma atvasinājums

Atradīsim citas ļoti svarīgas funkcijas atvasinājumu - moduļa x naturālo logaritmu:
(12) .

Apskatīsim lietu. Tad funkcija izskatās šādi:
.
Tās atvasinājumu nosaka pēc formulas (1):
.

Tagad apskatīsim lietu. Tad funkcija izskatās šādi:
,
Kur.
Bet mēs arī atradām šīs funkcijas atvasinājumu iepriekš minētajā piemērā. Tas nav atkarīgs no n un ir vienāds ar
.
Tad
.

Mēs apvienojam šos divus gadījumus vienā formulā:
.

Attiecīgi, lai logaritms būtu pamatā a, mums ir:
.

Dabiskā logaritma augstāku kārtu atvasinājumi

Apsveriet funkciju
.
Mēs atradām tā pirmās kārtas atvasinājumu:
(13) .

Atradīsim otrās kārtas atvasinājumu:
.
Atradīsim trešās kārtas atvasinājumu:
.
Atradīsim ceturtās kārtas atvasinājumu:
.

Varat pamanīt, ka n-tās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:
(14) .
Pierādīsim to ar matemātisko indukciju.

Pierādījums

Aizstāsim vērtību n = 1 formulā (14):
.
Kopš , tad, kad n = 1 , formula (14) ir derīga.

Pieņemsim, ka formula (14) ir izpildīta, ja n = k. Pierādīsim, ka tas nozīmē, ka formula ir derīga n = k + 1 .

Patiešām, n = k mums ir:
.
Diferencēt attiecībā pret mainīgo x:

.
Tātad mēs saņēmām:
.
Šī formula sakrīt ar formulu (14) n = k + 1 . Tādējādi no pieņēmuma, ka formula (14) ir derīga n = k, izriet, ka formula (14) ir derīga n = k + 1 .

Tāpēc n-tās kārtas atvasinājuma formula (14) ir derīga jebkuram n.

Augstāku logaritmu kārtu atvasinājumi bāzei a

Lai atrastu logaritma n-tās kārtas atvasinājumu bāzei a, tas jāizsaka naturālā logaritma izteiksmē:
.
Izmantojot formulu (14), mēs atrodam n-to atvasinājumu:
.

Šajā nodarbībā mācīsimies pielietot diferenciācijas formulas un noteikumus.

Piemēri. Atrast funkciju atvasinājumus.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Noteikuma piemērošana es, formulas 4, 2 un 1. Mēs iegūstam:

y’=7x6 +5x4 -4x3 +3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Mēs risinām līdzīgi, izmantojot vienas un tās pašas formulas un formulu 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Noteikuma piemērošana es, formulas 3, 5 Un 6 Un 1.

Noteikuma piemērošana IV, formulas 5 Un 1 .

Piektajā piemērā saskaņā ar noteikumu es summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, un mēs tikko atradām 1. termina atvasinājumu (piemērs 4 ), tāpēc mēs atradīsim atvasinājumus 2 Un 3 termini un par 1 summand mēs varam uzreiz uzrakstīt rezultātu.

Atšķirsim 2 Un 3 termini saskaņā ar formulu 4 . Lai to izdarītu, mēs pārveidojam trešās un ceturtās pakāpes saknes saucējos par pakāpēm ar negatīviem eksponentiem, un pēc tam saskaņā ar 4 formula, mēs atrodam pilnvaru atvasinājumus.

Apskatiet šo piemēru un rezultātu. Vai jūs uztvērāt modeli? Labi. Tas nozīmē, ka mums ir jauna formula, un mēs varam to pievienot savai atvasinājumu tabulai.

Atrisināsim sesto piemēru un atvasināsim citu formulu.

Izmantosim noteikumu IV un formula 4 . Samazināsim iegūtās frakcijas.

Apskatīsim šī funkcija un tā atvasinājums. Jūs, protams, saprotat modeli un esat gatavs nosaukt formulu:

Mācāmies jaunas formulas!

Piemēri.

1. Atrodiet argumenta pieaugumu un funkcijas y= pieaugumu x 2, ja argumenta sākotnējā vērtība bija vienāda ar 4 , un jauns - 4,01 .

Risinājums.

Jauna argumenta vērtība x=x 0 +Δx. Aizstāsim datus: 4.01=4+Δх, tātad argumenta pieaugums Δx=4,01-4=0,01. Funkcijas pieaugums pēc definīcijas ir vienāds ar starpību starp funkcijas jauno un iepriekšējo vērtību, t.i. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Tā kā mums ir funkcija y=x2, Tas Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atbilde: argumentu pieaugums Δx=0,01; funkcijas pieaugums Δу=0,0801.

Funkcijas pieaugumu var atrast dažādi: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y(4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Atrodiet funkcijas grafika pieskares slīpuma leņķi y=f(x) punktā x 0, Ja f "(x 0) = 1.

Risinājums.

Atvasinājuma vērtība pieskares punktā x 0 un ir pieskares leņķa pieskares vērtība (atvasinājuma ģeometriskā nozīme). Mums ir: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jo tg45°=1.

Atbilde: šīs funkcijas grafika pieskare veido leņķi ar Ox ass pozitīvo virzienu, kas vienāds ar 45°.

3. Atvasiniet funkcijas atvasinājuma formulu y=x n.

Diferencēšana ir darbība, lai atrastu funkcijas atvasinājumu.

Meklējot atvasinājumus, izmantojiet formulas, kas tika atvasinātas, pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, tāpat kā mēs atvasinājām atvasinājuma pakāpes formulu: (x n)" = nx n-1.

Šīs ir formulas.

Atvasinājumu tabula To būs vieglāk iegaumēt, izrunājot verbālos formulējumus:

1. Konstanta daudzuma atvasinājums ir nulle.

2. X pirmskaitlis ir vienāds ar vienu.

3. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes.

4. Pakāpes atvasinājums ir vienāds ar šīs pakāpes eksponenta reizinājumu ar grādu ar tādu pašu bāzi, bet eksponents ir par vienu mazāks.

5. Saknes atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar divām vienādām saknēm.

6. Atvasinājums, kas dalīts ar x, ir vienāds ar mīnus vienu, dalīts ar x kvadrātā.

7. Sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu.

8. Kosinusa atvasinājums ir vienāds ar mīnus sinusu.

9. Pieskares atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar kosinusa kvadrātu.

10. Kotangensa atvasinājums ir vienāds ar mīnus vienu, kas dalīts ar sinusa kvadrātu.

Mēs mācām diferenciācijas noteikumi.

1. Algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar terminu atvasinājumu algebrisko summu.

2. Produkta atvasinājums ir vienāds ar pirmā faktora un otrā faktora atvasinājuma reizinājumu, pieskaitot pirmā faktora reizinājumu un otrā faktora atvasinājumu.

3. “y” atvasinājums, kas dalīts ar “ve”, ir vienāds ar daļskaitli, kurā skaitītājs ir “y pirmskaitlis reizināts ar “ve” mīnus “y reizināts ar ve” un saucējs ir “ve kvadrāts”.

4. Īpašs gadījums formulas 3.

Mācīsimies kopā!

1. lapa no 1 1

Tiek saukts funkcijas atvasinājuma atrašanas process diferenciācija. Matemātiskās analīzes gaitā atvasinājums ir jāatrod vairākās problēmās. Piemēram, atrodot funkciju grafika ekstrēma punktus un lēciena punktus.

Kā atrast?

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina elementāro funkciju atvasinājumu tabula un jāpiemēro diferenciācijas pamatnoteikumi:

1. Konstantes pārvietošana ārpus atvasinājuma zīmes: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funkciju summas/atšķirības atvasinājums: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Daļas atvasinājums: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Risinājumu piemēri

• Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumu tabula

Vienkāršu funkciju atvasinājumi

Paskaidrojums:
Atvasinājums parāda ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās argumentam. Tā kā skaitlis nekādos apstākļos nemainās, tā izmaiņu ātrums vienmēr ir nulle.

2. Mainīgā atvasinājums vienāds ar vienu
x' = 1

Paskaidrojums:
Ar katru argumenta (x) pieaugumu par vienu, funkcijas vērtība (aprēķina rezultāts) palielinās par tādu pašu summu. Tādējādi funkcijas y = x vērtības izmaiņu ātrums ir tieši vienāds ar argumenta vērtības izmaiņu ātrumu.

3. Mainīgā un faktora atvasinājums ir vienāds ar šo koeficientu
сx´ = с
Piemērs:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paskaidrojums:
Šajā gadījumā katru reizi, kad mainās funkcijas arguments ( X) tā vērtība (y) palielinās Ar vienreiz. Tādējādi funkcijas vērtības maiņas ātrums attiecībā pret argumenta izmaiņu ātrumu ir tieši vienāds ar vērtību Ar.

No kurienes tas izriet
(cx + b)" = c
tas ir, lineārās funkcijas diferenciālis y=kx+b ir vienāds ar taisnes (k) slīpumu.

5. Mainīgā atvasinājums no pakāpes vienāds ar šīs jaudas skaitļa un mainīgā reizinājumu ar jaudu, kas samazināta par vienu
(x c)"= cx c-1, ar nosacījumu, ka x c un cx c-1 ir definēti un c ≠ 0
Piemērs:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Lai atcerētos formulu:
Pārvietojiet mainīgā pakāpi uz leju kā faktoru un pēc tam samaziniet pašu pakāpi par vienu. Piemēram, ja x 2 - divi bija priekšā x, un tad samazinātā jauda (2-1 = 1) mums vienkārši deva 2x. Tas pats notika ar x 3 - mēs “pārvietojam” trīskāršu uz leju, samazinām to par vienu un kuba vietā mums ir kvadrāts, tas ir, 3x 2. Mazliet "nezinātniski", bet ļoti viegli atcerēties.

6.Daļas atvasinājums 1/x
(1/x)" = - 1/x2
Piemērs:
Tā kā daļu var attēlot kā paaugstināšanu negatīvā pakāpē
(1/x)" = (x -1)", tad varat piemērot formulu no atvasinājumu tabulas 5. noteikuma
(x -1)" = -1x -2 = - 1/x2

7. Daļas atvasinājums ar patvaļīgas pakāpes mainīgo saucējā
(1/x c)" = - c / x c+1
Piemērs:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Saknes atvasinājums(atvasinājums no mainīgā zem kvadrātsakne)
(√x)" = 1 / (2√x) vai 1/2 x -1/2
Piemērs:
(√x)" = (x 1/2)" nozīmē, ka varat lietot formulu no 5. noteikuma
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Mainīgā atvasinājums zem patvaļīgas pakāpes saknes
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Atvasinājums

Matemātiskās funkcijas atvasinājuma (diferenciācijas) aprēķināšana ir ļoti izplatīta problēma, risinot augstāko matemātiku. Vienkāršām (elementārām) matemātiskām funkcijām tas ir diezgan vienkāršs jautājums, jo elementāro funkciju atvasinājumu tabulas jau sen ir apkopotas un ir viegli pieejamas. Tomēr sarežģītas matemātiskas funkcijas atvasinājuma atrašana nav triviāls uzdevums, un tas bieži prasa ievērojamas pūles un laiku.

Atrodiet atvasinājumu tiešsaistē

Mūsu tiešsaistes pakalpojums ļauj atbrīvoties no bezjēdzīgiem gariem aprēķiniem un atrast atvasinājumu tiešsaistē vienā mirklī. Turklāt, izmantojot mūsu pakalpojumu, kas atrodas vietnē www.vietne, jūs varat aprēķināt tiešsaistes atvasinājums gan no elementāras funkcijas, gan no ļoti sarežģītas funkcijas, kurām nav analītiska risinājuma. Galvenās mūsu vietnes priekšrocības salīdzinājumā ar citām ir: 1) nav stingru prasību matemātiskās funkcijas ievadīšanas metodei atvasinājuma aprēķināšanai (piemēram, ievadot sinusa x funkciju, varat to ievadīt kā sin x vai sin (x) vai sin[x] utt. d.); 2) tiešsaistes atvasinājumu aprēķins režīmā notiek uzreiz tiešsaistē un absolūti par brīvu; 3) ļaujam atrast funkcijas atvasinājumu jebkurš pasūtījums, mainīt atvasinājuma secību ir ļoti viegli un saprotami; 4) mēs ļaujam tiešsaistē atrast gandrīz jebkuras matemātiskas funkcijas atvasinājumu, pat ļoti sarežģītas, kuras nevar atrisināt ar citiem pakalpojumiem. Sniegtā atbilde vienmēr ir precīza un tajā nedrīkst būt kļūdas.

Izmantojot mūsu serveri, varēsiet 1) aprēķināt atvasinājumu tiešsaistē jūsu vietā, novēršot laikietilpīgus un nogurdinošus aprēķinus, kuru laikā jūs varētu pieļaut kļūdu vai drukas kļūdu; 2) ja pats aprēķina matemātiskās funkcijas atvasinājumu, tad sniedzam iespēju iegūto rezultātu salīdzināt ar mūsu servisa aprēķiniem un pārliecināties par risinājuma pareizību vai atrast iezagušos kļūdu; 3) izmantojiet mūsu pakalpojumu, nevis izmantojiet vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulas, kurās bieži vien ir nepieciešams laiks, lai atrastu vēlamo funkciju.

Viss, kas jums jādara, ir atrast atvasinājumu tiešsaistē- ir izmantot mūsu pakalpojumu