Piramīda. Piramīdu veidi. Piramīda ar taisnleņķa trīsstūri pie pamatnes Nošķelta trīsstūrveida piramīda

Šajā nodarbībā aplūkosim nošķelto piramīdu, iepazīsimies ar pareizo nošķelto piramīdu un pētīsim to īpašības.

Atgādināsim n-stūra piramīdas jēdzienu, izmantojot trīsstūrveida piramīdas piemēru. Trijstūris ABC ir dots. Ārpus trijstūra plaknes tiek ņemts punkts P, kas savienots ar trijstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldņu virsmu sauc par piramīdu (1. att.).

Rīsi. 1. Trīsstūrveida piramīda

Nogriezīsim piramīdu ar plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnes plaknei. Starp šīm plaknēm iegūto figūru sauc par nošķelto piramīdu (2. att.).

Rīsi. 2. Nocirsta piramīda

Galvenie elementi:

Augšējā pamatne;

Apakšējā pamatne ABC;

Sānu seja;

Ja PH ir sākotnējās piramīdas augstums, tad ir nošķeltās piramīdas augstums.

Nošķeltas piramīdas īpašības izriet no tās uzbūves metodes, proti, no pamatu plakņu paralēlisma:

Visas nošķeltas piramīdas sānu virsmas ir trapeces. Apsveriet, piemēram, seju. Tam ir paralēlu plakņu īpašība (tā kā plaknes ir paralēlas, tās griež sākotnējās ABP piramīdas sānu virsmu pa paralēlām līnijām), tajā pašā laikā tās nav paralēlas. Acīmredzot četrstūris ir trapecveida forma, tāpat kā visas nošķeltas piramīdas sānu malas.

Pamatu attiecība visām trapecām ir vienāda:

Mums ir vairāki līdzīgu trīsstūru pāri ar vienādu līdzības koeficientu. Piemēram, trīsstūri un RAB ir līdzīgi plakņu paralēlisma un līdzības koeficienta dēļ:

Tajā pašā laikā trijstūri un RCS ir līdzīgi ar līdzības koeficientu:

Acīmredzot līdzības koeficienti visiem trim līdzīgu trīsstūru pāriem ir vienādi, tāpēc bāzu attiecība ir vienāda visiem trapecveida formām.

Parasta nošķelta piramīda ir nošķelta piramīda, kas iegūta, nogriežot regulāru piramīdu ar plakni, kas ir paralēla pamatnei (3. att.).

Rīsi. 3. Pareiza nošķelta piramīda

Definīcija.

Regulāru piramīdu sauc par piramīdu, kuras pamatnē atrodas regulārs n-stūris, un virsotne tiek projicēta šī n-stūra centrā (ierakstītā un ierobežotā apļa centrā).

Šajā gadījumā piramīdas pamatnē atrodas kvadrāts, un virsotne tiek projicēta līdz tā diagonāļu krustpunktam. Iegūtajā regulārajā četrstūrveida nošķeltajā piramīdā ir ABCD - apakšējā bāze, - augšējā bāze. Sākotnējās piramīdas augstums - RO, nošķeltas piramīdas - (4. att.).

Rīsi. 4. Regulāra četrstūraina nošķelta piramīda

Definīcija.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otrās pamatnes plakni.

Sākotnējās piramīdas apotēma ir RM (M ir AB vidus), nošķeltās piramīdas apotēma ir (4. att.).

Definīcija.

Nocirstas piramīdas apotēma ir jebkuras sānu virsmas augstums.

Ir skaidrs, ka visas nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, tas ir, sānu malas ir vienādas vienādsānu trapeces.

Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatu un apotēmas perimetru summas.

Pierādījums (parastai četrstūrainai nošķeltai piramīdai – 4. att.):

Tātad, mums ir jāpierāda:

Sānu virsmas laukums šeit sastāvēs no sānu virsmu laukumu summas - trapecveida. Tā kā trapeces ir vienādas, mums ir:

Kvadrāts vienādsānu trapece ir puses pamatu un augstuma summas reizinājums, apotēms ir trapeces augstums. Mums ir:

Q.E.D.

n-stūra piramīdai:

Kur n ir piramīdas sānu skaldņu skaits, a un b ir trapeces pamati, ir apotēma.

Regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas pamatnes malas ir vienādi ar 3 cm un 9 cm, augstums - 4 cm. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Rīsi. 5. 1. problēmas ilustrācija

Lēmums. Ilustrēsim nosacījumu:

Ņemot vērā: , ,

Novelciet taisnu līniju MN caur punktu O paralēli abām apakšējās pamatnes malām, līdzīgi novelciet taisni caur punktu (6. att.). Tā kā kvadrāti un konstrukcijas ir paralēlas nošķeltas piramīdas pamatos, mēs iegūstam trapecveida formu, kas vienāda ar sānu malām. Turklāt tā sānu puse iet caur sānu virsmu augšējās un apakšējās malas vidu un būs nošķeltas piramīdas iemiesojums.

Rīsi. 6. Papildu konstrukcijas

Apsveriet iegūto trapecveida formu (6. att.). Šajā trapecē ir zināma augšējā pamatne, apakšējā pamatne un augstums. Nepieciešams atrast sānu malu, kas ir dotās nošķeltās piramīdas apotēma. Zīmēt perpendikulāri MN. Atlaidīsim perpendikulāro NQ no punkta. Mēs iegūstam, ka lielākā bāze ir sadalīta trīs centimetru segmentos (). Apsveriet taisnleņķa trīsstūri, tajā esošās kājas ir zināmas, tas ir Ēģiptes trīsstūris, pēc Pitagora teorēmas mēs nosakām hipotenūzas garumu: 5 cm.

Tagad ir visi elementi piramīdas sānu virsmas laukuma noteikšanai:

Piramīdu šķērso plakne, kas ir paralēla pamatnei. Izmantojot trīsstūrveida piramīdas piemēru, pierādiet, ka piramīdas sānu malas un augstums ir sadalītas ar šo plakni proporcionālās daļās.

Pierādījums. Ilustrēsim:

Rīsi. 7. 2. uzdevuma ilustrācija

Ir dota piramīda RABC. RO ir piramīdas augstums. Piramīdu sadala ar plakni, iegūst nošķeltu piramīdu, turklāt. Punkts - RO augstuma krustošanās punkts ar nošķeltas piramīdas pamatnes plakni. Ir nepieciešams pierādīt:

Risinājuma atslēga ir paralēlu plakņu īpašība. Divas paralēlas plaknes šķērso jebkuru trešo plakni tā, lai krustojuma līnijas būtu paralēlas. No šejienes: . Atbilstošo līniju paralēlisms nozīmē četru līdzīgu trīsstūru pāru klātbūtni:

No trīsstūru līdzības izriet atbilstošo malu proporcionalitāte. Svarīga iezīme ir tāda, ka šo trīsstūru līdzības koeficienti ir vienādi:

Q.E.D.

Regulāru trīsstūrveida piramīdu RABC ar pamatnes augstumu un malu atdala plakne, kas iet caur augstuma PH viduspunktu paralēli pamatnei ABC. Atrodiet iegūtās nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.

Lēmums. Ilustrēsim:

Rīsi. 8. 3. uzdevuma ilustrācija

DIA ir regulārs trīsstūris, H ir šī trijstūra centrs (ierakstīto un ierobežoto apļu centrs). RM ir dotās piramīdas apotēma. - nošķeltas piramīdas apotēma. Atbilstoši paralēlo plakņu īpašībai (divas paralēlas plaknes sagriež jebkuru trešo plakni tā, lai krustojuma līnijas būtu paralēlas), mums ir vairāki līdzīgu trīsstūru pāri ar vienādu līdzības koeficientu. Jo īpaši mūs interesē attiecības:

Atradīsim NM. Tas ir pamatnē ierakstītā apļa rādiuss, mēs zinām atbilstošo formulu:

Tagad no taisnleņķa trīsstūra РНМ pēc Pitagora teorēmas atrodam РМ - sākotnējās piramīdas apotēmu:

No sākotnējās attiecības:

Tagad mēs zinām visus elementus, lai atrastu nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu:

Tātad, mēs iepazināmies ar nošķeltas piramīdas un regulāras nošķeltas piramīdas jēdzieniem, sniedzām pamata definīcijas, aplūkojām īpašības un pierādījām teorēmu par sānu virsmas laukumu. Nākamajā nodarbībā galvenā uzmanība tiks pievērsta problēmu risināšanai.

Bibliogrāfija

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., Rev. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
2. Šarigins I. F. Ģeometrija. 10.-11. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 lpp.: ill.
3. E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar matemātikas padziļinātu un profila apguvi / E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 2008. - 233 lpp.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru().

Mājasdarbs

PAŠVALDĪBAS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE
ALŪŠTAS PILSĒTAS SKOLA №2

NODARBĪBAS PLĀNS

Problēmu risināšana.

Piramīda. Nocirsta piramīda

Matemātikas skolotājs

Pikhidčuka Irina Anatoljevna

2016 G.

STUNDA

Ģeometrija. 11. klase.

Nodarbība ir 3 stundas. Ieteicams veikt ar vispārēju atkārtojumu.

TĒMA: Piramīda. Nocirsta piramīda. Problēmu risināšana.

GALVENAIS UZDEVUMS: Sagatavošanās ieskaitei (problēmu identificēšana; zināšanu sistematizācija un labošana par tēmu).

MĒRĶI: 1) Pārbaudiet zināšanas par definīcijām: leņķis starp taisni un plakni; diedrāla leņķa lineārais leņķis (konstrukcija); pareiza piramīda.

Atkārtojiet formulas: piramīdas tilpums; ap daudzstūri ierakstītā un norobežotā riņķa rādiusi;

pārbaudīt zīmēšanas prasmes; spēja pamatot leņķus starp sānu malu un pamatplakni, starp sānu virsmu un pamatplakni.

nostiprināt skaitļošanas prasmes.

NODARBĪBU LAIKĀ:

Laika organizēšana. Nodarbības mērķu un uzdevumu paziņošana.

Atkārtojums.

Zīmējumi uz flip dēļa:

Piešķiršana rasējumiem: formulēt leņķa definīciju starp taisni un plakni. Parādiet leņķi attēlos un pamatojiet.

galvenā plate

Parādiet leņķi starp regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu malu un pamatnes plakni. Aprēķināt piramīdas tilpumu, ja pamatnes mala ir a, leņķis starp sānu malu un pamatnes plakni ir a.

Atrodiet katras norādītās regulārās piramīdas tilpumu

SECINĀJUMS: 1) Leņķis starp sānu malu un pamatplakni ir leņķis starp sānu malu un ierobežotā apļa rādiusu pie pamatnes;

2) Leņķis starp piramīdas sānu virsmu un pamatnes plakni ir leņķis starp apotēmu un pamatnē ierakstītā apļa rādiusu.

Mājas darbs uz kartītēm (pielikumā uzdevums).

Ģeometrijas klase 11, (turpinājums)

PROBLĒMAS RISINĀŠANA: piramīda. Nocirsta piramīda.

Uzdevuma numurs 1. Piramīdas pamatnē atrodas taisnleņķa trīsstūris. Abas virsmas, kurās atrodas kājas, ir perpendikulāras pamatnes plaknei. Parādiet leņķus starp sānu malām un pamatplakni. Vai tie būs vienādi, ja trīsstūris ir vienādsānu.

Uzdevuma numurs 2. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trīsstūris. Sānu ribas vienā leņķī ir slīpi pret pamatplakni. Konstruēt piramīdas augstumu un leņķus starp sānu malām un pamatnes plakni (pamato konstrukciju)

SECINĀJUMS: Piramīdas augstums tiek projicēts uz ierobežotā apļa centru, ja: sānu malas ir vienādas; sānu ribas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī; piramīda ir pareiza.

Mājasdarbs. Regulārā piramīdā (trīsstūrveida, četrstūrveida, sešstūra formā) izveidojiet leņķi starp sānu virsmu un pamatplakni. Pamatojiet būvniecību.

un griešanas plakne, kas ir paralēla tās pamatnei.

Vai citiem vārdiem sakot: nošķelta piramīda- tas ir tāds daudzskaldnis, ko veido piramīda un tās šķērsgriezums paralēli pamatnei.

Sadaļa, kas ir paralēla piramīdas pamatnei, sadala piramīdu 2 daļās. Piramīdas daļa starp tās pamatni un sekciju ir nošķelta piramīda.

Šis nošķeltas piramīdas posms izrādās viens no šīs piramīdas pamatiem.

Attālums starp nošķeltas piramīdas pamatiem ir nošķeltas piramīdas augstums.

Nocirsta piramīda būs pareizi kad piramīda, no kuras tā tika iegūta, arī bija pareiza.

Regulāras nošķeltas piramīdas trapecveida sānu virsmas augstums ir apotēma regulāra nošķelta piramīda.

Nošķeltas piramīdas īpašības.

1. Katra regulāras nošķeltas piramīdas sānu skaldne ir vienāda izmēra vienādsānu trapece.

2. Nocirstas piramīdas pamati ir līdzīgi daudzstūri.

3. Regulāras nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienāda izmēra un viena ir slīpa attiecībā pret piramīdas pamatni.

4. Nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapeces.

5. Divšķautņu leņķi pie regulāras nošķeltas piramīdas sānu malām ir vienādi.

6. Pamatu laukumu attiecība: S 2 / S 1 \u003d k 2.

Nošķeltas piramīdas formulas.

Patvaļīgai piramīdai:

Nošķeltas piramīdas tilpums ir vienāds ar 1/3 no augstuma reizinājuma h (OS) ar augšējās pamatnes laukumu summu S1 (abcde), nošķeltas piramīdas apakšējā pamatne S2 (ABCDE) un vidējais proporcionālais starp tiem.

Piramīdas tilpums:

kur S1, S2- bāzes platība,

h ir nošķeltas piramīdas augstums.

Sānu virsmas laukums ir vienāds ar nošķeltās piramīdas sānu virsmu laukumu summu.

Parastai nošķeltai piramīdai:

Pareiza nošķelta piramīda- daudzskaldnis, ko veido regulāra piramīda un tās šķērsgriezums, kas ir paralēls pamatnei.

Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir ½ tās pamatu perimetru un apotēmas summas reizinājums.

kur S1, S2- bāzes platība,

φ ir diedrālais leņķis piramīdas pamatnē.

CH ir nošķeltas piramīdas augstums, P1 un P2- pamatu perimetrus, S1 un S2- bāzes platības, S pusē- sānu virsmas laukums, S pilns- kopējais virsmas laukums:

Piramīdas griezums ar plakni, kas ir paralēla pamatnei.

Piramīdas šķērsgriezums ar plakni, kas ir paralēla tās pamatnei (perpendikulāra augstumam), sadala piramīdas augstumu un sānu malas proporcionālos segmentos.

Piramīdas šķērsgriezums plaknē, kas ir paralēla tās pamatnei (perpendikulāra augstumam) ir daudzstūris, kas ir līdzīgs piramīdas pamatnei, savukārt šo daudzstūru līdzības koeficients atbilst to attālumu attiecībai no augšas. no piramīdas.

To posmu laukumi, kas ir paralēli piramīdas pamatnei, ir saistīti kā to attālumu kvadrāti no piramīdas augšdaļas.

Kā var uzbūvēt piramīdu? Uz virsmas R izveidot kādu daudzstūri, piemēram, piecstūri ABCDE. Ārpus lidmašīnas Rņemam punktu S. Savienojot punktu S ar segmentiem ar visiem daudzstūra punktiem, iegūstam piramīdu SABCDE (att.).

Punktu S sauc samits, un daudzstūris ABCDE - pamatašī piramīda. Tādējādi piramīda ar virsotni S un pamatu ABCDE ir visu segmentu savienība, kur M ∈ ABCDE.

Tiek saukti trijstūri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA sānu sejas piramīdas, sānu virsmu kopīgās malas SA, SB, SC, SD, SE - sānu ribas.

Piramīdas sauc trīsstūrveida, četrstūrveida, n-stūra atkarībā no pamatnes malu skaita. Uz att. doti trīsstūra, četrstūra un sešstūra piramīdu attēli.

Tiek saukta plakne, kas iet caur piramīdas virsotni un pamatnes diagonāli diagonāli, un iegūtais šķērsgriezums - diagonāli. Uz att. 186 viena no sešstūra piramīdas diagonālajām sekcijām ir noēnota.

Perpendikula segmentu, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei, sauc par piramīdas augstumu (šī segmenta gali ir piramīdas augšdaļa un perpendikula pamatne).

Piramīdu sauc pareizi ja piramīdas pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta tās centrā.

Visas parastās piramīdas sānu malas ir kongruentas vienādsānu trijstūri. Parastā piramīdā visas sānu malas ir kongruentas.

Tiek saukts regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas apotēma piramīdas. Visas regulāras piramīdas apotēmas ir kongruentas.

Ja pamatnes pusi apzīmējam kā a, un apotēma cauri h, tad piramīdas vienas sānu malas laukums ir 1/2 ak.

Tiek saukta visu piramīdas sānu virsmu laukumu summa sānu virsmas laukums piramīdas un tiek apzīmēta ar S pusi.

Tā kā regulāras piramīdas sānu virsma sastāv no n tad sakritīgas sejas

S pusē = 1/2 ahn=P h / 2 ,

kur P ir piramīdas pamatnes perimetrs. Tāpēc

S pusē =P h / 2

t.i. regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

Piramīdas kopējo virsmu aprēķina pēc formulas

S = S ocn. + S puse. .

Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no tās pamatnes laukuma S ocn reizinājuma. uz augstumu H:

V = 1/3 S ocn. N.

Šīs un dažu citu formulu atvasināšana tiks sniegta vēlākā nodaļā.

Tagad uzbūvēsim piramīdu citādā veidā. Dots daudzskaldnis leņķis, piemēram, piecpusējs ar virsotni S (att.).

Uzzīmējiet plakni R tā, lai tas krustotu visas dotā daudzskaldņa leņķa malas dažādos punktos A, B, C, D, E (att.). Tad piramīdu SABCDE var uzskatīt par daudzskaldņa leņķa un pustelpas krustpunktu ar robežu R, kas satur virsotni S.

Acīmredzot visu piramīdas skalu skaits var būt patvaļīgs, bet ne mazāks par četrām. Plaknei krustojot trīsstūrveida leņķi, iegūst trīsstūrveida piramīdu, kurai ir četras skaldnes. Jebkuru trīsstūrveida piramīdu dažreiz sauc tetraedrs, kas nozīmē četrstūris.

nošķelta piramīda var iegūt, ja piramīdu šķērso plakne, kas ir paralēla pamatnes plaknei.

Uz att. dots četrstūrainas nošķeltas piramīdas attēls.

Tiek sauktas arī nošķeltas piramīdas trīsstūrveida, četrstūrveida, n-stūra atkarībā no pamatnes malu skaita. No nošķeltas piramīdas uzbūves izriet, ka tai ir divas pamatnes: augšējā un apakšējā. Nocirstas piramīdas pamati ir divi daudzstūri, kuru malas ir pa pāriem paralēlas. Nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapeces.

Augstums Nošķelta piramīda ir perpendikula segments, kas novilkts no jebkura augšējās pamatnes punkta uz apakšējās plakni.

Pareiza nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un pamatnei paralēlu griezuma plakni. Regulāras nošķeltas piramīdas (trapecveida) sānu virsmas augstumu sauc apotēma.

Var pierādīt, ka regulārai nošķeltai piramīdai ir sakritīgas sānu malas, visas sānu malas ir sakritīgas un visas apotēmas ir sakritīgas.

Ja pareizi saīsināts n- ogļu piramīda cauri a un b n apzīmē augšējās un apakšējās pamatnes malu garumus un cauri h- apotēmas garums, tad piramīdas katras sānu malas laukums ir

1 / 2 (a + b n) h

Visu piramīdas sānu virsmu laukumu summu sauc par tās sānu virsmas laukumu un apzīmē ar S pusi. . Skaidrs, ka parastam apcirptajam n- ogļu piramīda

S pusē = n 1 / 2 (a + b n) h.

Kā pa= P un nb n\u003d P 1 - nošķeltas piramīdas pamatu perimetrs, tad

S pusē \u003d 1/2 (P + P 1) h ,

t.i., regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un apotēmas perimetru summas reizinājuma.

Iecirknis paralēli piramīdas pamatnei

1) sānu ribas un augstums tiks sadalītas proporcionālās daļās;

2) sadaļā iegūst pamatnei līdzīgu daudzstūri;

3) posma un pamatnes laukumi ir saistīti kā to attālumu kvadrāti no augšas.

Pietiek, lai pierādītu teorēmu trīsstūrveida piramīdai.

Tā kā paralēlās plaknes pa paralēlām taisnēm krusto trešā plakne, tad (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Zīm.).

Paralēlas līnijas sagriež leņķa malas proporcionālās daļās, un tāpēc

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Tāpēc ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 un

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|) $$

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 un

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Tādējādi

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_) (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Trijstūru ABC un A 1 B 1 C 1 attiecīgie leņķi ir kongruenti, līdzīgi leņķiem ar paralēlām un vienādi vērstām malām. Tātad

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Līdzīgu trīsstūru laukumi ir saistīti kā atbilstošo malu kvadrāti:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\right|) $$

Tāpēc

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorēma. Ja divas piramīdas ar vienādiem augstumiem vienādā attālumā no augšas tiek sadalītas ar plaknēm, kas ir paralēlas pamatiem, tad posmu laukumi ir proporcionāli pamatu laukumiem.

Pieņemsim (84. att.) B un B 1 ir divu piramīdu pamatu laukumi, H ir katras no tām augstums, b un b 1 - šķērsgriezuma laukumi pa plaknēm, kas ir paralēlas pamatnēm un noņemtas no virsotnēm ar tādu pašu attālumu h.

Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu mums būs:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: un \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
kur
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: vai \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Sekas. Ja B \u003d B 1, tad un b = b 1 , t.i. ja divām piramīdām ar vienādu augstumu ir vienādas pamatnes, tad arī posmi, kas atrodas vienādā attālumā no augšas, ir vienādi.

Uzdevums

Lēmums.

Piramīdas pamatnē atrodas taisnleņķa trīsstūris. Ap taisnleņķa trīsstūri norobežota riņķa centrs atrodas uz tā hipotenūzas. Attiecīgi AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Tā kā augstums ON = 12 cm, ribu izmērs AN un NB ir vienāds ar
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Tā kā mēs zinām vērtību AO = OB = 5 cm un vienas pamatnes kājas vērtību (8 cm), tad augstums, kas nolaists līdz hipotenūzai, būs vienāds ar
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Attiecīgi malas CN vērtība būs vienāda ar
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Atbilde: 13, 13 , √183

Uzdevums

Lēmums.
Piramīdas tilpumu nosaka pēc formulas:
V = 1/3 Sh

Mēs atrodam pamatnes laukumu, izmantojot formulu taisnleņķa trīsstūra laukuma atrašanai:
S = ab/2 = 8 * 6/2 = 24
kur
V = 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 cm 3.