Производна в х. Производна на натурален логаритъм и логаритъм по основа а. Производни от по-високи разряди на логаритъма по основа а

Доказателство и извеждане на формули за производната на натурален логаритъм и логаритъм по основа а. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на логаритъм от n-ти ред с помощта на метода на математическата индукция.

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, графика
Натурален логаритъм - свойства, формули, графика

Извеждане на формули за производните на натурален логаритъм и логаритъм по основа а

Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x)′ =.

Производната на логаритъма по основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) (log a x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, зависеща от променлива x, която е логаритъм спрямо основата:
.
Тази функция е дефинирана в . Нека намерим неговата производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъма. Ще ни трябват следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
б)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето една функция, която има граница и тази граница е положителна.
IN)Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Нека приложим тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойството (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, прилагаме свойство (6):
.
Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм. Той се обозначава, както следва:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на натурален логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по основата a:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.

Производната на логаритъма по отношение на основата може да се намери от формула (1), ако извадите константата от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъм

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратна функция на експоненциала.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай.
.
Обратната функция на естествения логаритъм е експоненциалната:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава

Формулата е доказана. Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, като използвамеправила за диференциране на сложни функции
.
. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
(10) .
Нека диференцираме това уравнение по отношение на променливата x:
.
Производната на x е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции:
.
Тук . Нека заместим в (10):
.

Оттук

Пример Намерете производни на В 2 пъти,В 3 пъти И.

lnnx Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx . След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производните наВ 2 пъти В 2 пъти, .

И
Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията .
И така, търсим производната на функцията
1) Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
2) Функции, зависещи от променлива: ;
Функции, зависещи от променлива: .
.

Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.

Тук го настроихме.
(11) .
Така открихме:
.
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата за логаритъм на произведението:
.

; ; .

- това е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сбора, имаме:

Производна на логаритъм от модул x
(12) .

Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модул x:
.
Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.

Неговата производна се определя по формула (1):
,
Където .
Но също така намерихме производната на тази функция в примера по-горе. Не зависи от n и е равно на
.
От тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъма с основа а имаме:
.

Производни от по-високи разряди на натурален логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме неговата производна от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Можете да забележите, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава когато n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че това означава, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на променливата x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-високи разряди на логаритъма по основа а

За да намерите производната от n-ти ред на логаритъм по основа а, трябва да я изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.

В този урок ще се научим да прилагаме формули и правила за диференциране.

Примери. Намерете производни на функции.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Прилагане на правилото аз, формули 4, 2 и 1. Получаваме:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаваме по подобен начин, използвайки същите формули и формула 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Прилагане на правилото аз, формули 3, 5 В 3 пъти 6 В 3 пъти 1.

Прилагане на правилото IV, формули 5 В 3 пъти 1 .

В петия пример, според правилото азпроизводната на сумата е равна на сумата на производните и току-що намерихме производната на първия член (пример 4 ), следователно ще намерим производни 2-роИ 3-тотермини и за 1-висбор можем веднага да запишем резултата.

Нека разграничим 2-роВ 3 пъти 3-тоусловия по формулата 4 . За да направим това, трансформираме корените на третата и четвъртата степен в знаменателите в степени с отрицателни показатели и след това, според 4 формула, намираме производни на степени.

Вижте този пример и резултата. Хванахте ли модела? Глоба. Това означава, че имаме нова формула и можем да я добавим към нашата таблица с производни.

Нека решим шестия пример и изведем друга формула.

Нека използваме правилото IVи формула 4 . Нека намалим получените дроби.

Нека да разгледаме тази функцияи негово производно. Вие, разбира се, разбирате модела и сте готови да назовете формулата:

Научаване на нови формули!

Примери.

1. Намерете увеличението на аргумента и увеличението на функцията y= х 2, ако първоначалната стойност на аргумента е равна на 4 , и нови - 4,01 .

Решение.

Нова стойност на аргумента x=x 0 +Δx. Нека заместим данните: 4.01=4+Δx, следователно нарастването на аргумента Δx=4,01-4=0,01. Увеличаването на функцията по дефиниция е равно на разликата между новата и предишната стойност на функцията, т.е. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Тъй като имаме функция y=x2, Че Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Отговор: увеличение на аргумента Δx=0,01; увеличение на функцията Δу=0,0801.

Увеличението на функцията може да се намери по различен начин: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Намерете ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията y=f(x)в точката х 0, Ако f "(x 0) = 1.

Решение.

Стойността на производната в точката на допиране х 0и е стойността на тангенса на допирателния ъгъл (геометричното значение на производната). Ние имаме: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,защото tg45°=1.

Отговор: допирателната към графиката на тази функция образува ъгъл с положителната посока на оста Ox, равна на 45°.

3. Изведете формулата за производната на функцията y=xn.

Диференциацияе действието за намиране на производната на функция.

Когато намирате производни, използвайте формули, които са получени въз основа на дефиницията на производна, по същия начин, както ние изведехме формулата за степента на производна: (x n)" = nx n-1.

Това са формулите.

Таблица на производнитеЩе бъде по-лесно да запомните чрез произнасяне на словесни формулировки:

1. Производната на константна величина е равна на нула.

2. X просто е равно на едно.

3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната.

4. Производната на степен е равна на произведението на показателя на тази степен със степен със същата основа, но показателят е с едно по-малко.

5. Производната на корен е равна на единица, разделена на два равни корена.

6. Производната на едно делено на х е равно на минус едно делено на х на квадрат.

7. Производната на синуса е равна на косинуса.

8. Производната на косинуса е равна на минус синус.

9. Производната на тангенса е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса.

10. Производната на котангенса е равна на минус едно, делено на квадрата на синуса.

Ние преподаваме правила за диференциране.

1. Производната на алгебрична сума е равна на алгебричната сума на производните на членовете.

2. Производната на продукт е равна на произведението на производната на първия фактор и втория плюс произведението на първия фактор и производната на втория.

3. Производната на „y“, разделена на „ve“, е равна на дроб, в която числителят е „y просто умножено по „ve“ минус „y умножено по ve просто“, а знаменателят е „ve на квадрат“.

4. Специален случайформули 3.

Да учим заедно!

Страница 1 от 1 1

Процесът на намиране на производната на функция се нарича диференциация.Производната трябва да се намери в редица задачи в хода на математическия анализ. Например при намиране на точки на екстремум и точки на инфлексия на графика на функция.

Как да намеря?

За да намерите производната на функция, трябва да знаете таблицата с производни на елементарни функции и да приложите основните правила за диференциране:

1. Преместване на константата отвъд знака на производната: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производна на сумата/разликата на функции: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производна на произведението на две функции: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производна на дроб: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Производна на сложна функция: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примери за решения

• Таблица с производни на експоненциални и логаритмични функции

Производни на прости функции

Обяснение:
Производната показва скоростта, с която се променя стойността на функция, когато нейният аргумент се промени. Тъй като числото не се променя по никакъв начин при никакви условия, скоростта на промяната му винаги е нула.

2. Производна на променливаравно на едно
x´ = 1

Обяснение:
С всяко увеличение на аргумента (x) с единица, стойността на функцията (резултатът от изчислението) се увеличава със същото количество. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията y = x е точно равна на скоростта на промяна на стойността на аргумента.

3. Производната на променлива и фактор е равна на този фактор
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Обяснение:
В този случай всеки път, когато аргументът на функцията се промени ( х) неговата стойност (y) нараства в сведнъж. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията по отношение на скоростта на промяна на аргумента е точно равна на стойността с.

Откъдето следва, че
(cx + b)" = c
диференциалът на линейната функция y=kx+b е равен на наклона на правата (k).

5. Производна на променлива на степенравно на произведението на число на тази степен и променлива на степен, намалена с единица
(x c)"= cx c-1, при условие че x c и cx c-1 са дефинирани и c ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
За запомняне на формулата:
Преместете степента на променливата надолу като фактор и след това намалете самата степен с единица. Например, за x 2 - двете бяха пред x и тогава намалената мощност (2-1 = 1) просто ни даде 2x. Същото се случи и с x 3 - „преместваме“ тройката надолу, намаляваме я с единица и вместо куб имаме квадрат, тоест 3x 2. Малко "ненаучно", но много лесно за запомняне.

6.Производна на дроб 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Пример:
Тъй като една дроб може да бъде представена като повдигане на отрицателна степен
(1/x)" = (x -1)", тогава можете да приложите формулата от правило 5 от таблицата с производни
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Производна на дроб с променлива с произволна степенв знаменателя
(1 / x c)" = - c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Производна на корена(производно на променливата под корен квадратен)
(√x)" = 1 / (2√x)или 1/2 x -1/2
Пример:
(√x)" = (x 1/2)" означава, че можете да приложите формулата от правило 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Производна на променлива под корена на произволна степен
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Производна

Изчисляването на производната на математическа функция (диференциране) е много често срещан проблем при решаване на висша математика. За прости (елементарни) математически функции това е доста прост въпрос, тъй като таблиците с производни за елементарни функции отдавна са съставени и са лесно достъпни. Намирането на производната на сложна математическа функция обаче не е тривиална задача и често изисква значителни усилия и време.

Намерете дериват онлайн

Нашата онлайн услуга ви позволява да се отървете от безсмислени дълги изчисления и намери производно онлайнв един момент. Освен това, използвайки нашата услуга, разположена на уебсайта www.сайт, можете да изчислите онлайн дериваткакто от елементарна функция, така и от много сложна, която няма аналитично решение. Основните предимства на нашия сайт в сравнение с други са: 1) няма строги изисквания за метода на въвеждане на математическа функция за изчисляване на производната (например, когато въвеждате функцията синус x, можете да я въведете като sin x или sin (x) или sin[x] и т.н. d.); 2) онлайн изчислението на дериватите се извършва незабавно в режим на линияи абсолютно безплатно; 3) ние ви позволяваме да намерите производната на функция всяка поръчка, промяната на реда на производната е много лесна и разбираема; 4) ние ви позволяваме да намерите производната на почти всяка математическа функция онлайн, дори много сложни, които не могат да бъдат решени от други услуги. Предоставеният отговор винаги е точен и не може да съдържа грешки.

Използването на нашия сървър ще ви позволи да 1) изчислите производната онлайн вместо вас, като елиминирате отнемащите време и досадни изчисления, по време на които можете да направите грешка или печатна грешка; 2) ако сами изчислявате производната на математическа функция, ние ви предоставяме възможност да сравните получения резултат с изчисленията на нашата услуга и да се уверите, че решението е правилно или да откриете грешка, която се е промъкнала; 3) използвайте нашата услуга, вместо да използвате таблици с производни на прости функции, където често отнема време, за да намерите желаната функция.

Всичко, което се изисква от вас е да намери производно онлайн- е да използвате нашата услуга на