To sauc par augstākas kārtas funkcijas atvasinājumu. Manekenu atvasinājumu risināšana: definīcija, kā atrast, risinājumu piemēri. Funkcijas diferenciācijas jēdziens

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Atvasinājuma praktiskā nozīme

Apskatīsim, ko praktiski nozīmē daudzums, ko atradām kā noteiktas funkcijas atvasinājumu.

Pirmkārt, atvasinājums- tas ir diferenciālrēķina pamatjēdziens, kas raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā.

Kas ir "izmaiņu ātrums"? Iedomāsimies funkciju f(x) = 5. Neatkarīgi no argumenta (x) vērtības tā vērtība nekādā veidā nemainās. Tas ir, tā izmaiņu ātrums ir nulle.

Tagad apsveriet funkciju f(x) = x. X atvasinājums ir vienāds ar vienu. Patiešām, ir viegli pamanīt, ka katrai argumenta (x) maiņai par vienu, arī funkcijas vērtība palielinās par vienu.

No saņemtās informācijas viedokļa tagad aplūkosim vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulu. Pamatojoties uz to, uzreiz kļūst skaidra funkcijas atvasinājuma atrašanas fiziskā nozīme. Šai izpratnei vajadzētu atvieglot praktisku problēmu risināšanu.

Attiecīgi, ja atvasinājums parāda funkcijas izmaiņu ātrumu, tad dubultais atvasinājums parāda paātrinājumu.

2080.1947

Kad cilvēks ir spēris pirmos patstāvīgos soļus matemātiskās analīzes apguvē un sāk uzdot neērtus jautājumus, vairs nav tik viegli atrauties no frāzes, ka “kāpostos tika atrasts diferenciālrēķins”. Tāpēc ir pienācis laiks noteikt un atklāt dzemdību noslēpumu atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabulas. Sākās rakstā par atvasinājuma nozīmi, kuru ļoti iesaku izpētīt, jo tur mēs tikko apskatījām atvasinājuma jēdzienu un sākām klikšķināt uz problēmām par tēmu. Šai pašai nodarbībai ir izteikta praktiskā ievirze, turklāt

tālāk aplūkotos piemērus principā var apgūt tīri formāli (piemēram, kad nav laika/vēlmes iedziļināties atvasinājuma būtībā). Ir arī ļoti vēlams (bet atkal nav nepieciešams) spēt atrast atvasinājumus, izmantojot “parasto” metodi - vismaz divu pamatnodarbību līmenī: Kā atrast atvasinājumu? un kompleksas funkcijas atvasinājums.

Bet ir viena lieta, bez kuras mēs tagad noteikti nevaram iztikt, tā ir funkciju ierobežojumi. Jums ir jāsaprot, kas ir robeža, un jāspēj tās atrisināt vismaz vidējā līmenī. Un viss tāpēc, ka atvasinājums

Funkciju punktā nosaka pēc formulas:

Atgādināšu apzīmējumus un terminus: viņi sauc argumentu pieaugums;

– funkciju pieaugums;

– tie ir VIENI simboli (“delta” nevar “noraut” no “X” vai “Y”).

Acīmredzot tas, kas ir “dinamisks” mainīgais, ir konstante un ierobežojuma aprēķina rezultāts - numurs (dažreiz - "plus" vai "mīnus" bezgalība).

Kā punktu varat uzskatīt JEBKURU vērtību, kas pieder definīcijas joma funkcija, kurā pastāv atvasinājums.

Piezīme: klauzula "kurā pastāv atvasinājums" ir kopumā tas ir nozīmīgi! Tā, piemēram, lai gan punkts ir iekļauts funkcijas definīcijas jomā, bet atvasinājums

Tur neeksistē. Tāpēc formula

Punktā nav piemērojams

un saīsināts formulējums bez atrunas būtu nepareizs. Līdzīgi fakti attiecas uz citām funkcijām ar “pārtraukumiem” grafikā, jo īpaši attiecībā uz arkosīnu un arkosīnu.

Tādējādi pēc aizstāšanas mēs iegūstam otro darba formulu:

Pievērsiet uzmanību mānīgam apstāklim, kas var sajaukt tējkannu: šajā robežā “x”, kas pats par sevi ir neatkarīgs mainīgais, spēlē statistikas lomu, un “dinamiku” atkal nosaka pieaugums. Limita aprēķināšanas rezultāts

ir atvasinātā funkcija.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs formulējam divu tipisku problēmu nosacījumus:

- Atrodi atvasinājums punktā, izmantojot atvasinājuma definīciju.

- Atrodi atvasinātā funkcija, izmantojot atvasinājuma definīciju. Šī versija, pēc maniem novērojumiem, ir daudz izplatītāka, un tai tiks pievērsta galvenā uzmanība.

Būtiskā atšķirība starp uzdevumiem ir tāda, ka pirmajā gadījumā jums ir jāatrod numurs (pēc izvēles, bezgalība), un otrajā -

funkciju Turklāt atvasinājums var nebūt vispār.

kā ?

Izveidojiet attiecību un aprēķiniet robežu.

No kurienes tas radās? atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula ? Pateicoties vienīgajam ierobežojumam

Šķiet, ka tā ir maģija, bet

īstenībā - viltība un nekādas krāpšanas. Nodarbībā Kas ir atvasinājums? Es sāku skatīties konkrētus piemērus, kur, izmantojot definīciju, atradu lineāras un kvadrātiskās funkcijas atvasinājumus. Kognitīvās iesildīšanās nolūkos turpināsim traucēt atvasinājumu tabula, pilnveidojot algoritmu un tehniskos risinājumus:

Būtībā jums ir jāpierāda īpašs gadījums jaudas funkcijas atvasinājums, kas parasti parādās tabulā: .

Risinājums ir tehniski formalizēts divos veidos. Sāksim ar pirmo, jau pazīstamo pieeju: kāpnes sākas ar planku, un atvasinātā funkcija sākas ar atvasinājumu punktā.

Apsveriet kādu (konkrētu) punktu, kas pieder definīcijas joma funkcija, kurā ir atvasinājums. Iestatīsim pieaugumu šajā punktā (protams, darbības jomas ietvaros o/o -ya) un sastādiet atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Aprēķināsim limitu:

Nenoteiktība 0:0 tiek novērsta ar standarta paņēmienu, kas tika uzskatīts pirmajā gadsimtā pirms mūsu ēras. Reizināsim

konjugāta izteiksmes skaitītājs un saucējs :

Šādas robežas risināšanas tehnika ir detalizēti apspriesta ievadstundā. par funkciju ierobežojumiem.

Tā kā jūs varat izvēlēties JEBKURU punktu intervālā kā

Pēc tam, veicot nomaiņu, mēs iegūstam:

Vēlreiz priecāsimies par logaritmiem:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu, izmantojot atvasinājuma definīciju

Risinājums: apsvērsim citu pieeju viena un tā paša uzdevuma veicināšanai. Tas ir tieši tāds pats, bet dizaina ziņā racionālāks. Ideja ir atbrīvoties no

apakšrakstu un burta vietā izmantojiet burtu.

Apsveriet patvaļīgu punktu, kas pieder definīcijas joma funkciju (intervālu) un iestatiet tajā soli. Bet šeit, starp citu, kā vairumā gadījumu, jūs varat iztikt bez jebkādām atrunām, kopš logaritmiskā funkcija var atšķirties jebkurā definīcijas jomas punktā.

Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Atradīsim atvasinājumu:

Dizaina vienkāršību līdzsvaro apjukums, ko var

sastopami starp iesācējiem (un ne tikai). Galu galā mēs esam pieraduši, ka burts “X” mainās limitā! Bet te viss ir savādāk: - antīka statuja, un - dzīvs ciemiņš, ņipri staigā pa muzeja gaiteni. Tas nozīmē, ka “x” ir “kā konstante”.

Soli pa solim komentēšu nenoteiktības novēršanu:

(1) Izmantojot logaritma īpašību.

(2) Iekavās sadaliet skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu.

(3) Saucējā mēs mākslīgi reizinām un dalām ar “x”, lai

izmantojiet brīnišķīgo ierobežojumu , kamēr kā bezgala mazs izceļas.

Atbilde: pēc atvasinājuma definīcijas:

Vai īsumā:

Es ierosinu pašam izveidot vēl divas tabulas formulas:

Atrodiet atvasinājumu pēc definīcijas

Šajā gadījumā ir ērti nekavējoties samazināt apkopoto pieaugumu līdz kopsaucējam. Aptuvenais uzdevuma paraugs nodarbības beigās (pirmā metode).

Atrodiet atvasinājumu pēc definīcijas

Un šeit viss ir jāsamazina līdz ievērojamai robežai. Risinājums tiek formalizēts otrajā veidā.

Vairākas citas tabulas atvasinājumi. Pilns saraksts var atrast skolas mācību grāmatā, vai, piemēram, Fihtenholca 1. sējumā. Es neredzu lielu jēgu kopēt diferenciācijas noteikumu pierādījumus no grāmatām - tie arī tiek ģenerēti

formula

Pāriesim pie faktiski radušajiem uzdevumiem: 5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu , izmantojot atvasinājuma definīciju

Risinājums: izmantojiet pirmo dizaina stilu. Apskatīsim kādu punktu, kas pieder pie , un iestatīsim argumenta pieaugumu. Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Iespējams, daži lasītāji vēl nav pilnībā izpratuši principu, pēc kura jāpalielina. Paņemiet punktu (skaitli) un atrodiet tajā funkcijas vērtību: , tas ir, funkcijā

"x" vietā ir jāaizstāj . Tagad pieņemsim to

Apkopotās funkcijas pieaugums Var būt noderīgi nekavējoties vienkāršot. Par ko? Atvieglojiet un saīsiniet risinājumu līdz papildu robežai.

Mēs izmantojam formulas, atveram iekavas un samazinām visu, ko var samazināt:

Tītars ir izķidāts, ar cepeti nav problēmu:

Galu galā:

Tā kā mēs varam izvēlēties jebkuru reālu skaitli kā vērtību, mēs veicam aizstāšanu un iegūstam .

Atbilde: a-priory.

Pārbaudes nolūkos atradīsim atvasinājumu, izmantojot noteikumus

diferenciācija un tabulas:

Vienmēr ir lietderīgi un patīkami zināt pareizo atbildi iepriekš, tāpēc piedāvāto funkciju labāk “ātri” diferencēt vai nu prāta, vai melnraksta veidā, pašā risinājuma sākumā.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu pēc atvasinājuma definīcijas

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Rezultāts ir acīmredzams:

Atgriezīsimies pie 2. stila: 7. piemērs

Nekavējoties noskaidrosim, kam vajadzētu notikt. Autors sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikums:

Risinājums: apsveriet patvaļīgu punktu, kas pieder pie , iestatiet tajā argumenta pieaugumu un izveidojiet pieaugumu

Atradīsim atvasinājumu:

(1) Mēs izmantojam trigonometrisko formulu

(2) Zem sinusa atveram iekavas, zem kosinusa uzrāda līdzīgus terminus.

(3) Zem sinusa mēs atceļam terminus, zem kosinusa mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(4) Sinusa dīvainības dēļ mēs izņemam “mīnusu”. Zem kosinusa

mēs norādām, ka termins .

(5) Mēs veicam mākslīgo reizināšanu saucējā, lai izmantotu pirmā brīnišķīgā robeža. Tādējādi nenoteiktība ir novērsta, sakārtosim rezultātu.

Atbilde: pēc definīcijas, kā redzat, aplūkojamās problēmas galvenās grūtības ir saistītas ar

pašas robežas sarežģītība + neliela iepakojuma oriģinalitāte. Praksē tiek izmantotas abas projektēšanas metodes, tāpēc es aprakstu abas pieejas pēc iespējas detalizētāk. Tie ir līdzvērtīgi, bet tomēr, manuprāt, manekeniem ir ieteicams pieturēties pie 1. varianta ar “X-nulle”.

Izmantojot definīciju, atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir uzdevums, kas jums jāatrisina pašam. Paraugs ir veidots tādā pašā garā kā iepriekšējais piemērs.

Apskatīsim retāku problēmas versiju:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Pirmkārt, kādai vajadzētu būt būtībai? Skaitlis Aprēķināsim atbildi standarta veidā:

Risinājums: no skaidrības viedokļa šis uzdevums ir daudz vienkāršāks, jo formulā, nevis

tiek ņemta vērā konkrēta vērtība.

Iestatīsim punkta pieaugumu un sastādīsim atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Aprēķināsim atvasinājumu punktā:

Mēs izmantojam ļoti retu pieskares starpības formulu un vēlreiz samazinām risinājumu uz pirmo

ievērojams ierobežojums:

Atbilde: pēc atvasinājuma definīcijas punktā.

Problēmu nav tik grūti atrisināt “vispār” - pietiek ar to aizstāt ar vai vienkārši atkarībā no projektēšanas metodes. Šajā gadījumā ir skaidrs, ka rezultāts nebūs skaitlis, bet gan atvasināta funkcija.

10. piemērs Izmantojot definīciju, atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.

Galīgais bonusu uzdevums galvenokārt paredzēts studentiem ar padziļinātu matemātiskās analīzes apguvi, taču tas nekaitēs arī nevienam citam:

Vai funkcija būs diferencējama? punktā?

Risinājums: Ir skaidrs, ka pa daļām dotā funkcija ir nepārtraukta punktā, bet vai tā būs diferencējama?

Risinājuma algoritms, ne tikai pa daļām, ir šāds:

1) Atrodiet kreisās puses atvasinājumu dotajā punktā: .

2) Atrodiet labās puses atvasinājumu dotajā punktā: .

3) Ja vienpusēji atvasinājumi ir galīgi un sakrīt:

, tad funkcija ir diferencējama punktā un

ģeometriski šeit ir kopīgs tangenss (skat. nodarbības teorētisko daļu Atvasinājuma definīcija un nozīme).

Ja tiek saņemtas divas dažādas vērtības: (viens no tiem var izrādīties bezgalīgs), tad funkcija nav diferencējama punktā.

Ja abi vienpusējie atvasinājumi ir vienādi ar bezgalību

(pat ja tiem ir dažādas zīmes), tad funkcija nav

punktā ir diferencējams, bet grafam ir bezgalīgs atvasinājums un kopēja vertikālā pieskare (skatiet 5. nodarbības piemēruNormāls vienādojums) .

Piezīme. Tādējādi starp jautājumiem “Vai funkcija būs diferencējama kādā punktā?” un "Vai kādā punktā pastāv atvasinājums?" ir atšķirība!

Viss ir ļoti vienkārši!

1) Atrodot kreisās puses atvasinājumu, argumenta pieaugums ir negatīvs: , un pa kreisi no punkta atrodas parabola, tāpēc funkcijas pieaugums ir vienāds ar:

Un atbilstošā kreisās puses robeža ir skaitliski vienāda ar kreisās puses atvasinājumu attiecīgajā punktā:

2) Pa labi no punkta ir taisnas līnijas grafiks, un argumenta pieaugums ir pozitīvs: . Tātad funkcijas pieaugums ir:

Labās puses ierobežojums un labās puses atvasinājums punktā:

3) Vienpusēji atvasinājumi ir ierobežoti un atšķirīgi:

Atbilde: funkcija nav diferencējama punktā.

Moduļa nediferencējamības grāmatu ir vēl vieglāk pierādīt punktā, par kuru es runāju vispārīgs izklāsts jau stāstīts tālāk teorētiskā nodarbība par atvasinājumu.

Dažas pa daļām definētas funkcijas ir diferencējamas arī grafika “savienojuma” punktos, piemēram, catdog

punktā ir kopīgs atvasinājums un kopīgs tangenss (x ass). Līkne, bet atšķiras ar ! Interesenti par to var pārliecināties paši, izmantojot tikko atrisināto piemēru.

Beigsim stāstu ar šo smieklīgo hibrīdu =) Risinājumi un atbildes:

3. piemērs: Risinājums: apsveriet kādu punktu, kas pieder funkcijas definīcijas domēnam. Sāksim iekšā

palielināt noteiktā punktā un izveidot atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Atradīsim atvasinājumu punktā:

Tā kā funkcijas definīcijas domēnā varat izvēlēties jebkuru punktu, tad

Atbilde: pēc definīcijas, atvasinājums

4. piemērs: Risinājums: apsveriet patvaļīgu punktu, kas pieder un iestatiet tā pieaugumu. Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Atradīsim atvasinājumu:

Izmantojot brīnišķīgu ierobežojumu

Atbilde: pēc definīcijas

6. piemērs: Risinājums: apsveriet kādu punktu, kas pieder pie tā, un iestatiet tam argumenta pieaugumu. Tad atbilstošais funkcijas pieaugums ir:

Atbilde: a-priory

10. piemērs: Risinājums: Iestatīsim punktu pieaugumu. Pēc tam funkcijas pieaugums:

Aprēķināsim atvasinājumu punktā:

Reiziniet skaitītāju un saucēju ar konjugāta izteiksmi:

Atbilde: pēc atvasinājuma definīcijas punktā

Tiek saukts funkcijas atvasinājuma atrašanas process diferenciācija. Matemātiskās analīzes gaitā atvasinājums ir jāatrod vairākās problēmās. Piemēram, atrodot funkciju grafika ekstrēma punktus un lēciena punktus.

Kā atrast?

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina elementāro funkciju atvasinājumu tabula un jāpiemēro diferenciācijas pamatnoteikumi:

1. Konstantes pārvietošana ārpus atvasinājuma zīmes: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funkciju summas/atšķirības atvasinājums: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Daļas atvasinājums: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Risinājumu piemēri

Funkcijas atvasinājums ir viena no sarežģītajām tēmām skolas mācību programma. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu, kas ir atvasinājums.

Šajā rakstā vienkāršā un saprotamā veidā ir izskaidrots, kas ir atvasinājums un kāpēc tas ir vajadzīgs.. Mēs tagad necentīsimies pēc matemātiskas stingrības prezentācijā. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.

Atcerēsimies definīciju:

Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums.

Attēlā parādīti trīs funkciju grafiki. Kurš, jūsuprāt, aug ātrāk?

Atbilde ir acīmredzama – trešā. Tam ir vislielākais izmaiņu ātrums, tas ir, lielākais atvasinājums.

Šeit ir vēl viens piemērs.

Kostja, Griša un Matvejs ieguva darbu vienlaikus. Apskatīsim, kā gada laikā mainījās viņu ienākumi:

Grafiks parāda visu uzreiz, vai ne? Kostjas ienākumi sešu mēnešu laikā pieauga vairāk nekā divas reizes. Un arī Grišas ienākumi pieauga, bet tikai nedaudz. Un Matveja ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma nosacījumi ir vienādi, bet funkcijas maiņas ātrums, tas ir atvasinājums, - savādāk. Kas attiecas uz Matveju, viņa ienākumu atvasinājums kopumā ir negatīvs.

Intuitīvi mēs viegli novērtējam funkcijas izmaiņu ātrumu. Bet kā mēs to darām?

Mēs patiešām skatāmies uz to, cik strauji funkcijas diagramma iet uz augšu (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri mainās y, mainoties x? Acīmredzot vienai un tai pašai funkcijai var būt dažādos punktos atšķirīga nozīme atvasinājums - tas ir, tas var mainīties ātrāk vai lēnāk.

Funkcijas atvasinājumu apzīmē .

Mēs parādīsim, kā to atrast, izmantojot grafiku.

Ir uzzīmēts kādas funkcijas grafiks. Paņemsim punktu ar abscisu uz tā. Uzzīmēsim pieskares funkcijas grafikam šajā punktā. Mēs vēlamies novērtēt, cik strauji palielinās funkciju grafiks. Ērta vērtība tam ir pieskares leņķa tangenss.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu, kas šajā punktā novilkta funkcijas grafikam.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka kā pieskares slīpuma leņķi mēs ņemam leņķi starp pieskari un ass pozitīvo virzienu.

Dažreiz skolēni jautā, kas ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir viens kopīgs punkts ar grafiku noteiktā sadaļā, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā apļa tangenss.

Atradīsim. Mēs atceramies, ka asā leņķa tangensa in taisnleņķa trīsstūris vienāds ar pretējās puses attiecību pret blakus esošo pusi. No trīsstūra:

Mēs atradām atvasinājumu, izmantojot grafiku, pat nezinot funkcijas formulu. Šādas problēmas bieži atrodamas vienotajā valsts eksāmenā matemātikā zem numura.

Ir vēl viena svarīga saikne. Atgādiniet, ka taisnu līniju nosaka vienādojums

Šajā vienādojumā lielumu sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar taisnes slīpuma leņķa pieskari pret asi.

.

Mēs to saņemam

Atcerēsimies šo formulu. Tas izsaka atvasinājuma ģeometrisko nozīmi.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.

Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu.

Mēs jau teicām, ka vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt dažādi atvasinājumi. Apskatīsim, kā atvasinājums ir saistīts ar funkcijas uzvedību.

Uzzīmēsim kādas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai palielināties dažos apgabalos un samazināties citos, turklāt ar dažādiem ātrumiem. Un lai šai funkcijai ir maksimālais un minimālais punkts.

Kādā brīdī funkcija palielinās. Punktā uzzīmētā grafika pieskare veidojas ass stūris ar pozitīvu ass virzienu. Tas nozīmē, ka atvasinājums punktā ir pozitīvs.

Tajā brīdī mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā punktā veido neasu leņķi ar ass pozitīvo virzienu. Tā kā strupā leņķa tangensa ir negatīva, atvasinājums punktā ir negatīvs.

Lūk, kas notiek:

Ja funkcija palielinās, tās atvasinājums ir pozitīvs.

Ja tas samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.

Kas notiks ar maksimālo un minimālo punktu skaitu? Mēs redzam, ka punktos (maksimālais punkts) un (minimālais punkts) pieskares ir horizontāla. Tāpēc pieskares tangenss šajos punktos ir nulle, un atvasinājums arī ir nulle.

Punkts - maksimālais punkts. Šajā brīdī funkcijas pieaugums tiek aizstāts ar samazinājumu. Līdz ar to atvasinājuma zīme punktā mainās no “plus” uz “mīnusu”.

Punktā - minimālajā punktā - atvasinājums arī ir nulle, bet tā zīme mainās no “mīnus” uz “plus”.

Secinājums: izmantojot atvasinājumu, mēs varam uzzināt visu, kas mūs interesē par funkcijas uzvedību.

Ja atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās.

Ja atvasinājums ir negatīvs, tad funkcija samazinās.

Maksimālajā punktā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no “plus” uz “mīnusu”.

Minimālajā punktā atvasinājums arī ir nulle un maina zīmi no “mīnus” uz “plus”.

Uzrakstīsim šos secinājumus tabulas veidā:

Veiksim divus nelielus precizējumus. Risinot USE problēmas, jums būs nepieciešams viens no tiem. Cits - pirmajā kursā ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.

Iespējams, ka funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, bet funkcijai šajā brīdī nav ne maksimuma, ne minimuma. Šis ir tā sauktais :

Punktā grafika pieskare ir horizontāla, un atvasinājums ir nulle. Tomēr pirms punkta funkcija palielinājās - un pēc punkta tā turpina palielināties. Atvasinājuma zīme nemainās – tā paliek pozitīva tāda, kāda bija.

Gadās arī tā, ka maksimuma vai minimuma punktā atvasinājums nepastāv. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari.

Kā atrast atvasinājumu, ja funkciju uzrāda nevis grafiks, bet formula? Šajā gadījumā tas attiecas

(\large\bf Funkcijas atvasinājums)

Apsveriet funkciju y=f(x), norādīts intervālā (a, b). Ļaujiet x- jebkurš fiksēts intervāla punkts (a, b), A Δx- patvaļīgs skaitlis, kas atbilst vērtībai x+Δx arī pieder pie intervāla (a, b). Šis numurs Δx sauc par argumentu pieaugumu.

Definīcija. Funkciju pieaugums y=f(x) punktā x, kas atbilst argumenta pieaugumam Δx, piezvanīsim uz numuru

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Mēs tam ticam Δx ≠ 0. Apsveriet noteiktā fiksētā punktā x funkcijas pieauguma attiecība šajā punktā pret atbilstošo argumentu pieaugumu Δx

Mēs šo sakarību sauksim par atšķirības relāciju. Kopš vērtības x mēs uzskatām par fiksētu, starpības attiecība ir argumenta funkcija Δx. Šī funkcija ir definēta visām argumentu vērtībām Δx, kas pieder kādai pietiekami mazai punkta apkārtnei Δx=0, izņemot pašu punktu Δx=0. Tādējādi mums ir tiesības izskatīt jautājumu par noteiktās funkcijas robežas esamību plkst Δx → 0.

Definīcija. Funkcijas atvasinājums y=f(x) noteiktā fiksētā punktā x sauc par limitu plkst Δx → 0 starpības attiecība, tas ir

Ar nosacījumu, ka šis ierobežojums pastāv.

Apzīmējums. y′(x) vai f′(x).

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme: funkcijas atvasinājums f(x)šajā brīdī x vienāds ar leņķa pieskari starp asi Vērsis un šīs funkcijas grafika pieskare attiecīgajā punktā:

f′(x 0) = \tgα.

Atvasinājuma mehāniskā nozīme: Ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar punkta taisnvirziena kustības ātrumu:

Taisnes pieskares vienādojums y=f(x) punktā M 0 (x 0 ,y 0) ieņem formu

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Līknes normāls kādā punktā ir perpendikulārs pieskarei tajā pašā punktā. Ja f′(x 0)≠ 0, tad taisnes normas vienādojums y=f(x) punktā M 0 (x 0 ,y 0) ir rakstīts šādi:

Funkcijas diferenciācijas jēdziens

Ļaujiet funkcijai y=f(x) definēts noteiktā intervālā (a, b), x- kāda fiksēta argumenta vērtība no šī intervāla, Δx- jebkurš argumenta pieaugums, kas atbilst argumenta vērtībai x+Δx∈ (a, b).

Definīcija. Funkcija y=f(x) ko sauc par diferencējamu noteiktā punktā x, ja pieaugums Δyšī funkcija punktā x, kas atbilst argumenta pieaugumam Δx, var attēlot formā

Δy = A Δx + αΔx,

Kur A- daži neatkarīgi no Δx, A α - argumentu funkcija Δx, kas ir bezgalīgi mazs Δx → 0.

Tā kā divu bezgalīgi mazu funkciju reizinājums αΔx ir bezgalīgi mazs augstākas kārtas lielums nekā Δx(3 bezgalīgi mazu funkciju īpašība), tad mēs varam rakstīt:

Δy = A Δx + o(Δx).

Teorēma. Lai funkcija y=f(x) bija diferencējams noteiktā punktā x, ir nepieciešams un pietiekami, ka tam šajā punktā ir ierobežots atvasinājums. Kurā A=f′(x), tas ir

Δy = f′(x) Δx + o(Δx).

Atvasinājuma atrašanas darbību parasti sauc par diferenciāciju.

Teorēma. Ja funkcija y=f(x) x, tad šajā brīdī tas ir nepārtraukts.

komentēt. No funkcijas nepārtrauktības y=f(x)šajā brīdī x, vispārīgi runājot, funkcijas diferenciācija neseko f(x)šajā brīdī. Piemēram, funkcija y=|x|- nepārtraukts punktā x=0, bet tam nav atvasinājuma.

Diferenciālās funkcijas jēdziens

Definīcija. Funkciju diferenciālis y=f(x) tiek izsaukts šīs funkcijas atvasinājuma un neatkarīgā mainīgā pieauguma reizinājums x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Funkcionēšanai y=x mēs saņemam dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, tas ir dx=Δx- neatkarīga mainīgā lieluma diferenciālis ir vienāds ar šī mainīgā lieluma pieaugumu.

Tādējādi mēs varam rakstīt

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenciāls dy un pieaugums Δy funkcijas y=f(x)šajā brīdī x, abi atbilst vienam un tam pašam argumenta pieaugumam Δx, vispārīgi runājot, nav vienlīdzīgi viens ar otru.

Diferenciāļa ģeometriskā nozīme: funkcijas diferenciālis ir vienāds ar šīs funkcijas grafika pieskares ordinātu pieaugumu, kad arguments tiek palielināts Δx.

Diferencēšanas noteikumi

Teorēma. Ja katra no funkcijām u(x) Un v(x) var atšķirties noteiktā punktā x, tad šo funkciju summa, starpība, reizinājums un koeficients (koeficients ar nosacījumu, ka v(x)≠ 0) arī šajā brīdī ir diferencējami, un formulas atbilst:

Apsveriet sarežģīto funkciju y=f(φ(x))≡ F(x), Kur y=f(u), u=φ(x). Šajā gadījumā u sauca starpposma arguments, x - neatkarīgais mainīgais.

Teorēma. Ja y=f(u) Un u=φ(x) ir to argumentu diferencējamas funkcijas, tad sarežģītas funkcijas atvasinājums y=f(φ(x)) pastāv un ir vienāds ar šīs funkcijas reizinājumu attiecībā uz starpposma argumentu un starpargumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo, t.i.

komentēt. Sarežģītai funkcijai, kas ir trīs funkciju superpozīcija y=F(f(φ(x))), diferenciācijas noteikumam ir forma

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

kur ir funkcijas v=φ(x), u=f(v) Un y=F(u)- to argumentu diferencējamās funkcijas.

Teorēma. Ļaujiet funkcijai y=f(x) palielinās (vai samazinās) un ir nepārtraukts kādā punkta apkārtnē x 0. Turklāt, lai šī funkcija norādītajā punktā būtu diferencējama x 0 un tā atvasinājums šajā brīdī f′(x 0) ≠ 0. Tad kādā attiecīgā punkta apkārtnē y 0 = f(x 0) apgrieztais ir definēts y=f(x) funkciju x=f -1 (y), un norādītā apgrieztā funkcija ir diferencējama attiecīgajā punktā y 0 = f(x 0) un tā atvasinājumam šajā brīdī y formula ir derīga

Atvasinājumu tabula

Pirmā diferenciāļa formas nemainīgums

Apskatīsim sarežģītas funkcijas diferenciāli. Ja y=f(x), x=φ(t)- to argumentu funkcijas ir diferencējamas, tad funkcijas atvasinājums y=f(φ(t)) izteikts ar formulu

y′t = y′xx′t.

A-prioritāte dy=y′ t dt, tad mēs saņemam

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Tātad, mēs esam pierādījuši

Funkcijas pirmās diferenciāļa formas nemainības īpašība: kā gadījumā, kad arguments x ir neatkarīgs mainīgais, un gadījumā, ja arguments x pati par sevi ir jaunā mainīgā, diferenciāļa, diferencējama funkcija dy funkcijas y=f(x) ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu, kas reizināts ar argumenta diferenciāli dx.

Diferenciāļa pielietojums aptuvenos aprēķinos

Mēs esam parādījuši, ka atšķirība dy funkcijas y=f(x), vispārīgi runājot, nav vienāds ar pieaugumu Δyšī funkcija. Tomēr ar precizitāti līdz bezgalībai maza funkcija augstāka mazuma pakāpe nekā Δx, ir spēkā aptuvenā vienādība

Δy ≈ dy.

Attiecību sauc par šīs vienādības vienādības relatīvo kļūdu. Jo Δy-dy=o(Δx), tad šīs vienādības relatīvā kļūda kļūst tik maza, cik vēlas, samazinoties |Δх|.

Ņemot vērā, ka Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, saņemam f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx vai

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Šī aptuvenā vienādība pieļauj ar kļūdu o(Δx) nomaiņas funkcija f(x) mazā punkta apkārtnē x(t.i., mazām vērtībām Δx) argumenta lineārā funkcija Δx, stāvot labajā pusē.

Augstākas kārtas atvasinājumi

Definīcija. Funkcijas otrās kārtas atvasinājums (vai otrās kārtas atvasinājums). y=f(x) sauc par tā pirmā atvasinājuma atvasinājumu.

Funkcijas otrā atvasinājuma apzīmējums y=f(x):

Otrā atvasinājuma mehāniskā nozīme. Ja funkcija y=f(x) apraksta materiāla punkta kustības likumu taisnā līnijā, pēc tam otro atvasinājumu f″(x) vienāds ar kustīga punkta paātrinājumu laika momentā x.

Trešo un ceturto atvasinājumu nosaka līdzīgi.

Definīcija. n atvasinājums (vai atvasinājums n-th order) funkcijas y=f(x) sauc par tā atvasinājumu n-1 atvasinājums:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Apzīmējumi: y″′, y IV, y V utt.