Kā atrast vienādsānu trīsstūra augstumu, zinot pamatu. Vienādsānu trīsstūris. Detalizēta teorija ar piemēriem (2020). Kas ir augums

Trijstūra augstuma aprēķins ir atkarīgs no pašas figūras (vienādsānu, vienādmalu, skalēna, taisnstūrveida). Praktiskajā ģeometrijā sarežģītas formulas, kā likums, nenotiek. pietiekami zināt vispārējs princips aprēķinus, lai to varētu universāli izmantot visiem trijstūriem. Šodien mēs jūs iepazīstināsim ar pamatprincipi aprēķinot figūras augstumu, pēc aprēķina formulām, pamatojoties uz trijstūra augstumu īpašībām.

Kas ir augums?

Augstumam ir vairākas atšķirīgas īpašības

Punktu, kur satiekas visi augstumi, sauc par ortocentru. Ja trīsstūris ir smails, tad ortocentrs atrodas figūras iekšpusē, ja viens no leņķiem ir neass, tad ortocentrs, kā likums, atrodas ārpusē.
Trijstūrī, kur viens leņķis ir 90°, ortocentrs un virsotne ir vienādi.
Atkarībā no trijstūra veida ir vairākas formulas, kā noteikt trijstūra augstumu.

Tradicionālā skaitļošana

Ja p ir puse no perimetra, tad a, b, c ir vajadzīgās figūras malu apzīmējums, h ir augstums, tad pirmais un vislielākais vienkārša formula izskatīsies šādi: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
Skolu mācību grāmatās bieži var atrast problēmas, kurās ir zināma viena no trijstūra malām un leņķis starp šo malu un pamatni. Tad augstuma aprēķināšanas formula izskatīsies šādi: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
Ja ir norādīts trīsstūra laukums - S, kā arī pamatnes garums - a, tad aprēķini būs pēc iespējas vienkāršāki. Augstumu nosaka pēc formulas: h \u003d 2S / a.
Kad ir dots ap figūru aprakstītā apļa rādiuss, mēs vispirms aprēķinām tā divu malu garumus un pēc tam turpinām aprēķināt trijstūra doto augstumu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu: h = b ∙ c/2R, kur b un c ir divas trīsstūra malas, kas nav pamats, un R ir rādiuss.

Kā atrast vienādsānu trīsstūra augstumu?

Visas šī attēla malas ir līdzvērtīgas, to garumi ir vienādi, tāpēc arī leņķi pie pamatnes būs vienādi. No tā izriet, ka augstumi, kurus mēs zīmējam uz bāzēm, arī būs vienādi, tie vienlaikus ir arī mediānas un bisektrise. Vienkārši izsakoties, augstums vienādsānu trīsstūrī sadala pamatni divās daļās. Trīsstūris ar taisnu leņķi, kas izrādījās pēc augstuma uzzīmēšanas, tiks aplūkots, izmantojot Pitagora teorēmu. Apzīmējiet malu kā a un pamatni kā b, tad augstumu h = ½ √4 a2 − b2.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra augstumu?

Vienādmalu trīsstūra formulu (attēls, kurā visas malas ir vienāda izmēra) var atrast, pamatojoties uz iepriekšējiem aprēķiniem. Ir nepieciešams izmērīt tikai vienas trijstūra malas garumu un apzīmēt to kā a. Tad augstumu atvasina pēc formulas: h = √3/2 a.

Kā atrast taisnleņķa trijstūra augstumu?

Kā zināms, taisnleņķa trijstūrī leņķis ir 90°. Uz vienas kājas pazeminātais augstums vienlaikus ir arī otrā kāja. Uz tiem gulēs trīsstūra augstumi ar taisnu leņķi. Lai iegūtu datus par augstumu, jums ir nedaudz jāpārveido esošā Pitagora formula, apzīmējot kājas - a un b, kā arī izmērot hipotenūzas garumu - c.

Atrodiet kājas garumu (malu, kurai augstums būs perpendikulāra): a = √ (c2 − b2). Otrās kājas garumu nosaka pēc tieši tādas pašas formulas: b = √ (c2 − b2). Pēc tam varat turpināt aprēķināt trijstūra augstumu ar taisnu leņķi, iepriekš aprēķinot figūras laukumu - s. Augstuma vērtība h = 2s/a.

Skalēna trijstūra aprēķini

Kad skalēnas trīsstūrī ir asi stūri, tad ir redzams līdz pamatnei pazeminātais augstums. Ja trijstūrim ir strups leņķis, tad augstums var būt ārpus figūras, un tas ir garīgi jāturpina, lai iegūtu trijstūra augstuma un pamatnes savienojuma punktu. visvairāk vienkāršā veidā lai izmērītu augstumu, tas ir jāaprēķina caur vienu no malām un leņķu lielumu. Formula izskatās šādi: h = b sin y + c sin ß.

Vienādsānu ir tāds trīsstūris, kura abu malu garums ir vienāds.

Risinot problēmas par tēmu "vienādsānu trīsstūris" ir nepieciešams izmantot sekojošo zināmo īpašības:

1. Leņķi, kas atrodas pretī vienādām malām, ir vienādi.
2. Bisektrise, mediānas un augstumi, kas novilkti no vienādiem leņķiem, ir vienādi viens ar otru.
3. Bisektrise, mediāna un augstums, kas novilktas līdz vienādsānu trijstūra pamatnei, sakrīt viens ar otru.
4. Ierakstīto apļu centrs un norobežoto apļu centrs atrodas augstumā un līdz ar to uz vidusdaļas un bisektrise, kas novilkta uz pamatni.
5. Leņķi, kas ir vienādi vienādsānu trīsstūrī, vienmēr ir asi.

Trijstūris ir vienādsānu, ja tam ir šādas īpašības zīmes:

1. Trijstūra divi leņķi ir vienādi.
2. Augstums ir tāds pats kā mediānai.
3. Bisektrise ir tāda pati kā mediāna.
4. Augstums sakrīt ar bisektoru.
5. Divi trīsstūra augstumi ir vienādi.
6. Trijstūra divas bisektrise ir vienādas.
7. Trijstūra divas mediānas ir vienādas.

Apsveriet dažus uzdevumus par šo tēmu "vienādsānu trīsstūris" un sniedziet detalizētu risinājumu.

1. uzdevums.

Vienādsānu trijstūrī augstums, kas novilkts uz pamatni, ir 8, un pamatne ir saistīta ar malu kā 6: 5. Atrast, cik tālu no trijstūra virsotnes atrodas tā bisektriņu krustpunkts.

Risinājums.

Dots vienādsānu trijstūris ABC (1. att.).

1) Tā kā AC: BC = 6: 5, tad AC = 6x un BC = 5x. BH ir augstums, kas novilkts līdz trijstūra ABC pamatnei AC.

Tā kā punkts H ir maiņstrāvas viduspunkts (pēc vienādsānu trīsstūra īpašības), tad HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;

x = 2, tad

AC \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 un

BC \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10.

3) Tā kā trijstūra bisektoru krustpunkts ir tajā ierakstītā apļa centrs, tad
OH = r. Trijstūrī ABC ierakstītā riņķa rādiusu atrod pēc formulas

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (12 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, tad OH = r = 48/16 = 3.

Tādējādi VO \u003d VN - OH; VO \u003d 8 - 3 \u003d 5.

Atbilde: 5.

2. uzdevums.

Bisektrise AD ir ievilkta vienādsānu trijstūrī ABC. Trijstūru ABD un ADC laukumi ir vienādi ar 10 un 12. Atrodiet šī trijstūra augstumā uzceltā kvadrāta laukumu, kas trīs reizes novilkts līdz AC pamatnei.

Risinājums.

Apsveriet trīsstūri ABC - vienādsānu, AD - leņķa A bisektrisi (2. att.).

1) Uzrakstīsim trijstūra BAD un DAC laukumus:

S BAD = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Atrodiet laukumu attiecību:

S BAD /S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB/AC.

Tā kā S BAD = 10, S DAC = 12, tad 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, tad pieņemsim, ka AB = 5x un AC = 6x.

AN \u003d 1/2 maiņstrāvas = 1/2 6x \u003d 3x.

3) No trijstūra ABN - taisnstūrveida saskaņā ar Pitagora teorēmu AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

25x 2 \u003d VN 2 + 9x 2;

4) S A BC = 1/2 maiņstrāvas HV; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2.

Tā kā S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, tad 22 \u003d 12x 2;

x 2 \u003d 11/6; VN 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3.

5) kvadrāta laukums ir vienāds ar VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Atbilde: 88.

3. uzdevums.

Vienādsānu trijstūrī pamatne ir 4 un mala ir 8. Atrodiet uz sāniem nomestā augstuma kvadrātu.

Risinājums.

Trijstūrī ABC - vienādsānu BC \u003d 8, AC \u003d 4 (3. att.).

1) ВН - augstums, kas novilkts līdz trijstūra ABC pamatnei AC.

Tā kā punkts H ir maiņstrāvas viduspunkts (pēc vienādsānu trīsstūra īpašības), tad HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 4 \u003d 2.

2) No VNS trīsstūra - taisnstūrveida saskaņā ar Pitagora teorēmu VS 2 \u003d VN 2 + NS 2;

64 = HH2 + 4;

3) S ABC \u003d 1/2 (AC BH), kā arī S ABC \u003d 1/2 (AM BC), tad mēs pielīdzinām pareizās formulu daļas, iegūstam

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 4)/8 = (2√15 4)/8 = √15.

Atbilde: 15.

4. uzdevums.

Vienādsānu trijstūrī pamatne un uz tā nolaistais augstums ir vienāds ar 16. Atrodiet ap šo trīsstūri apzīmētā riņķa rādiusu.

Risinājums.

Trijstūrī ABC - vienādsānu bāze AC \u003d 16, BH \u003d 16 - augstums, kas novilkts līdz pamatnei AC (4. att.).

1) AN \u003d HC \u003d 8 (pēc vienādsānu trīsstūra īpašības).

2) No VNS trīsstūra - taisnstūrveida saskaņā ar Pitagora teorēmu

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

BC 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 \u003d 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Aplūkosim trijstūri ABC: ar sinusa teorēmu 2R = AB/sin C, kur R ir ap trijstūri ABC noteiktā apļa rādiuss.

sin C \u003d BH / BC (no VNS trīsstūra pēc sinusa definīcijas).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, tad 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 √5)/2; R = 10.

Atbilde: 10.

5. uzdevums.

Augstuma garums, kas novilkts līdz vienādsānu trīsstūra pamatnei, ir 36, un ierakstītā apļa rādiuss ir 10. Atrodiet trīsstūra laukumu.

Risinājums.

Dots vienādsānu trijstūris ABC.

1) Tā kā trijstūrī ierakstītā riņķa centrs ir tā bisektoru krustpunkts, tad O ϵ VN un AO ir leņķa A bisektrise, un strāva ir OH \u003d r \u003d 10 (5. att.).

2) VO \u003d VN - OH; VO \u003d 36 - 10 \u003d 26.

3) Aplūkosim trīsstūri ABH. Pēc trijstūra leņķa bisektrise teorēmas

AB/AN = BO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, tad pieņemsim, ka AB = 13x un AH = 5x.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;

169x2 \u003d 25x2 + 36 2;

144x2 \u003d (12 3) 2;

144x2 = 144 9;

x \u003d 3, pēc tam maiņstrāva \u003d 2 AN \u003d 10x = 10 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (36 30) = 540;

Atbilde: 540.

6. uzdevums.

Vienādsānu trijstūrī divas malas ir vienādas ar 5 un 20. Atrodiet trijstūra pamatnes leņķa bisektrisi.

Risinājums.

1) Pieņemsim, ka trijstūra malas ir 5 un pamatne ir 20.

Tad 5+5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (6. att.).

2) Pieņemsim, ka LC = x, tad BL = 20 – x. Pēc trijstūra leņķa bisektrise teorēmas

AB/AC = BL/LC;

20/5 \u003d (20 - x) / x,

tad 4x \u003d 20 - x;

Tādējādi LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Izmantosim trīsstūra leņķa bisektoru formulu:

AL 2 \u003d AB AC - BL LC,

tad AL 2 = 20 5 - 4 16 = 36;

Atbilde: 6.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmas?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ikvienam reizēm ir jāatsvaidzina skolas zināšanas, pat ja no pirmā acu uzmetiena gala formula nešķiet sarežģīta. Vienādsānu trīsstūra augstumu ir viegli secināt no slavenā matemātiķa Pitagora teorēmas vai iegūt no Herona formulas.

Vienādsānu trīsstūra augstuma aprēķināšana tiešsaistē

Vienkāršākais veids, kas no jums neprasa nekādu garīgu piepūli, ir atrast vēlamo vērtību, izmantojot tiešsaistes pakalpojumus. Daudzas vietnes piedāvā aprēķināt vienādsānu trīsstūra augstumu, lietotājam ir jāiestata tikai sākotnējās vērtības - malu garumi (vienādsānu trīsstūrim mala un pamatne). Piemēram, jūs varat izmantot šo lapu bez maksas. Ja vēlaties veikt aprēķinus pats, pārejiet pie nākamās darbības.

Formulas vienādsānu trīsstūra augstumam

Saskaņā ar aprēķiniem no ievadā norādītajām teorēmām, šāda trijstūra augstuma formula ir vienāda ar malu starpības sakni, katra no tām ir kvadrātā un dalīta ar 4. Vizuāli tas izskatās šādi ( kur h ir vēlamais augstums, a ir trijstūra pamatnes garums, b ir tā malas garums):

Ja jums joprojām ir jautājumi, noklausieties detalizētu un saprotamu video, kurā skolotājs izskaidro, kā atrast trijstūra augstumu ar vienādām malām.

Ģeometrija ir ne tikai priekšmets skolā, kurā jāiegūst izcila atzīme. Tās ir arī zināšanas, kas bieži vien dzīvē ir nepieciešamas. Piemēram, būvējot māju ar augstu jumtu, ir jāaprēķina baļķu biezums un to skaits. Tas ir vienkārši, ja zināt, kā atrast augstumu vienādsānu trīsstūrī. Arhitektūras struktūras balstās uz zināšanām par ģeometrisko formu īpašībām. Ēku formas bieži tām vizuāli atgādina. Ēģiptes piramīdas, piena maisiņi, mākslinieciski izšuvumi, ziemeļu gleznas un pat pīrāgi – tie visi ir trīsstūri, kas ieskauj cilvēku. Kā teica Platons, visa pasaule balstās uz trijstūriem.

Vienādsānu trīsstūris

Trijstūris ir vienādsānu, ja tam ir divas vienādas malas. Tos vienmēr sauc par sānu. Sānu, kuras izmēri atšķiras, sauc par pamatni.

Pamatjēdzieni

Tāpat kā jebkurai zinātnei, ģeometrijai ir savi pamatnoteikumi un jēdzieni. Viņu ir pietiekami daudz. Apskatīsim tikai tos, bez kuriem mūsu tēma būtu nedaudz nesaprotama.

Augstums ir taisna līnija, kas novilkta perpendikulāri pretējai pusei.

Mediāna ir segments, kas vērsts no jebkuras trijstūra virsotnes tikai uz pretējās malas viduspunktu.

Leņķa bisektrise ir stars, kas sadala leņķi uz pusēm.

Trijstūra bisektrise ir taisna līnija vai drīzāk segments, kas savieno virsotni ar pretējo malu.

Ir ļoti svarīgi atcerēties, ka leņķa bisektrise noteikti ir stars, un trijstūra bisektrise ir šāda stara daļa.

Pamatnes leņķi

Teorēma nosaka, ka leņķi, kas atrodas jebkura vienādsānu trīsstūra pamatnē, vienmēr ir vienādi. Šo teorēmu ir ļoti viegli pierādīt. Aplūkosim attēloto vienādsānu trīsstūri ABC, kurā AB = BC. No leņķa ABC nepieciešams uzzīmēt VD bisektrisi. Tagad mums vajadzētu apsvērt divus iegūtos trīsstūrus. Saskaņā ar nosacījumu AB \u003d BC, VD mala ir kopīga trijstūriem, un leņķi ABD un SVD ir vienādi, jo VD ir bisektrise. Atceroties pirmo vienlīdzības zīmi, varam droši secināt, ka aplūkojamie trīsstūri ir vienādi. Tāpēc visi atbilstošie leņķi ir vienādi. Un, protams, partijas, bet pie šī punkta atgriezīsimies vēlāk.

Vienādsānu trīsstūra augstums

Galvenā teorēma, uz kuras balstās gandrīz visu problēmu risinājums, izklausās šādi: augstums vienādsānu trijstūrī ir bisektrise un mediāna. Lai saprastu tā praktisko nozīmi (vai būtību), ir jāsagatavo palīgrokasgrāmata. Lai to izdarītu, no papīra izgrieziet vienādsānu trīsstūri. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir no parastās piezīmju grāmatiņas lapas kastē.

Salieciet iegūto trīsstūri uz pusēm, izlīdzinot malas. Kas notika? Divi vienādi trīsstūri. Tagad mums ir jāpārbauda mūsu minējumi. Izvērsiet iegūto origami. Uzzīmējiet locījuma līniju. Izmantojot transportieri, pārbaudiet leņķi starp novilkto līniju un trīsstūra pamatni. Ko nozīmē 90 grādu leņķis? Ka novilktā līnija ir perpendikula. Pēc definīcijas augstums. Kā atrast augstumu vienādsānu trīsstūrī, mēs to izdomājām. Tagad tiksim galā ar stūriem augšpusē. Izmantojot to pašu transportieri, pārbaudiet leņķus, ko tagad veido augstums. Viņi ir līdzvērtīgi. Tas nozīmē, ka augstums ir arī bisektrise. Bruņojoties ar lineālu, izmēriet segmentus, kuros pamatne sadala augstumu. Viņi ir līdzvērtīgi. Tāpēc augstums vienādsānu trīsstūrī sadala pamatni un ir mediāna.

Teorēmas pierādījums

Uzskates līdzeklis spilgti parāda teorēmas patiesumu. Bet ģeometrija ir diezgan precīza zinātne, tāpēc tai ir nepieciešami pierādījumi.

Apsverot leņķu vienādību pie pamatnes, tika pierādīta trīsstūru vienādība. Atcerieties, ka BD ir bisektrise un trijstūri ABD un SVD ir kongruenti. Secinājums bija tāds, ka trijstūra atbilstošās malas un, protams, leņķi ir vienādi. Tātad BP = SD. Tāpēc PD ir mediāna. Atliek pierādīt, ka VD ir augums. Pamatojoties uz aplūkoto trīsstūru vienādību, izrādās, ka leņķis ADV ir vienāds ar leņķi SDV. Bet šie divi leņķi atrodas blakus, un ir zināms, ka tie veido 180 grādus. Tātad, ar ko viņi ir vienādi? Protams, 90 grādi. Tādējādi VD ir augstums vienādsānu trīsstūrī, kas novilkts uz pamatni. Q.E.D.

Galvenās iezīmes

Lai veiksmīgi atrisinātu problēmas, jums vajadzētu atcerēties vienādsānu trīsstūru galvenās iezīmes. Šķiet, ka tās ir pretējas teorēmām.
Ja uzdevuma risināšanas gaitā tiek atrasta divu leņķu vienādība, tad jums ir darīšana ar vienādsānu trīsstūri.
Ja jums izdevās pierādīt, ka mediāna ir arī trijstūra augstums, droši seciniet, ka trīsstūris ir vienādsānu.
Ja bisektrise ir arī augstums, tad, pamatojoties uz galvenajām pazīmēm, trīsstūri klasificē kā vienādsānu.
Un, protams, ja mediāna darbojas arī kā augstums, tad šāds trīsstūris ir vienādsānu.

Augstuma formula 1

Tomēr lielākajai daļai uzdevumu ir jāatrod augstuma aritmētiskā vērtība. Tāpēc mēs apsvērsim, kā atrast augstumu vienādsānu trīsstūrī.

Atgriezīsimies pie iepriekš parādītā ABC attēla, kurā a ir malas, b ir bāze. VD - šī trīsstūra augstums, tam ir apzīmējums h.

Kas ir trīsstūris ABD? Tā kā VD ir augstums, tad trijstūris ABD ir taisnstūrveida, kura kāja ir jāatrod. Izmantojot Pitagora formulu, mēs iegūstam:

AB² = AD² + VD²

Nosakot VD pēc izteiksmes un aizstājot iepriekš pieņemtos apzīmējumus, mēs iegūstam:

H² \u003d a² - (b / 2)².

Izņemiet sakni:

H \u003d √a² - v² / 4.

Ja mēs izņemam no zem saknes zīmes ¼, tad formula izskatīsies šādi:

H \u003d ½ √4a² - in².

Tas ir augstums vienādsānu trīsstūrī. Formula izriet no Pitagora teorēmas. Pat ja jūs aizmirstat šo simbolisko ierakstu, tad, zinot atrašanas metodi, jūs vienmēr varat to secināt.

Augstuma formula 2

Iepriekš aprakstītā formula ir galvenā, un to visbiežāk izmanto, risinot lielāko daļu ģeometrisko problēmu. Bet viņa nav vienīgā. Dažreiz stāvoklī pamatnes vietā tiek norādīta leņķa vērtība. Kā ar šādiem datiem atrast augstumu vienādsānu trīsstūrī? Lai atrisinātu šādas problēmas, ieteicams izmantot citu formulu:

kur H ir augstums, kas vērsts pret pamatni,

a - puse

α - leņķis pie pamatnes.

Ja uzdevumā ir dota leņķa vērtība virsotnē, tad augstums vienādsānu trijstūrī tiek atrasts šādi:

H \u003d a / cos (β / 2),

kur H ir augstums, kas nolaists līdz pamatnei,

β - virsotnes leņķis,

a - puse.

taisnsānu trīsstūris

Ļoti interesants īpašums ir trīsstūris, kura virsotne ir 90 grādi. Apsveriet ABC. Tāpat kā iepriekšējos gadījumos, VD ir augstums, kas vērsts uz pamatni.

Pamatnes leņķi ir vienādi. Tos nav grūti aprēķināt:

α = (180–90)/2.

Tādējādi leņķi pie pamatnes vienmēr ir 45 grādi. Tagad apsveriet trīsstūri ADV. Tas ir arī taisnstūrveida. Atradīsim leņķi ABD. Ar vienkāršiem aprēķiniem mēs iegūstam 45 grādus. Un tāpēc šis trīsstūris ir ne tikai taisnleņķa, bet arī vienādsānu. Malas AD un VD ir sānu malas un ir vienādas viena ar otru.

Bet puse AD tajā pašā laikā ir puse no AC puses. Izrādās, ka augstums vienādsānu trijstūrī ir vienāds ar pusi no pamatnes, un, ja to uzraksta kā formulu, mēs iegūstam šādu izteiksmi:

Nevajadzētu aizmirst, ka šī formula ir īpaši īpašs gadījums un to var izmantot tikai taisnleņķa vienādsānu trijstūriem.

zelta trīsstūri

Zelta trīsstūris ir ļoti interesants. Šajā attēlā sānu un pamatnes attiecība ir vienāda ar vērtību, ko sauc par Phidias skaitu. Leņķis, kas atrodas augšpusē, ir 36 grādi, pie pamatnes - 72 grādi. Šo trīsstūri apbrīnoja pitagorieši. Zelta trīsstūra principi ir daudzu nemirstīgu šedevru pamatā. Visiem pazīstams, tas ir uzbūvēts vienādsānu trīsstūru krustpunktā. Daudziem darbiem Leonardo da Vinči izmantoja "zelta trīsstūra" principu. Gioconda kompozīcijas pamatā ir tieši figūras, kas veido regulāru zvaigznes piecstūri.

Glezna "Kubisms", viens no Pablo Pikaso darbiem, aizrauj aci ar vienādsānu trīsstūriem.

Vienādsānu trīsstūra īpašības.
Vienādsānu trīsstūra zīmes.
Vienādsānu trijstūra formulas:
- sānu garuma formulas;
- vienādu malu garuma formulas;
- vienādsānu trijstūra augstuma formulas, mediānas, bisektrise.

Vienādsānu trīsstūris ir tāds, kura divas malas ir vienādas. Šīs puses sauc sānu un trešā puse pamata.

AB = BC - malas

AC - bāze

Vienādsānu trīsstūra īpašības

Vienādsānu trīsstūra īpašības tiek izteiktas caur 5 teorēmas:

1. teorēma. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi.

Teorēmas pierādījums:

Apsveriet vienādsānu Δ ABC ar pamatni AC .

Puses ir vienādas AB = Saule ,

Tāpēc leņķi pie pamatnes ∠ BAC = ∠ BCA .

Teorēma par bisektoru, mediānu, augstumu, kas novilkta līdz vienādsānu trijstūra pamatnei

2. teorēma. Vienādsānu trīsstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, ir mediāna un augstums.
3. teorēma. Vienādsānu trijstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir bisektrise un augstums.
4. teorēma. Vienādsānu trīsstūrī augstums, kas novilkts uz pamatni, ir bisektrise un mediāna.

Teorēmas pierādījums:

Dens Δ ABC .
No punkta IN zīmēsim augstumu B.D.
Trijstūris dalīts ar Δ ABD un Δ CBD Šie trīsstūri ir vienādi, jo viņu hipotenūzas un kopējā kāja ir vienādas ().
Tieša AC Un BD sauc par perpendikulu.
In Δ ABD un Δ BCD ∠ SLIKTI = ∠ BCD (no 1. teorēmas).
AB = BC - malas ir vienādas.
ballītes AD = CD, jo punkts D segments sadalās uz pusēm.
Tādējādi Δ ABD= Δ BCD.
Bisektrise, augstums un mediāna ir viens segments - BD

Izvade:

Līdz pamatnei novilkta vienādsānu trijstūra augstums ir mediāna un bisektrise.
Uz pamatni novilkta vienādsānu trīsstūra mediāna ir augstums un bisektrise.
Uz pamatni novilkta vienādsānu trijstūra bisektrise ir mediāna un augstums.

Atcerieties! Risinot šādas problēmas, nolaidiet augstumu līdz vienādsānu trīsstūra pamatnei. Lai to sadalītu divās vienādās daļās taisnleņķa trīsstūris.

5. teorēma. Ja viena trijstūra trīs malas ir vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Teorēmas pierādījums:

Doti divi ∆ ABC un ∆ A 1 B 1 C 1 . Puses AB = A 1 B 1 ; BC = B 1 C 1; AC = A 1 C 1 .

Pierādījums ar pretrunu.

Pieņemsim, ka trīsstūri nav vienādi (pretējā gadījumā trijstūri bija vienādi pirmajā zīmē).
Pieņemsim, ka Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, kuras virsotne C 2 atrodas vienā pusplaknē ar virsotni C 1 attiecībā pret taisni A 1 B 1 . Pēc pieņēmuma, virsotnes C 1 un C 2 nesakrīt. Ar D ir nogriežņa C 1 C 2 viduspunkts. Δ A 1 C 1 C 2 un Δ B 1 C 1 C 2 ir vienādsānu ar kopēju bāzi C 1 C 2. Tāpēc to mediānas A 1 D un B 1 D ir augstumi. Tādējādi taisnes A 1 D un B 1 D ir perpendikulāras taisnei C 1 C 2 . A 1 D un B 1 D punkti A 1 un B 1 atšķiras, tāpēc tie nesakrīt. Bet caur taisnes C 1 C 2 punktu D var novilkt tikai vienu tai perpendikulāru taisni.
No šejienes mēs nonācām pie pretrunas un pierādījām teorēmu.