Vienkāršs lineārs vienādojums. Lineārie vienādojumi. Īpašu gadījumu risināšana

Utt, ir loģiski iepazīties ar cita veida vienādojumiem. Nākamie rindā ir lineārie vienādojumi , kuras mērķtiecīga apguve sākas algebras stundās 7. klasē.

Ir skaidrs, ka vispirms mums ir jāpaskaidro, kas ir lineārais vienādojums, jāsniedz lineārā vienādojuma definīcija, tā koeficienti un jāparāda tā vispārējā forma. Tad jūs varat izdomāt, cik risinājumu ir lineāram vienādojumam atkarībā no koeficientu vērtībām un kā tiek atrastas saknes. Tas ļaus jums pāriet uz piemēru risināšanu un tādējādi nostiprināt apgūto teoriju. Šajā rakstā mēs to darīsim: mēs detalizēti apskatīsim visus teorētiskos un praktiskos punktus, kas saistīti ar lineārajiem vienādojumiem un to risinājumiem.

Teiksim uzreiz, ka šeit aplūkosim tikai lineāros vienādojumus ar vienu mainīgo, un atsevišķā rakstā pētīsim risināšanas principus lineāri vienādojumi ar diviem mainīgajiem.

Lapas navigācija.

Kas ir lineārais vienādojums?

Lineārā vienādojuma definīciju nosaka tā rakstīšanas veids. Turklāt dažādās matemātikas un algebras mācību grāmatās lineāro vienādojumu definīciju formulējumos ir dažas atšķirības, kas neietekmē jautājuma būtību.

Piemēram, Yu. N. Makarychev et al. algebras mācību grāmatā 7. klasei lineārais vienādojums ir definēts šādi:

Definīcija.

Formas vienādojums a x=b, kur x ir mainīgais, a un b ir daži skaitļi, tiek izsaukts lineārs vienādojums ar vienu mainīgo.

Sniegsim lineāro vienādojumu piemērus, kas atbilst norādītajai definīcijai. Piemēram, 5 x = 10 ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo x, šeit koeficients a ir 5 un skaitlis b ir 10. Cits piemērs: −2.3·y=0 arī ir lineārs vienādojums, bet ar mainīgo y, kurā a=−2.3 un b=0. Un lineārajos vienādojumos x=-2 un -x=3,33 a nav skaidri sastopami un ir attiecīgi vienādi ar 1 un -1, savukārt pirmajā vienādojumā b=-2, bet otrajā - b=3,33.

Un gadu iepriekš N. Ya. Viļenkina matemātikas mācību grāmatā lineārie vienādojumi ar vienu nezināmu, papildus vienādojumiem formā a x = b, tika aplūkoti arī vienādojumi, kurus var novest šajā formā, pārnesot terminus no vienas daļas. vienādojuma pārveidošanu uz citu ar pretēju zīmi, kā arī samazinot līdzīgus vārdus. Saskaņā ar šo definīciju vienādojumi formā 5 x = 2 x + 6 utt. arī lineāri.

Savukārt A. G. Mordkoviča algebras mācību grāmatā 7. klasei ir dota šāda definīcija:

Definīcija.

Lineārs vienādojums ar vienu mainīgo x ir vienādojums formā a·x+b=0, kur a un b ir daži skaitļi, ko sauc par lineārā vienādojuma koeficientiem.

Piemēram, šāda veida lineārie vienādojumi ir 2 x−12=0, šeit koeficients a ir 2, un b ir vienāds ar −12, un 0,2 y+4,6=0 ar koeficientiem a=0,2 un b =4,6. Bet tajā pašā laikā ir lineāru vienādojumu piemēri, kuru forma ir nevis a·x+b=0, bet a·x=b, piemēram, 3·x=12.

Lai turpmāk nebūtu nekādu neatbilstību, ar lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo x un koeficientiem a un b domāsim vienādojumu formā a x + b = 0. Šķiet, ka šāda veida lineārie vienādojumi ir visattaisnotākie, jo lineārie vienādojumi tādi ir algebriskie vienādojumi pirmā pakāpe. Un visus pārējos iepriekš norādītos vienādojumus, kā arī vienādojumus, kas, izmantojot ekvivalentas transformācijas, tiek reducēti līdz formai a x + b = 0, mēs izsauksim vienādojumi, kas reducējas uz lineāriem vienādojumiem. Izmantojot šo pieeju, vienādojums 2 x+6=0 ir lineārs vienādojums, un 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 utt. - Tie ir vienādojumi, kas reducējas uz lineāriem.

Kā atrisināt lineāros vienādojumus?

Tagad ir pienācis laiks noskaidrot, kā tiek atrisināti lineārie vienādojumi a·x+b=0. Citiem vārdiem sakot, ir pienācis laiks noskaidrot, vai lineāram vienādojumam ir saknes, un, ja jā, cik no tām un kā tās atrast.

Lineārā vienādojuma sakņu klātbūtne ir atkarīga no koeficientu a un b vērtībām. Šajā gadījumā ir lineārais vienādojums a x+b=0

vienīgā sakne a≠0,
nav sakņu a=0 un b≠0,
ir bezgalīgi daudz sakņu a=0 un b=0, tādā gadījumā jebkurš skaitlis ir lineāra vienādojuma sakne.

Paskaidrosim, kā šie rezultāti tika iegūti.

Mēs zinām, ka, lai atrisinātu vienādojumus, mēs varam pāriet no sākotnējā vienādojuma uz līdzvērtīgiem vienādojumiem, tas ir, uz vienādojumiem ar vienādām saknēm vai, tāpat kā sākotnējam, bez saknēm. Lai to izdarītu, varat izmantot šādas līdzvērtīgas transformācijas:

termina pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi,
kā arī vienādojuma abu pušu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.

Tātad, lineārā vienādojumā ar vienu mainīgo formu a·x+b=0, mēs varam pārvietot terminu b no kreisās puses uz labo pusi ar pretēju zīmi. Šajā gadījumā vienādojums būs a·x=−b.

Un tad rodas jautājums par abas vienādojuma puses dalīt ar skaitli a. Bet ir viena lieta: skaitlis a var būt vienāds ar nulli, un tādā gadījumā šāds dalījums nav iespējams. Lai risinātu šo problēmu, vispirms pieņemsim, ka skaitlis a nav nulle, un gadījumu, kad būtne ir vienāda ar nulli, aplūkosim atsevišķi nedaudz vēlāk.

Tātad, ja a nav vienāds ar nulli, tad vienādojuma a·x=−b abas puses varam dalīt ar a, pēc kā tas tiks pārveidots formā x=(−b):a, šis rezultāts var būt rakstīts, izmantojot slīpsvītru kā.

Tādējādi a≠0 lineārais vienādojums a·x+b=0 ir ekvivalents vienādojumam, no kura ir redzama tā sakne.

Ir viegli parādīt, ka šī sakne ir unikāla, tas ir, lineārajam vienādojumam nav citu sakņu. Tas ļauj veikt pretēju metodi.

Apzīmēsim sakni kā x 1. Pieņemsim, ka ir vēl viena lineārā vienādojuma sakne, kuru apzīmējam kā x 2 un x 2 ≠x 1, kas, pateicoties vienādu skaitļu noteikšana caur starpību ir ekvivalents nosacījumam x 1 −x 2 ≠0. Tā kā x 1 un x 2 ir lineārā vienādojuma a·x+b=0 saknes, tad ir spēkā skaitliskās vienādības a·x 1 +b=0 un a·x 2 +b=0. Šo vienādību atbilstošās daļas varam atņemt, ko ļauj izdarīt skaitlisko vienādību īpašības, mums ir a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, no kura a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 un tad a·(x 1 −x 2)=0 . Taču šī vienlīdzība nav iespējama, jo gan a≠0, gan x 1 − x 2 ≠0. Tātad mēs nonācām pie pretrunas, kas pierāda lineārā vienādojuma a·x+b=0 saknes unikalitāti a≠0.

Tātad mēs atrisinājām lineāro vienādojumu a·x+b=0, ja a≠0. Pirmais rezultāts, kas norādīts šīs rindkopas sākumā, ir pamatots. Ir palikuši vēl divi, kas atbilst nosacījumam a=0.

Ja a=0, lineārais vienādojums a·x+b=0 iegūst formu 0·x+b=0. No šī vienādojuma un skaitļu reizināšanas ar nulli īpašības izriet, ka neatkarīgi no tā, kādu skaitli ņemtu par x, to aizvietojot vienādojumā 0 x + b=0, tiks iegūta skaitliskā vienādība b=0. Šī vienādība ir patiesa, ja b=0, un citos gadījumos, kad b≠0 šī vienādība ir nepatiesa.

Līdz ar to ar a=0 un b=0 jebkurš skaitlis ir lineārā vienādojuma a·x+b=0 sakne, jo šādos apstākļos jebkura skaitļa aizstāšana ar x dod pareizo skaitlisko vienādību 0=0. Un, kad a=0 un b≠0, lineārajam vienādojumam a·x+b=0 nav sakņu, jo šādos apstākļos jebkura skaitļa aizstāšana x vietā noved pie nepareizas skaitliskās vienādības b=0.

Dotie pamatojumi ļauj formulēt darbību secību, kas ļauj atrisināt jebkuru lineāro vienādojumu. Tātad, algoritms lineārā vienādojuma risināšanai ir:

Pirmkārt, rakstot lineāro vienādojumu, mēs atrodam koeficientu a un b vērtības.
Ja a=0 un b=0, tad šim vienādojumam ir bezgala daudz sakņu, proti, jebkurš skaitlis ir šī lineārā vienādojuma sakne.
Ja a nav nulle, tad

koeficientu b pārnes uz labo pusi ar pretēju zīmi, un lineāro vienādojumu pārveido formā a·x=−b,
pēc tam abas iegūtā vienādojuma puses tiek dalītas ar skaitli a, kas nav nulles, kas dod vēlamo sākotnējā lineārā vienādojuma sakni.

Rakstītais algoritms ir izsmeļoša atbilde uz jautājumu, kā atrisināt lineāros vienādojumus.

Noslēgumā ir vērts teikt, ka līdzīgs algoritms tiek izmantots, lai atrisinātu vienādojumus formā a·x=b. Tā atšķirība ir tāda, ka, ja a≠0, abas vienādojuma puses tiek uzreiz dalītas ar šo skaitli; šeit b jau atrodas vajadzīgajā vienādojuma daļā un nav nepieciešams to pārnest.

Lai atrisinātu vienādojumus formā a x = b, tiek izmantots šāds algoritms:

Ja a=0 un b=0, tad vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu, kas ir jebkuri skaitļi.
Ja a=0 un b≠0, tad sākotnējam vienādojumam nav sakņu.
Ja a nav nulle, tad abas vienādojuma puses tiek dalītas ar skaitli, kas nav nulle, no kura tiek atrasta vienīgā vienādojuma sakne, kas vienāda ar b/a.

Lineāro vienādojumu risināšanas piemēri

Pāriesim pie prakses. Apskatīsim, kā tiek izmantots lineāro vienādojumu risināšanas algoritms. Piedāvāsim risinājumus tipiskiem piemēriem, kas atbilst dažādām lineāro vienādojumu koeficientu vērtībām.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu 0·x−0=0.

Risinājums.

Šajā lineārajā vienādojumā a=0 un b=−0 , kas ir tāds pats kā b=0 . Tāpēc šim vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu; jebkurš skaitlis ir šī vienādojuma sakne.

Atbilde:

x – jebkurš skaitlis.

Piemērs.

Vai lineārajam vienādojumam 0 x + 2,7 = 0 ir risinājumi?

Risinājums.

Šajā gadījumā koeficients a ir vienāds ar nulli, un šī lineārā vienādojuma koeficients b ir vienāds ar 2,7, tas ir, atšķiras no nulles. Tāpēc lineāram vienādojumam nav sakņu.

Nodarbības saturs

Lineārie vienādojumi divos mainīgajos

Skolēnam ir 200 rubļu, lai paēstu pusdienas skolā. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūkas un kafijas tases var nopirkt par 200 rubļiem?

Apzīmēsim kūku skaitu ar x, un kafijas tasīšu skaitu y. Tad kūku izmaksas tiks apzīmētas ar izteiksmi 25 x, un kafijas tasīšu izmaksas 10 punktos y .

25x- cena x kūkas
10y — cena y kafijas tases

Kopējai summai jābūt 200 rubļiem. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar diviem mainīgajiem x Un y

25x+ 10y= 200

Cik sakņu ir šim vienādojumam?

Tas viss ir atkarīgs no studenta apetītes. Ja viņš pērk 6 kūkas un 5 tases kafijas, tad vienādojuma saknes būs skaitļi 6 un 5.

Tiek uzskatīts, ka vērtību pāris 6 un 5 ir vienādojuma 25 saknes x+ 10y= 200. Rakstīts kā (6; 5), kur pirmais skaitlis ir mainīgā vērtība x, bet otrais - mainīgā vērtība y .

6 un 5 nav vienīgās saknes, kas apvērš 25. vienādojumu x+ 10y= 200 līdz identitātei. Ja vēlas, par tiem pašiem 200 rubļiem students var iegādāties 4 kūkas un 10 kafijas tases:

Šajā gadījumā 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 ir vērtību pāris (4; 10).

Turklāt skolēns var nemaz nepirkt kafiju, bet pirkt kūkas par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 būs vērtības 8 un 0

Vai otrādi, nepērciet kūkas, bet pērciet kafiju par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200, vērtības būs 0 un 20

Mēģināsim uzskaitīt visas iespējamās 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200. Vienosimies, ka vērtības x Un y pieder veselu skaitļu kopai. Un ļaujiet šīm vērtībām būt lielākas vai vienādas ar nulli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tas būs ērti pašam studentam. Ērtāk ir pirkt veselas kūkas nekā, piemēram, vairākas veselas kūkas un pusi kūkas. Arī kafiju ir ērtāk ņemt veselās krūzēs, nekā, piemēram, vairākas veselas krūzes un pustasi.

Ņemiet vērā, ka nepāra x vienlīdzību nav iespējams panākt nekādos apstākļos y. Pēc tam vērtības xšādi skaitļi būs 0, 2, 4, 6, 8. Un zinot x var viegli noteikt y

Tādējādi mēs saņēmām šādus vērtību pārus (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šie pāri ir 25. vienādojuma risinājumi vai saknes x+ 10y= 200. Viņi pārvērš šo vienādojumu par identitāti.

Formas vienādojums cirvis + ar = c sauca lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem. Šī vienādojuma atrisinājums vai saknes ir vērtību pāris ( x; y), kas to pārvērš identitātē.

Ņemiet vērā arī to, ka formā ir ierakstīts lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem ax + b y = c , tad viņi saka, ka tas ir rakstīts kanonisks(parastā) forma.

Dažus lineāros vienādojumus divos mainīgajos var reducēt līdz kanoniskajai formai.

Piemēram, vienādojums 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) var vest pie prāta cirvis + ar = c. Atvērsim iekavas abās šī vienādojuma pusēs un iegūsim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Mēs grupējam terminus, kas satur nezināmus vienādojuma kreisajā pusē, un terminus, kas satur nezināmus, labajā pusē. Tad mēs saņemam 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās pusēs, iegūstam vienādojumu 16 x+ 8y= 32. Šis vienādojums tiek reducēts līdz formai cirvis + ar = c un ir kanonisks.

Iepriekš apspriestais 25. vienādojums x+ 10y= 200 ir arī lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem kanoniskā formā. Šajā vienādojumā parametri a , b Un c ir vienādi ar vērtībām attiecīgi 25, 10 un 200.

Patiesībā vienādojums cirvis + ar = c Tā ir neskaitāmas lēmumus. Vienādojuma atrisināšana 25x+ 10y= 200, mēs meklējām tās saknes tikai veselu skaitļu kopā. Rezultātā mēs ieguvām vairākus vērtību pārus, kas pārvērta šo vienādojumu par identitāti. Bet uz racionālo skaitļu kopas 25. vienādojums x+ 10y= 200 būs bezgalīgi daudz risinājumu.

Lai iegūtu jaunus vērtību pārus, jums ir jāņem patvaļīga vērtība x, tad izteikt y. Piemēram, pieņemsim mainīgo x vērtība 7. Tad iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 25 × 7 + 10y= 200 kurā var izteikties y

Ļaujiet x= 15. Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × 15 + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −17,5

Ļaujiet x= –3 . Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × (–3) + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −27,5

Divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem

Vienādojumam cirvis + ar = c jūs varat ņemt patvaļīgas vērtības tik reižu, cik vēlaties x un atrodiet vērtības y. Atsevišķi ņemot, šādam vienādojumam būs neskaitāmi risinājumi.

Bet gadās arī, ka mainīgie x Un y savienoti nevis ar vienu, bet ar diviem vienādojumiem. Šajā gadījumā tie veido tā saukto Lineāro vienādojumu sistēma divos mainīgajos. Šādai vienādojumu sistēmai var būt viens vērtību pāris (vai citiem vārdiem sakot: “viens risinājums”).

Var arī gadīties, ka sistēmai vispār nav risinājumu. Lineāru vienādojumu sistēmai retos un izņēmuma gadījumos var būt neskaitāmi risinājumi.

Divi lineāri vienādojumi veido sistēmu, kad vērtības x Un y ievadiet katrā no šiem vienādojumiem.

Atgriezīsimies pie paša pirmā vienādojuma 25 x+ 10y= 200. Viens no šī vienādojuma vērtību pāriem bija pāris (6; 5) . Šis ir gadījums, kad par 200 rubļiem varēja nopirkt 6 kūkas un 5 tases kafijas.

Formulēsim uzdevumu tā, lai pāris (6; 5) kļūtu par vienīgo 25. vienādojuma risinājumu x+ 10y= 200. Lai to izdarītu, izveidosim citu vienādojumu, kas savienotu to pašu x kūkas un y kafijas tases.

Problēmas tekstu formulēsim šādi:

“Students nopirka vairākas kūkas un vairākas kafijas tases par 200 rubļiem. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūku un kafijas tasīšu skolēns iegādājās, ja ir zināms, ka kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits?

Mums jau ir pirmais vienādojums. Šis ir vienādojums 25 x+ 10y= 200. Tagad izveidosim nosacījuma vienādojumu "kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits" .

Kūku skaits ir x, un kafijas tasīšu skaits ir y. Jūs varat uzrakstīt šo frāzi, izmantojot vienādojumu x−y= 1. Šis vienādojums nozīmēs, ka atšķirība starp kūkām un kafiju ir 1.

x = y+ 1 . Šis vienādojums nozīmē, ka kūku skaits ir par vienu vairāk nekā kafijas tasīšu skaits. Tāpēc, lai iegūtu vienlīdzību, kafijas tasīšu skaitam tiek pievienots viens. To var viegli saprast, ja mēs izmantojam skalu modeli, ko ņēmām vērā, pētot vienkāršākās problēmas:

Mēs saņēmām divus vienādojumus: 25 x+ 10y= 200 un x = y+ 1. Tā kā vērtības x Un y, proti, 6 un 5 ir iekļauti katrā no šiem vienādojumiem, tad kopā tie veido sistēmu. Pierakstīsim šo sistēmu. Ja vienādojumi veido sistēmu, tad tos ierāmē sistēmas zīme. Sistēmas simbols ir krokains figūriekava:

Atrisināsim šo sistēmu. Tas ļaus mums redzēt, kā mēs nonākam pie vērtībām 6 un 5. Ir daudzas metodes šādu sistēmu risināšanai. Apskatīsim populārākos no tiem.

Aizvietošanas metode

Šīs metodes nosaukums runā pats par sevi. Tās būtība ir aizstāt vienu vienādojumu ar citu, iepriekš izsakot vienu no mainīgajiem.

Mūsu sistēmā nekas nav jāizsaka. Otrajā vienādojumā x = y+ 1 mainīgais x jau izteikts. Šis mainīgais ir vienāds ar izteiksmi y+ 1 . Tad jūs varat aizstāt šo izteiksmi ar pirmo vienādojumu, nevis mainīgo x

Pēc izteiksmes aizstāšanas y Tā vietā pirmajā vienādojumā + 1 x, mēs iegūstam vienādojumu 25(y+ 1) + 10y= 200 . Šis ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo. Šo vienādojumu ir diezgan viegli atrisināt:

Mēs atradām mainīgā vērtību y. Tagad aizstāsim šo vērtību vienā no vienādojumiem un atradīsim vērtību x. Šim nolūkam ir ērti izmantot otro vienādojumu x = y+ 1 . Aizstāsim tajā vērtību y

Tas nozīmē, ka pāris (6; 5) ir vienādojumu sistēmas risinājums, kā mēs iecerējām. Mēs pārbaudām un pārliecināmies, ka pāris (6; 5) apmierina sistēmu:

2. piemērs

Aizstāsim pirmo vienādojumu x= 2 + y otrajā vienādojumā 3 x− 2y= 9. Pirmajā vienādojumā mainīgais x vienāds ar izteiksmi 2 + y. Aizstāsim šo izteiksmi ar otro vienādojumu x

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, aizstāsim vērtību y pirmajā vienādojumā x= 2 + y

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir pāra vērtība (5; 3)

3. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Šeit, atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem, viens no mainīgajiem nav skaidri izteikts.

Lai aizstātu vienu vienādojumu ar citu, vispirms ir nepieciešams .

Ieteicams izteikt mainīgo, kura koeficients ir viens. Mainīgajam ir koeficients viens x, kas ir ietverts pirmajā vienādojumā x+ 2y= 11. Izteiksim šo mainīgo.

Pēc mainīgās izteiksmes x, mūsu sistēmai būs šāda forma:

Tagad aizstāsim pirmo vienādojumu ar otro un atradīsim vērtību y

Aizstāsim y x

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (3; 4)

Protams, var izteikt arī mainīgo y. Tas nemainīs saknes. Bet, ja jūs izteikt y, Rezultāts nav ļoti vienkāršs vienādojums, kura atrisināšana prasīs vairāk laika. Tas izskatīsies šādi:

Mēs redzam, ka šajā piemērā mēs izsakām x daudz ērtāk nekā izteikt y .

4. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x. Varat izmantot sākotnējo vienādojumu 7 x+ 9y= 8, vai izmantojiet vienādojumu, kurā ir izteikts mainīgais x. Mēs izmantosim šo vienādojumu, jo tas ir ērti:

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (5; −3)

Papildināšanas metode

Saskaitīšanas metode sastāv no sistēmā iekļauto vienādojumu saskaitīšanas pēc termina. Šis papildinājums rada jaunu vienādojumu ar vienu mainīgo. Un šāda vienādojuma atrisināšana ir pavisam vienkārša.

Atrisināsim šādu vienādojumu sistēmu:

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. Un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi. Mēs iegūstam šādu vienādību:

Apskatīsim līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 3 x= 27, kuras sakne ir 9. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x otrajā vienādojumā x−y= 3. Mēs iegūstam 9 − y= 3. No šejienes y= 6 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (9; 6)

2. piemērs

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. Un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi. Iegūtajā vienādībā mēs piedāvājam līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 5 x= 20, kuras sakne ir 4. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x pirmajā vienādojumā 2 x+y= 11. Saņemsim 8+ y= 11. No šejienes y= 3 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (4;3)

Pievienošanas process nav detalizēti aprakstīts. Tas jādara garīgi. Saskaitot, abi vienādojumi jāsamazina līdz kanoniskajai formai. Proti ac + by = c .

No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, ka vienādojumu pievienošanas galvenais mērķis ir atbrīvoties no viena no mainīgajiem. Bet ne vienmēr vienādojumu sistēmu var uzreiz atrisināt, izmantojot saskaitīšanas metodi. Visbiežāk sistēma vispirms tiek nogādāta formā, kurā var pievienot šajā sistēmā iekļautos vienādojumus.

Piemēram, sistēma var atrisināt uzreiz, pievienojot. Saskaitot abus vienādojumus, termini y Un −y pazudīs, jo to summa ir nulle. Rezultātā veidojas vienkāršākais vienādojums 11 x= 22, kuras sakne ir 2. Tad varēs noteikt y vienāds ar 5.

Un vienādojumu sistēma Pievienošanas metodi nevar atrisināt uzreiz, jo tas neizraisīs viena no mainīgajiem pazušanu. Saskaitīšanas rezultātā tiks iegūts 8. vienādojums x+ y= 28, kam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam. Šis noteikums attiecas arī uz lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem. Vienu no vienādojumiem (vai abus vienādojumus) var reizināt ar jebkuru skaitli. Rezultāts būs līdzvērtīga sistēma, kuras saknes sakritīs ar iepriekšējo.

Atgriezīsimies pie pašas pirmās sistēmas, kurā bija aprakstīts, cik kūku un kafijas tasīšu nopircis skolēns. Šīs sistēmas risinājums bija vērtību pāris (6; 5).

Reizināsim abus šajā sistēmā iekļautos vienādojumus ar dažiem skaitļiem. Pieņemsim, ka mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3

Rezultātā mēs saņēmām sistēmu
Šīs sistēmas risinājums joprojām ir vērtību pāris (6; 5)

Tas nozīmē, ka sistēmā iekļautos vienādojumus var reducēt līdz saskaitīšanas metodes piemērošanai piemērotai formai.

Atgriezīsimies pie sistēmas , ko nevarējām atrisināt, izmantojot pievienošanas metodi.

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6, bet otro ar -2

Tad mēs iegūstam šādu sistēmu:

Saskaitīsim šajā sistēmā iekļautos vienādojumus. Komponentu pievienošana 12 x un −12 x rezultāts būs 0, pievienojums 18 y un 4 y dos 22 y, un saskaitot 108 un −20, iegūstam 88. Tad iegūstam vienādojumu 22 y= 88, no šejienes y = 4 .

Ja sākumā ir grūti pievienot vienādojumus galvā, tad varat pierakstīt, kā pirmā vienādojuma kreisā puse sakrīt ar otrā vienādojuma kreiso pusi un pirmā vienādojuma labā puse sakrīt ar vienādojuma labo pusi. otrais vienādojums:

Zinot, ka mainīgā lieluma vērtība y vienāds ar 4, jūs varat atrast vērtību x. Aizstāsim y vienā no vienādojumiem, piemēram, pirmajā vienādojumā 2 x+ 3y= 18. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 2 x+ 12 = 18. Pārvietosim 12 uz labo pusi, mainot zīmi, iegūstam 2 x= 6, no šejienes x = 3 .

4. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Sareizināsim otro vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Saskaitīsim abus vienādojumus. Komponentu pievienošana x Un −x rezultāts būs 0, pievienojums 5 y un 3 y dos 8 y, un, saskaitot 7 un 1, iegūst 8. Rezultāts ir 8. vienādojums y= 8, kuras sakne ir 1. Zinot, ka vērtība y vienāds ar 1, jūs varat atrast vērtību x .

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam x+ 5 = 7, tātad x= 2

5. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Vēlams, lai termini, kas satur vienus un tos pašus mainīgos, atrastos viens zem otra. Tāpēc otrajā vienādojumā termini 5 y un −2 x Apmainīsimies vietām. Rezultātā sistēmai būs šāda forma:

Sareizināsim otro vienādojumu ar 3. Tad sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā iegūstam 8. vienādojumu y= 16, kura sakne ir 2.

Aizstāsim y Pirmajā vienādojumā mēs iegūstam 6 x− 14 = 40. Pārvietosim terminu −14 uz labo pusi, mainot zīmi, un iegūstam 6 x= 54 . No šejienes x= 9.

6. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Atbrīvosimies no frakcijām. Reiziniet pirmo vienādojumu ar 36, bet otro ar 12

Iegūtajā sistēmā pirmo vienādojumu var reizināt ar -5, bet otro - ar 8

Saskaitīsim vienādojumus iegūtajā sistēmā. Tad iegūstam vienkāršāko vienādojumu −13 y= –156 . No šejienes y= 12. Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x

7. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Pārveidosim abus vienādojumus normālā formā. Šeit ir ērti piemērot proporcijas likumu abos vienādojumos. Ja pirmajā vienādojumā labā puse ir attēlota kā , bet otrā vienādojuma labā puse kā , tad sistēmai būs šāda forma:

Mums ir proporcija. Sareizināsim tā galējo un vidējo terminu. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar –3 un atveram iekavas otrajā:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Šo vienādojumu pievienošanas rezultātā mēs iegūstam vienādību ar nulli abās pusēs:

Izrādās, ka sistēmai ir neskaitāmi risinājumi.

Bet mēs nevaram vienkārši paņemt no debesīm patvaļīgas vērtības x Un y. Mēs varam norādīt vienu no vērtībām, bet otra tiks noteikta atkarībā no mūsu norādītās vērtības. Piemēram, ļaujiet x= 2. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Viena no vienādojumiem atrisināšanas rezultātā vērtība for y, kas apmierinās abus vienādojumus:

Iegūtais vērtību pāris (2; −2) apmierinās sistēmu:

Atradīsim citu vērtību pāri. Ļaujiet x= 4. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Pēc acs var pateikt, ka vērtība y vienāds ar nulli. Tad mēs iegūstam vērtību pāri (4; 0), kas apmierina mūsu sistēmu:

8. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6, bet otro ar 12

Pārrakstīsim to, kas palicis pāri:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā veidojas 6. vienādojums b= 48, kura sakne ir 8. Aizstāt b pirmajā vienādojumā un atrodiet a

Lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem

Lineārais vienādojums ar trim mainīgajiem ietver trīs mainīgos lielumus ar koeficientiem, kā arī pārtveršanas terminu. Kanoniskā formā to var uzrakstīt šādi:

ax + by + cz = d

Šim vienādojumam ir neskaitāmi risinājumi. Dodot diviem mainīgajiem dažādas vērtības, var atrast trešo vērtību. Risinājums šajā gadījumā ir trīskāršs vērtību ( x; y; z), kas pārvērš vienādojumu par identitāti.

Ja mainīgie x, y, z ir savstarpēji savienoti ar trim vienādojumiem, tad veidojas trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem. Lai atrisinātu šādu sistēmu, varat izmantot tās pašas metodes, kas attiecas uz lineāriem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem: aizstāšanas metodi un saskaitīšanas metodi.

1. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim trešajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad veiksim aizstāšanu. Mainīgs x ir vienāds ar izteiksmi 3 − 2y − 2z . Aizstāsim šo izteiksmi pirmajā un otrajā vienādojumā:

Atvērsim iekavas abos vienādojumos un parādīsim līdzīgus terminus:

Mēs esam nonākuši pie lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Šajā gadījumā ir ērti izmantot pievienošanas metodi. Rezultātā mainīgais y pazudīs, un mēs varam atrast mainīgā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību y. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu − y+ z= 4. Aizstājiet tajā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu x= 3 − 2y − 2z . Aizstāsim tajā vērtības y Un z

Tādējādi vērtību trīskāršs (3; -2; 2) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

2. piemērs. Atrisiniet sistēmu, izmantojot pievienošanas metodi

Saskaitīsim pirmo vienādojumu ar otro, reizinot ar –2.

Ja otro vienādojumu reizina ar –2, tas iegūst formu −6x+ 6y − 4z = −4 . Tagad pievienosim to pirmajam vienādojumam:

Redzam, ka elementāru transformāciju rezultātā tika noteikta mainīgā vērtība x. Tas ir vienāds ar vienu.

Atgriezīsimies pie galvenās sistēmas. Saskaitīsim otro vienādojumu ar trešo, kas reizināts ar −1. Ja trešo vienādojumu reizina ar –1, tas iegūst formu −4x + 5y − 2z = −1 . Tagad pievienosim to otrajam vienādojumam:

Mēs saņēmām vienādojumu x− 2y= –1. Aizstāsim tajā vērtību x ko atradām iepriekš. Tad mēs varam noteikt vērtību y

Tagad mēs zinām nozīmes x Un y. Tas ļauj noteikt vērtību z. Izmantosim vienu no sistēmā iekļautajiem vienādojumiem:

Tādējādi vērtību trīskāršs (1; 1; 1) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

Lineāro vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevumi

Vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevums tiek atrisināts, ievadot vairākus mainīgos. Tālāk tiek apkopoti vienādojumi, pamatojoties uz uzdevuma nosacījumiem. No sastādītajiem vienādojumiem tie veido sistēmu un atrisina to. Pēc sistēmas atrisināšanas ir jāpārbauda, vai tās risinājums atbilst problēmas nosacījumiem.

1. problēma. No pilsētas uz kolhozu izbrauca automašīna Volga. Viņa atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija par 5 km īsāks nekā pirmais. Kopumā automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ. Cik kilometru ir katra ceļa garums?

Risinājums

Ļaujiet x- pirmā ceļa garums, y- otrā garums. Ja automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+ y= 35. Šis vienādojums apraksta abu ceļu garumu summu.

Stāsta, ka mašīna atgriezusies pa ceļu, kas bijis par 5 km īsāks nekā pirmais. Tad otro vienādojumu var uzrakstīt kā x− y= 5. Šis vienādojums parāda, ka starpība starp ceļa garumiem ir 5 km.

Vai arī otro vienādojumu var uzrakstīt kā x= y+5. Mēs izmantosim šo vienādojumu.

Tā kā mainīgie x Un y abos vienādojumos apzīmē vienu un to pašu skaitli, tad no tiem varam izveidot sistēmu:

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot dažas no iepriekš pētītajām metodēm. Šajā gadījumā ir ērti izmantot aizstāšanas metodi, jo otrajā vienādojumā mainīgais x jau izteikts.

Aizstājiet otro vienādojumu ar pirmo un atrodiet y

Aizstāsim atrasto vērtību y otrajā vienādojumā x= y+ 5 un mēs atradīsim x

Pirmā ceļa garums tika norādīts ar mainīgo x. Tagad mēs esam atraduši tā nozīmi. Mainīgs x ir vienāds ar 20. Tas nozīmē, ka pirmā ceļa garums ir 20 km.

Un otrā ceļa garumu norādīja ar y. Šī mainīgā vērtība ir 15. Tas nozīmē, ka otrā ceļa garums ir 15 km.

Pārbaudīsim. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Tagad pārbaudīsim, vai risinājums (20; 15) atbilst problēmas nosacījumiem.

Tika teikts, ka automašīna turp un atpakaļ nobrauca 35 km. Saskaitām abu ceļu garumus un pārliecināmies, ka risinājums (20; 15) atbilst šim nosacījumam: 20 km + 15 km = 35 km

Šāds nosacījums: automašīna atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija 5 km īsāks nekā pirmais . Mēs redzam, ka risinājums (20; 15) arī atbilst šim nosacījumam, jo 15 km ir īsāks par 20 km reiz 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Veidojot sistēmu, ir svarīgi, lai mainīgie attēlotu vienādus skaitļus visos vienādojumos, kas iekļauti šajā sistēmā.

Tātad mūsu sistēmā ir divi vienādojumi. Šie vienādojumi savukārt satur mainīgos x Un y, kas attēlo vienus un tos pašus skaitļus abos vienādojumos, proti, ceļa garumu 20 km un 15 km.

2. problēma. Uz platformas tika uzkrauti ozola un priedes gulšņi, kopā 300 gulšņi. Zināms, ka visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi. Nosakiet, cik ozolkoka un priedes gulšņu bija atsevišķi, ja katrs ozols svēra 46 kg, bet katrs priedes gulšnis 28 kg.

Risinājums

Ļaujiet x ozols un y uz platformas tika uzkrauti priežu gulšņi. Ja kopā bija 300 gulšņu, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+y = 300 .

Visi ozolkoka gulšņi svēra 46 x kg, un priedes svēra 28 y Kilograms. Tā kā ozola gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā priedes gulšņi, otro vienādojumu var uzrakstīt kā 28y − 46x= 1000 . Šis vienādojums parāda, ka ozola un priedes gulšņu masas atšķirība ir 1000 kg.

Tonnas tika pārrēķinātas kilogramos, jo ozola un priedes gulšņu masa tika mērīta kilogramos.

Rezultātā mēs iegūstam divus vienādojumus, kas veido sistēmu

Atrisināsim šo sistēmu. Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Aizstājiet pirmo vienādojumu ar otro un atrodiet y

Aizstāsim y vienādojumā x= 300 − y un uzzini, kas tas ir x

Tas nozīmē, ka uz platformas tika uzkrauti 100 ozolkoka un 200 priedes gulšņi.

Pārbaudīsim, vai risinājums (100; 200) atbilst uzdevuma nosacījumiem. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Runāja, ka kopā esot 300 gulšņu. Saskaitām ozola un priedes gulšņu skaitu un pārliecināmies, ka risinājums (100; 200) atbilst šim nosacījumam: 100 + 200 = 300.

Šāds nosacījums: visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi . Redzam, ka risinājums (100; 200) arī atbilst šim nosacījumam, jo 46 × 100 kg ozolkoka gulšņi ir vieglāki par 28 × 200 kg priedes gulšņiem: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

3. problēma. Mēs paņēmām trīs vara-niķeļa sakausējuma gabalus proporcijās 2: 1, 3: 1 un 5: 1 pēc svara. No tiem tika sakausēts gabals, kas sver 12 kg, ar vara un niķeļa satura attiecību 4: 1. Atrodiet katra sākotnējā gabala masu, ja pirmā masa ir divreiz lielāka par otrā.

Vienādojumi. Citiem vārdiem sakot, visu vienādojumu atrisināšana sākas ar šīm transformācijām. Risinot lineāros vienādojumus, tas (risinājums) ir identitātes transformācijas un beidzas ar galīgo atbildi.

Nezināma mainīgā koeficienta gadījums, kas nav nulle.

ax+b=0, a ≠ 0

Mēs pārvietojam dalībniekus ar X uz vienu pusi un uz otru pusi - cipariem. Noteikti atcerieties to pārsūtot noteikumiem uz pretējo pusi vienādojumam, jums jāmaina zīme:

cirvis:(a)=-b:(a)

Saīsināsim A plkst X un mēs iegūstam:

x=-b:(a)

Šī ir atbilde. Ja jums ir jāpārbauda, vai numurs ir -ba) mūsu vienādojuma sakne, tad mums ir jāaizstāj ar sākotnējo vienādojumu Xšis ir numurs:

a(-b:(a))+b=0 ( tie. 0=0)

Jo tad šī vienlīdzība ir pareiza -ba) un patiesība ir vienādojuma sakne.

Atbilde: x=-b:(a), a ≠ 0.

Pirmais piemērs:

5x+2=7x-6

Mēs pārvietojam dalībniekus uz vienu pusi X, un otrā pusē cipari:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Nezināmam faktoram mēs samazinājām koeficientu un saņēmām atbildi:

Šī ir atbilde. Ja jums ir jāpārbauda, vai skaitlis 4 patiešām ir mūsu vienādojuma sakne, sākotnējā vienādojumā aizstājam ar šo skaitli, nevis X:

5*4+2=7*4-6 ( tie. 22=22)

Jo šī vienādība ir patiesa, tad 4 ir vienādojuma sakne.

Otrais piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:

5x+14=x-49

Pārvietojot nezināmos un skaitļus dažādos virzienos, mēs ieguvām:

Sadaliet vienādojuma daļas ar koeficientu pie x(ar 4) un mēs iegūstam:

Trešais piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:

Vispirms atbrīvojamies no iracionalitāte nezināmā koeficientā, reizinot visi termini valodā:

Šī forma tiek uzskatīta par vienkāršotu, jo skaitļa saucējā ir skaitļa sakne. Mums ir jāvienkāršo atbilde, reizinot skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli, mums ir šāds:

Gadījums, kad nav risinājumu.

Atrisiniet vienādojumu:

2x+3=2x+7

Visu priekšā x mūsu vienādojums nekļūs par patiesu vienlīdzību. Tas ir, mūsu vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: risinājumu nav.

Īpašs gadījums ir bezgalīgs risinājumu skaits.

Atrisiniet vienādojumu:

2x+3=2x+3

Pārvietojot x un skaitļus dažādos virzienos un pievienojot līdzīgus terminus, mēs iegūstam vienādojumu:

Arī šeit nav iespējams abas daļas dalīt ar 0, jo tas ir aizliegts. Tomēr, liekot pie vietas X jebkurš skaitlis, mēs iegūstam pareizo vienādību. Tas ir, katrs skaitlis ir šāda vienādojuma risinājums. Tādējādi ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Atbilde: bezgalīgi daudz risinājumu.