Mēs sāksim trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūris. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūta leņķa tangenss un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.

Atgādināsim jums to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar . Citiem vārdiem sakot, puse pagriezta leņķa.

Ass stūris- mazāks.

Strups leņķis- lielāks. Saistībā ar šādu leņķi "strupis" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Taisns leņķis parasti tiek apzīmēts ar . Lūdzu, ņemiet vērā, ka stūrim pretējā puse ir norādīta ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim.

Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.

Hipotenūza taisnleņķa trīsstūra ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.

Kājas- malas, kas atrodas pretī akūtiem leņķiem.

Kāju, kas atrodas pretī leņķim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā no leņķa pusēm, sauc blakus.

Sinus Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās malas attiecība pret blakus esošo:

Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās malas attiecība pret pretējo (vai, kas ir tāda pati, kosinusa un sinusa attiecība):

Ņemiet vērā pamata sakarības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa tālāk. Tie mums noderēs, risinot problēmas.

Pierādīsim dažus no tiem.

1. Jebkura trijstūra leņķu summa ir vienāda ar . nozīmē, taisnleņķa trijstūra divu asu leņķu summa ir vienāda ar .

2. No vienas puses, kā pretējās puses attiecību pret hipotenūzu. No otras puses, tā kā leņķim kāja būs blakus.

Mēs to saņemam. Citiem vārdiem sakot, .

3. Veikt Pitagora teorēmu: . Sadalīsim abas daļas ar:

Mēs saņēmām pamata trigonometriskā identitāte:

Tādējādi, zinot leņķa sinusu, mēs varam atrast tā kosinusu un otrādi.

4. Sadalot abas galvenās trigonometriskās identitātes puses ar , iegūstam:

Tas nozīmē, ka, ja mums ir dota akūta leņķa tangenss, mēs varam nekavējoties atrast tā kosinusu.

Tāpat

Labi, mēs esam devuši definīcijas un pierakstījuši formulas. Bet kāpēc mums joprojām ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?

Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir vienāda ar.

Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .

Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot taisnleņķa trīsstūra abas malas, jūs varat atrast trešo. Tas nozīmē, ka leņķiem ir sava attiecība, un sāniem ir sava. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno leņķi) un viena mala, bet jāatrod pārējās malas?

Ar to agrāk saskārās cilvēki, veidojot apgabala un zvaigžņoto debesu kartes. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.

Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī trigonometriskā leņķa funkcijas- dot attiecības starp ballītēm Un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat atrast visas tā trigonometriskās funkcijas, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.

Mēs arī uzzīmēsim sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtību tabulu “labiem” leņķiem no līdz.

Lūdzu, ņemiet vērā divas sarkanās domuzīmes tabulā. Pie atbilstošām leņķa vērtībām tangenses un kotangenses nepastāv.

Apskatīsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.

1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.

Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.

Kopš , mums ir: .

2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast. , ir vienāds puse no hipotenūzas.

Trīsstūris ar leņķiem , Un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.

Vienotais valsts eksāmens 4? Vai tu neplīsīsi no laimes?

Jautājums, kā saka, interesants... Var, var nokārtot ar 4! Un tajā pašā laikā neplīst... Galvenais nosacījums ir regulāri vingrot. Šeit ir pamata sagatavošana vienotajam valsts eksāmenam matemātikā. Ar visiem Vienotā valsts eksāmena noslēpumiem un mistērijām, par kurām mācību grāmatās nelasīsiet... Izpētiet šo sadaļu, atrisiniet vēl uzdevumus no dažādiem avotiem - un viss izdosies! Tiek pieņemts, ka bāzes nodalījums "Tev pietiek pat ar trīs!" tas jums nesagādā nekādas problēmas. Bet, ja pēkšņi... Sekojiet saitēm, neesiet slinki!

Un mēs sāksim ar lielisku un šausmīgu tēmu.

Trigonometrija

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli iekšā Īpašais 555. pants.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Šī tēma skolēniem rada daudz problēmu. To uzskata par vienu no vissmagākajiem. Kas ir sinuss un kosinuss? Kas ir tangenss un kotangenss? Kas ir skaitļu aplis? Tiklīdz tu uzdod šos nekaitīgos jautājumus, cilvēks nobāl un mēģina sarunu novirzīt... Bet velti. Tie ir vienkārši jēdzieni. Un šī tēma nav grūtāka par citām. Jums vienkārši ir skaidri jāsaprot atbildes uz šiem jautājumiem jau pašā sākumā. Tas ir ļoti svarīgi. Ja jūs saprotat, jums patiks trigonometrija. Tātad,

Kas ir sinuss un kosinuss? Kas ir tangenss un kotangenss?

Sāksim ar seniem laikiem. Neuztraucieties, mēs iziesim cauri visiem 20 gadsimtiem trigonometrijas apmēram 15 minūtēs. Un, nemanot, mēs atkārtosim ģeometrijas gabalu no 8. klases.

Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri ar malām a, b, c un leņķis X. Te tas ir.

Atgādināšu, ka malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. a un c- kājas. Tādas ir divas. Atlikušo pusi sauc par hipotenūzu. Ar- hipotenūza.

Trīsstūris un trīsstūris, tikai padomā! Ko ar viņu darīt? Bet senie cilvēki zināja, kas jādara! Atkārtosim viņu darbības. Izmērīsim sānu malu V. Attēlā šūnas ir īpaši uzzīmētas, tāpat kā attēlā Vienoto valsts eksāmenu uzdevumi Tas notiek. Sānu V vienāds ar četrām šūnām. LABI. Izmērīsim sānu malu A. Trīs šūnas.

Tagad sadalīsim malas garumu A uz sānu garumu V. Vai arī, kā mēdz teikt, pieņemsim attieksmi A Uz V. a/v= 3/4.

Gluži pretēji, jūs varat sadalīt V ieslēgts A. Mēs iegūstam 4/3. Var V dalīt ar Ar. Hipotenūza Ar Nav iespējams saskaitīt pa šūnām, bet tas ir vienāds ar 5. Mēs iegūstam augstas kvalitātes= 4/5. Īsāk sakot, jūs varat sadalīt sānu garumus savā starpā un iegūt dažus skaitļus.

Nu ko? Kāda jēga no tā interesanta aktivitāte? Vēl neviena. Bezjēdzīgs vingrinājums, atklāti sakot.)

Tagad darīsim to. Palielināsim trīsstūri. Pagarināsim malas iekšā un ar, bet tā, lai trīsstūris paliktu taisnstūrveida. Stūris X, protams, nemainās. Lai to redzētu, novietojiet peles kursoru virs attēla vai pieskarieties tam (ja jums ir planšetdators). ballītes a, b un c pārvērtīsies par m, n, k, un, protams, mainīsies sānu garumi.

Bet viņu attiecības nav!

Attieksme a/v bija: a/v= 3/4, kļuva m/n= 6/8 = 3/4. Arī citu attiecīgo pušu attiecības ir nemainīsies . Jūs varat mainīt taisnleņķa trīsstūra malu garumus, kā vēlaties, palielināt, samazināt, nemainot leņķi x – attiecības starp attiecīgajām pusēm nemainīsies . Jūs varat to pārbaudīt, vai arī varat pieņemt seno cilvēku vārdu.

Bet tas jau ir ļoti svarīgi! Malu attiecības taisnleņķa trijstūrī nekādā veidā nav atkarīgas no malu garumiem (vienā leņķī). Tas ir tik svarīgi, ka attiecības starp pusēm ir izpelnījušās savu īpašo nosaukumu. Jūsu vārdi, tā sakot.) Iepazīstieties.

Kāds ir leņķa x sinuss ? Šī ir pretējās puses attiecība pret hipotenūzu:

sinx = a/c

Kāds ir leņķa x kosinuss ? Šī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Arosx= augstas kvalitātes

Kas ir tangenss x ? Šī ir pretējās puses un blakus esošās puses attiecība:

tgx =a/v

Kāda ir leņķa x kotangensa ? Šī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:

ctgx = v/a

Viss ir ļoti vienkārši. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir daži skaitļi. Bezizmēra. Tikai cipari. Katram leņķim ir savs.

Kāpēc es tik garlaicīgi visu atkārtoju? Kas tad tas ir vajag atcerēties. Ir svarīgi atcerēties. Iegaumēšanu var atvieglot. Vai frāze “Sāksim no tālienes…” ir pazīstama? Tāpēc sāciet no tālienes.

Sinus leņķis ir attiecība tālu no kājas leņķa līdz hipotenūzai. Kosinuss– kaimiņa un hipotenūzas attiecība.

Pieskares leņķis ir attiecība tālu no kājas leņķa līdz tuvākajam. Kotangenss- pretēji.

Tas ir vieglāk, vai ne?

Nu, ja atceraties, ka tangensā un kotangensā ir tikai kājas, bet sinusā un kosinusā parādās hipotenūza, tad viss kļūs pavisam vienkārši.

Tiek saukta arī visa šī krāšņā saime - sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss trigonometriskās funkcijas.

Tagad jautājums izskatīšanai.

Kāpēc mēs sakām sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu stūris? Mēs runājam par pušu attiecībām, piemēram... Kāds tam sakars? stūris?

Apskatīsim otro attēlu. Tieši tāds pats kā pirmais.

Novietojiet peles kursoru virs attēla. Es mainīju leņķi X. Palielināja to no x uz x. Visas attiecības ir mainījušās! Attieksme a/v bija 3/4, un atbilstošā attiecība t/v kļuva par 6/4.

Un visas pārējās attiecības kļuva savādākas!

Tāpēc malu attiecības nekādā veidā nav atkarīgas no to garumiem (vienā leņķī x), bet gan krasi atkarīgas tieši no šī leņķa! Un tikai no viņa. Tāpēc termini sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss attiecas uz stūrī. Leņķis šeit ir galvenais.

Ir skaidri jāsaprot, ka leņķis ir nesaraujami saistīts ar tā trigonometriskajām funkcijām. Katram leņķim ir savs sinuss un kosinuss. Un gandrīz katram ir savs tangenss un kotangenss. Tas ir svarīgi. Tiek uzskatīts, ka, ja mums ir dots leņķis, tad tā sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss mēs zinām ! Un otrādi. Ņemot vērā sinusu vai jebkuru citu trigonometrisku funkciju, tas nozīmē, ka mēs zinām leņķi.

Ir speciālas tabulas, kur katram leņķim ir aprakstītas tā trigonometriskās funkcijas. Tos sauc par Bradis galdiem. Tie tika apkopoti ļoti sen. Kad vēl nebija ne kalkulatoru, ne datoru...

Protams, nav iespējams atcerēties visu leņķu trigonometriskās funkcijas. Jums tie ir jāzina tikai no dažiem leņķiem, vairāk par to vēlāk. Bet burvestība Es zinu leņķi, kas nozīmē, ka es zinu tā trigonometriskās funkcijas. vienmēr strādā!

Tā mēs atkārtojām ģeometrijas gabalu no 8. klases. Vai mums tas ir vajadzīgs vienotajam valsts eksāmenam? Nepieciešams. Šeit ir tipiska problēma no vienotā valsts eksāmena. Lai atrisinātu šo problēmu, pietiek ar 8. klasi. Dotais attēls:

Visi. Vairāk datu nav. Mums jāatrod lidmašīnas sānu garums.

Šūnas daudz nepalīdz, trijstūris kaut kā nepareizi novietots.... Tīšām, laikam... Pēc informācijas ir hipotenūzas garums. 8 šūnas. Nez kāpēc leņķis tika dots.

Šeit jums nekavējoties jāatceras par trigonometriju. Ir leņķis, kas nozīmē, ka mēs zinām visas tā trigonometriskās funkcijas. Kuru no četrām funkcijām mums vajadzētu izmantot? Paskatīsimies, ko mēs zinām? Mēs zinām hipotenūzu un leņķi, bet mums ir jāatrod blakus katetru uz šo stūri! Ir skaidrs, ka kosinuss ir jāīsteno darbībā! Te nu mēs esam. Mēs vienkārši rakstām pēc kosinusa definīcijas (attiecība blakus kāja līdz hipotenūzai):

cosC = BC/8

Mūsu leņķis C ir 60 grādi, tā kosinuss ir 1/2. Tas jums jāzina, bez tabulām! Tas ir:

1/2 = BC/8

Elementāri lineārais vienādojums. Nezināms - Sv. Kas aizmirsa kā atrisināt vienādojumus, dodieties pastaigā pa saiti, pārējie izlemj:

BC = 4

Kad senie cilvēki saprata, ka katram leņķim ir savs komplekts trigonometriskās funkcijas, viņiem bija pamatots jautājums. Vai sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir kaut kādā veidā saistīti viens ar otru? Tātad, zinot vienu leņķa funkciju, jūs varat atrast citas? Neaprēķinot pašu leņķi?

Viņi bija tik nemierīgi...)

Viena leņķa trigonometrisko funkciju sakarība.

Protams, viena un tā paša leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir savstarpēji saistīti. Jebkāda saikne starp izteiksmēm matemātikā tiek dota ar formulām. Trigonometrijā ir milzīgs skaits formulu. Bet šeit mēs apskatīsim visvienkāršākos. Šīs formulas sauc: pamata trigonometriskās identitātes.Šeit tie ir:

Šīs formulas jums rūpīgi jāzina. Bez tiem trigonometrijā vispār nav ko darīt. No šīm pamata identitātēm izriet vēl trīs papildu identitātes:

Uzreiz brīdinu, ka pēdējās trīs formulas ātri izkrīt no atmiņas. Nez kāpēc.) Šīs formulas, protams, var atvasināt no pirmajām trim. Bet grūtos laikos... Jūs saprotat.)

Standarta uzdevumos, piemēram, tālāk norādītajās, ir veids, kā izvairīties no šīm aizmirstamajām formulām. UN ievērojami samazināt kļūdu skaitu aizmāršības dēļ un aprēķinos arī. Šī prakse ir 555. panta nodarbībā "Saistība starp viena leņķa trigonometriskajām funkcijām."

Kādos uzdevumos un kā tiek izmantotas pamata trigonometriskās identitātes? Populārākais uzdevums ir atrast kādu leņķa funkciju, ja tiek dota cita. Vienotajā valsts eksāmenā šāds uzdevums ir no gada uz gadu.) Piemēram:

Atrodiet sinx vērtību, ja x ir akūts leņķis un cosx=0,8.

Uzdevums ir gandrīz elementārs. Mēs meklējam formulu, kas satur sinusu un kosinusu. Šeit ir formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Šeit mēs aizstājam zināmu vērtību, proti, 0,8 kosinusa vietā:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nu, mēs rēķinām kā parasti:

grēks 2 x + 0,64 = 1

grēks 2 x = 1 - 0,64

Tas praktiski arī viss. Mēs esam aprēķinājuši sinusa kvadrātu, atliek tikai iegūt Kvadrātsakne un atbilde ir gatava! 0,36 sakne ir 0,6.

Uzdevums ir gandrīz elementārs. Bet vārds “gandrīz” tur ir ne velti... Lieta tāda, ka der arī atbilde sinx= - 0,6... (-0,6) 2 arī būs 0,36.

Ir divas dažādas atbildes. Un tev vajag vienu. Otrais ir nepareizs. Kā būt!? Jā, kā parasti.) Uzmanīgi izlasiet uzdevumu. Nez kāpēc tur rakstīts:... ja x ir akūts leņķis... Un uzdevumos katram vārdam ir nozīme, jā... Šī frāze ir papildu informācija risinājumam.

Akūts leņķis ir leņķis, kas mazāks par 90°. Un tādos stūros Visi trigonometriskās funkcijas - sinuss, kosinuss un tangenss ar kotangensu - pozitīvs. Tie. Šeit mēs vienkārši atmetam negatīvo atbildi. Mums ir tiesības.

Patiesībā astotās klases skolēniem nav vajadzīgi tādi smalkumi. Tie darbojas tikai ar taisnleņķa trijstūriem, kur stūri var būt tikai asi. Un viņi, laimīgie, nezina, ka ir gan negatīvie, gan 1000° leņķi... Un visiem šiem briesmīgajiem leņķiem ir savas trigonometriskās funkcijas, gan pluss, gan mīnuss...

Bet vidusskolēniem, neņemot vērā zīmi - nekādā gadījumā. Daudzas zināšanas vairo bēdas, jā...) Un par pareizais lēmums Uzdevumā jāiekļauj papildu informācija (ja nepieciešams). Piemēram, to var norādīt ar šādu ierakstu:

Vai kā citādi. Tālāk sniegtajos piemēros redzēsit.) Lai atrisinātu šādus piemērus, jums jāzina Kurā ceturksnī iekrīt dotais leņķis x un kāda zīme ir vēlamajai trigonometriskajai funkcijai šajā ceturksnī?

Šie trigonometrijas pamati tiek apskatīti nodarbībās kas ir trigonometriskais aplis, skaitot leņķus uz šī apļa, leņķa radiāna mērs. Dažreiz jums ir jāzina un sinusu tabula, pieskares kosinusu un kotangenšu tabula.

Tātad, atzīmēsim vissvarīgāko:

Praktiski padomi:

1. Atcerieties sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas. Tas būs ļoti noderīgi.

2. Mēs skaidri saprotam: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir cieši saistīti ar leņķiem. Mēs zinām vienu, tas nozīmē, ka zinām citu.

3. Mēs skaidri saprotam: viena leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir saistīti viens ar otru pēc pamata trigonometriskās identitātes. Mēs zinām vienu funkciju, kas nozīmē, ka mēs varam (ja mums ir nepieciešamā papildu informācija) aprēķināt visas pārējās.

Tagad izlemsim, kā parasti. Pirmkārt, uzdevumi 8. klases ietvaros. Bet to var izdarīt arī vidusskolēni...)

1. Aprēķiniet tgA vērtību, ja ctgA = 0,4.

2. β ir leņķis taisnleņķa trijstūrī. Atrodiet tanβ vērtību, ja sinβ = 12/13.

3. Nosakiet asā leņķa x sinusu, ja tgх = 4/3.

4. Atrodiet izteiciena nozīmi:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Atrodiet izteiciena nozīmi:

(1-cosx)(1+cosx), ja sinx = 0,3

Atbildes (atdalītas ar semikolu, nesakārtotas):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Vai notika? Lieliski! Astotās klases skolēni jau var iet, lai saņemtu savus A.)

Vai viss neizdevās? 2. un 3. uzdevums kaut kā nav īpaši labi...? Nekādu problēmu! Ir viens skaists paņēmiens šādiem uzdevumiem. Visu var atrisināt praktiski bez formulām vispār! Un tāpēc bez kļūdām. Šī tehnika nodarbībā: "Saistība starp viena leņķa trigonometriskajām funkcijām" 555.pantā aprakstīts. Tur tiek risināti arī visi pārējie uzdevumi.

Tās bija tādas problēmas kā vienotais valsts eksāmens, taču tās tika noņemtas. Vienotais valsts eksāmens - viegls). Un tagad gandrīz tie paši uzdevumi, bet pilnvērtīgā formātā. Zināšanu noslogotiem vidusskolēniem.)

6. Atrodiet tanβ vērtību, ja sinβ = 12/13, un

7. Nosakiet sinх, ja tgх = 4/3, un x pieder intervālam (- 540°; - 450°).

8. Atrodiet izteiksmes sinβ cosβ vērtību, ja ctgβ = 1.

Atbildes (nekārtīgi):

0,8; 0,5; -2,4.

Šeit 6. uzdevumā leņķis nav ļoti skaidri norādīts... Bet 8. uzdevumā tas nav norādīts vispār! Tas ir ar nolūku). Papildus informācija ne tikai ņemts no uzdevuma, bet arī no galvas.) Bet, ja izlemsi, viens pareizs uzdevums ir garantēts!

Ko darīt, ja neesat izlēmis? Hm... Nu lūk 555.pants palīdzēs. Tur visu šo uzdevumu risinājumi ir sīki aprakstīti, grūti nesaprast.

Šī nodarbība sniedz ļoti ierobežotu izpratni par trigonometriskajām funkcijām. 8. klases ietvaros. Un vecajiem vēl ir jautājumi...

Piemēram, ja leņķis X(paskaties uz otro bildi šajā lapā) - padariet to stulbu!? Trīsstūris pilnībā izjuks! Tātad, kas mums jādara? Nebūs ne kājas, ne hipotenūzas... Sinuss pazudis...

Ja senie cilvēki nebūtu atraduši izeju no šīs situācijas, mums tagad nebūtu ne mobilo telefonu, ne televizora, ne elektrības. Jā jā! Teorētiskā bāze visas šīs lietas bez trigonometriskām funkcijām ir nulle bez kociņa. Taču senie cilvēki nepievīla. Par to, kā viņi izkļuva, ir nākamajā nodarbībā.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Tiek saukta pretējās puses attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss

Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare

Tiek saukta pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trīsstūris.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss

Tiek saukta blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Patvaļīga leņķa sinuss

Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .

\sin \alpha=y

Patvaļīga leņķa kosinuss

Vienības apļa punktā, kuram atbilst leņķis \alpha, tiek izsaukta abscisa patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .

\cos \alpha=x

Patvaļīga leņķa tangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .

iedegums \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Patvaļīga leņķa kotangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs

Ja \alpha ir kāds leņķis AOM, kur M ir vienības apļa punkts, tad

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir vienāda ar -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir vienāda ar \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula

Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:

I nodaļa. Taisnīgu trīsstūru risināšana

§3 (37). Pamata attiecības un problēmas

Trigonometrija nodarbojas ar problēmām, kurās ir nepieciešams aprēķināt noteiktus trīsstūra elementus no pietiekama skaita tā doto elementu skaitlisko vērtību. Šīs problēmas parasti sauc par problēmām risinājums trīsstūris.

Lai ABC ir taisnleņķa trijstūris, C ir taisnleņķis, A Un b- kājas pretī asajiem leņķiem A un B, Ar- hipotenūza (3. att.);

tad mums ir:

Akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās malas attiecība pret hipotenūzu:

cos A = b/ c, cos V = a/ c (1)

Akūtā leņķa sinuss ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

grēks A = a/ c, grēks B = b/ c (2)

Akūtā leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi:

iedegums A = a/ b, iedegums B = b/ a (3)

Akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:

ctg A = b/ a, ctg B = a/ b (4)

Akūto leņķu summa ir 90°.

Pamatproblēmas taisnleņķa trijstūriem.

I uzdevums. Ņemot vērā hipotenūzu un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti Ar un A. Leņķis B = 90° – zināms arī A; kājas ir atrodamas no (1) un (2) formulām.

a = c sinA, b = c jo A.

II problēma . Ņemot vērā kāju un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti A un A. Leņķis B = 90° – A ir zināms; no formulas (3) un (2) mēs atrodam:

b = a iedegums B (= a ctg A), Ar = a/sinA

III uzdevums. Ņemot vērā kāju un hipotenūzu, aprēķiniet atlikušos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti A Un Ar(un A< с ). No vienādībām (2) atrodam leņķi A:

grēks A = a/ c un A = loka sin a/ c ,

un visbeidzot kāju b:

b = Ar cos A (= Ar grēks B).

IV uzdevums. Dotas malas a un b, atrodiet pārējos elementus.

Risinājums. No vienādībām (3) atrodam akūtu leņķi, piemēram, A:

tg A = a/ b, A = loka tg a/ b ,

leņķis B = 90° - A,

hipotenūza: c = a/ grēks A (= b/sinB; = a/cos B)

Zemāk ir piemērs taisnleņķa trijstūra atrisināšanai, izmantojot logaritmiskās tabulas*.

* Taisnleņķa trijstūra elementu aprēķins, izmantojot naturālās tabulas, ir zināms no VIII klases ģeometrijas kursa.

Veicot aprēķinu, izmantojot logaritmiskās tabulas, jāizraksta atbilstošās formulas, jāprologaritē tās, jāaizstāj skaitliskie dati, jāizmanto tabulas, lai atrastu nepieciešamos zināmo elementu logaritmus (vai to trigonometriskās funkcijas), aprēķinātu nepieciešamo elementu logaritmus (vai to trigonometriskos). funkcijas) un izmantojiet tabulas, lai atrastu nepieciešamos elementus.

Piemērs. Kājas tiek dotas A= 166,1 un hipotenūza Ar= 187,3; aprēķināt akūtos leņķus, otru malu un laukumu.

Risinājums. Mums ir:

grēks A = a/ c; log sin A = log a-lg c;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

Kājas aprēķināšana b:

b = a iedegums B ; lg b= baļķis b+ log tan B ;

Trijstūra laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu

S = 1/2 ab = 0,5 a 2 tg V;

Lai kontrolētu, aprēķināsim leņķi A slaida kārtulā:

A = loka grēks a/ c= loka sin 166 / 187 ≈ 62°.

Piezīme. Kāja b var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu, izmantojot kvadrātu un kvadrātsakņu tabulas (III un IV tabula):

b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Neatbilstība iepriekš iegūtajai vērtībai b= 86.48 ir izskaidrojams ar tabulu kļūdām, kas dod aptuvenas funkciju vērtības. Rezultāts 86,54 ir precīzāks.