Производная in x. Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a. Производные высших порядков логарифма по основанию a

Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.

См. также: Логарифм - свойства, формулы, график
Натуральный логарифм - свойства, формулы, график

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) (ln x)′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a :
(2) (log a x)′ = .

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма . Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом . Он обозначается так:
.
Тогда ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a :
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции :
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции . Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x :
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx .

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx .
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции .
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
- это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

; ; .

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции - натурального логарифма от модуля x :
(12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .

Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x :

.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)" = \frac{u"v - uv"}{v^2} $$
5. Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примеры решения

• Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Производные простых функций

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях - скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)" = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)"= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной "вниз" как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 - двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 - тройку "спускаем вниз", уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного "не научно", но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)" = (x -1)" , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)" = - c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)" = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)" = (х 1/2)" значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Производная

Вычисление производной от математической функции (дифференцирование) является очень частой задачей при решении высшей математики. Для простых (элементарных) математических функций это является довольно простым делом, поскольку уже давно составлены и легко доступны таблицы производных для элементарных функций. Однако, нахождение производной сложной математической функции не является тривиальной задачей и часто требует значительных усилий и временных затрат.

Найти производную онлайн

Наш онлайн сервис позволяет избавиться от бессмысленных долгих вычислений и найти производную онлайн за одно мгновение. Причем воспользовавшись нашим сервисом, расположенным на сайте www.сайт , вы можете вычислить производную онлайн как от элементарной функции, так и от очень сложной, не имеющей решения в аналитическом виде. Главными преимуществами нашего сайта по сравнению с другими являются: 1) нет жестких требований к способу ввода математической функции для вычисления производной (например при вводе функции синус икс вы можете ввести ее как sin x либо sin(x) либо sin[x] и т.д.); 2) вычисление производной онлайн происходит мгновенно в режиме онлайн и абсолютно бесплатно ; 3) мы позволяем находить производную от функции любого порядка , изменить порядок производной очень легко и понятно; 4) мы позволяем найти производную почти от любой математической функции онлайн, даже очень сложной, недоступной для решения другими сервисами. Выдаваемый ответ всегда точен и не может содержать ошибки.

Использование нашего сервера позволит вам 1) вычислить производную онлайн за вас, избавив от длительных и утомительных вычислений, в ходе которых вы могли бы допустить ошибку или опечатку; 2) если вы вычисляете производную математической функции самостоятельно, то мы предоставляем вам возможность сравнить полученный результат с вычислениями нашего сервиса и убедиться в верности решения либо отыскать закравшуюся ошибку; 3)пользоваться нашим сервисом вместо использования таблиц производных простых функций, где зачастую необходимо время для нахождения нужной функции.

Всё что от вас требуется, чтобы найти производную онлайн - это воспользоваться нашим сервисом на