Lai ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica
Tiek izsaukta matrica A -1 apgrieztā matrica attiecībā pret matricu A, ja A*A -1 = E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica.
Identitātes matrica- tāda kvadrātveida matrica, kurā visi elementi atrodas gar galveno diagonāli, kas iet no kreisās puses augšējais stūris apakšējā labajā stūrī ir vieninieki, bet pārējie ir nulles, piemēram:
apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām tie. tām matricām, kurās rindu un kolonnu skaits sakrīt.
Teorēma apgrieztas matricas pastāvēšanas nosacījumam
Lai matricai būtu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā nebūtu vienskaitlī.
Tiek izsaukta matrica A = (A1, A2,...A n). nav deģenerēts, ja kolonnu vektori ir lineāri neatkarīgi. Matricas lineāri neatkarīgo kolonnu vektoru skaitu sauc par matricas rangu. Tāpēc mēs varam teikt, ka, lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai matricas rangs būtu vienāds ar tās dimensiju, t.i. r = n.
Algoritms apgrieztās matricas atrašanai
- Tabulā ierakstiet matricu A vienādojumu sistēmu atrisināšanai pēc Gausa metodes un piešķiriet tai matricu E labajā pusē (vienādojumu labās puses vietā).
- Izmantojot Jordan transformācijas, reducēt matricu A līdz matricai, kas sastāv no vienību kolonnām; šajā gadījumā ir nepieciešams vienlaicīgi pārveidot matricu E.
- Ja nepieciešams, pārkārtojiet pēdējās tabulas rindas (vienādojumus), lai zem sākotnējās tabulas matricas A iegūtu identitātes matricu E.
- Pierakstiet apgriezto matricu A -1, kas atrodas pēdējā tabulā zem sākotnējās tabulas matricas E.
Matricai A atrodiet apgriezto matricu A -1
Risinājums: Rakstām matricu A un pa labi piešķiram identitātes matricu E. Izmantojot Jordan transformācijas, reducējam matricu A līdz identitātes matricai E. Aprēķini doti 31.1. tabulā.
Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu A un apgriezto matricu A -1.
Matricas reizināšanas rezultātā tika iegūta identitātes matrica. Tāpēc aprēķini tika veikti pareizi.
Atbilde: 
Matricu vienādojumu risināšana
Matricas vienādojumi var izskatīties šādi:
AX = B, HA = B, AXB = C,
kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica.
Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.
Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē.
Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē.
Citi vienādojumi tiek atrisināti līdzīgi.
Atrisiniet vienādojumu AX = B, ja 
Risinājums: Tā kā apgrieztā matrica ir vienāda ar (skat. 1. piemēru)
Matricas metode ekonomiskajā analīzē
Kopā ar citiem tiek izmantoti arī tie matricas metodes. Šīs metodes ir balstītas uz lineāro un vektormatricas algebru. Šādas metodes tiek izmantotas, lai analizētu sarežģītas un daudzdimensionālas ekonomikas parādības. Visbiežāk šīs metodes tiek izmantotas, ja nepieciešams veikt organizāciju un to struktūrvienību darbības salīdzinošo novērtējumu.
Matricas analīzes metožu pielietošanas procesā var izdalīt vairākus posmus.
Pirmajā posmā sistēma veidojas ekonomiskie rādītāji un uz tās pamata tiek sastādīta avota datu matrica, kas ir tabula, kurā sistēmas numuri tiek parādīti atsevišķās rindās (i = 1,2,....,n), un vertikālajās kolonnās - rādītāju numuri (j = 1,2,....,m).
Otrajā posmā Katrai vertikālajai kolonnai tiek identificēta lielākā no pieejamajām indikatora vērtībām, kas tiek uzskatīta par vienu.
Pēc tam visas šajā slejā atspoguļotās summas tiek dalītas ar augstākā vērtība un veidojas standartizēto koeficientu matrica.
Trešajā posmā visas matricas sastāvdaļas ir kvadrātā. Ja tiem ir atšķirīga nozīme, tad katram matricas indikatoram tiek piešķirts noteikts svara koeficients k. Pēdējās vērtību nosaka ekspertu atzinums.
Pēdējā, ceturtais posms atrastas vērtējuma vērtības R j ir sagrupēti to pieauguma vai samazinājuma secībā.
Izklāstītās matricas metodes jāizmanto, piemēram, dažādu salīdzinošā analīzē investīciju projektiem, kā arī vērtējot citus organizāciju ekonomiskos rādītājus.
Pēc Krāmera formulām;
Gausa metode;
Risinājums: Kronekera-Kapella teorēma. Sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja šīs sistēmas matricas rangs ir vienāds ar tās paplašinātās matricas rangu, t.i. r(A)=r(A 1), Kur
Sistēmas paplašinātā matrica izskatās šādi:
Reiziniet pirmo rindu ar ( –3 ), bet otrais uz ( 2 ); Pēc tam pievienojiet pirmās rindas elementus atbilstošajiem otrās rindas elementiem; atņemiet trešo no otrās rindas. Iegūtajā matricā pirmo rindu atstājam nemainīgu.
6 ) un samainiet otro un trešo rindu:
Reiziniet otro rindu ar ( –11 ) un pievienojiet atbilstošajiem trešās rindas elementiem.
Sadaliet trešās rindas elementus ar ( 10 ).
Atradīsim matricas determinantu A.
Tāpēc r(A)=3 . Paplašināts Matricas rangs r(A 1) arī ir vienāds 3 , t.i.
r(A)=r(A 1)=3 Þ Sistēma ir kooperatīva.
1) Pārbaudot sistēmas konsekvenci, paplašinātā matrica tika pārveidota, izmantojot Gausa metodi.
Gausa metode ir šāda:
1. Matricas samazināšana līdz trīsstūrveida formai, t.i., zem galvenās diagonāles jābūt nullēm (tieša kustība).
2. No pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3 un aizstāt to ar otro, mēs atklājam x 2, un zinot x 3, x 2 mēs tos aizvietojam pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x 1(reverss).
Uzrakstīsim Gausa pārveidoto paplašināto matricu
trīs vienādojumu sistēmas veidā:
Þ x 3 =1
x 2 = x 3Þ x 3 =1
2x1 =4+x2+x3Þ 2x 1 = 4+1+1Þ
Þ 2x1 =6 Þ x 1 =3
.
2) Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas: ja vienādojumu sistēmas determinants Δ atšķiras no nulles, tad sistēmai ir unikāls risinājums, kas tiek atrasts, izmantojot formulas
Aprēķināsim sistēmas determinantu Δ:
Jo Ja sistēmas determinants atšķiras no nulles, tad saskaņā ar Krāmera likumu sistēmai ir unikāls risinājums. Aprēķināsim determinantus Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Tos iegūst no sistēmas determinanta Δ, aizstājot atbilstošo kolonnu ar brīvo koeficientu kolonnu.
Mēs atrodam nezināmos, izmantojot formulas:
Atbilde: x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 1 .
3) Atrisināsim sistēmu, izmantojot matricas aprēķinus, t.i., izmantojot apgriezto matricu.
A × X = B Þ X=A -1 × B, Kur A -1– apgrieztā matrica uz A,
Brīvo dalībnieku kolonna,
Matrica-nezināmo kolonna.
Apgrieztā matrica tiek aprēķināta, izmantojot formulu:
Kur D- matricas determinants A, A ij– elementa a algebriskie papildinājumi ij matricas A. D= 60 (no iepriekšējās rindkopas). Determinants nav nulle, tāpēc matrica A ir invertējama, un tās inverso matricu var atrast, izmantojot formulu (*). Atradīsim algebriskos papildinājumus visiem matricas A elementiem, izmantojot formulu:
Un ij =(-1 )i+j M ij .
x 1, x 2, x 3 katru vienādojumu pārvērta par identitāti, tad tie tika atrasti pareizi.
6. piemērs. Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gausa metodi, un atrodiet jebkurus divus sistēmas pamatrisinājumus.
Sistēma m lineārie vienādojumi ar n nezināmajiem sauc par formu sistēmu
Kur a ij Un b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ir daži zināmi skaitļi un x 1,…,x n- nezināms. Koeficientu apzīmējumā a ij pirmais indekss i apzīmē vienādojuma numuru un otro j– nezināmā skaitlis, pie kura atrodas šis koeficients.
Koeficientus nezināmajiem rakstīsim matricas veidā 
, ko mēs sauksim sistēmas matrica.
Skaitļi vienādojumu labajā pusē ir b 1 ,…, b m tiek saukti bezmaksas dalībnieki.
Kopums n cipariem c 1,…,c n sauca lēmumu dotās sistēmas, ja katrs sistēmas vienādojums kļūst par vienādību pēc skaitļu aizstāšanas tajā c 1,…,c n atbilstošo nezināmo vietā x 1,…,x n.
Mūsu uzdevums būs rast risinājumus sistēmai. Šajā gadījumā var rasties trīs situācijas:
Tiek saukta lineāro vienādojumu sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Citādi, t.i. ja sistēmai nav risinājumu, tad to sauc nav locītavu.
Apsvērsim veidus, kā rast risinājumus sistēmai.
MATRIKSAS METODE LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMU RISINĀŠANAI
Matricas ļauj īsi pierakstīt lineāro vienādojumu sistēmu. Dota 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem:
Apsveriet sistēmas matricu 
un matricu kolonnas ar nezināmiem un brīviem terminiem 
Atradīsim darbu
tie. reizinājuma rezultātā iegūstam šīs sistēmas vienādojumu kreisās puses. Tad, izmantojot matricas vienlīdzības definīciju, šo sistēmu var ierakstīt formā
vai īsāks A∙X=B.
Šeit ir matricas A Un B ir zināmi, un matrica X nezināms. Tas ir jāatrod, jo... tās elementi ir šīs sistēmas risinājums. Šo vienādojumu sauc matricas vienādojums.
Lai matricas determinants atšķiras no nulles | A| ≠ 0. Tad matricas vienādojumu atrisina šādi. Reiziniet abas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu A-1, matricas apgrieztā vērtība A: . Tāpēc ka A -1 A = E Un E∙X = X, tad matricas vienādojuma atrisinājumu iegūstam formā X = A -1 B .
Ņemiet vērā, ka, tā kā apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricām, matricas metode var atrisināt tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu. Taču sistēmas matricas ierakstīšana iespējama arī gadījumā, ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu, tad matrica A nebūs kvadrātveida un tāpēc nav iespējams atrast sistēmas risinājumu formā X = A -1 B.
Piemēri. Atrisināt vienādojumu sistēmas.
KREIMERA NOTEIKUMI
Apsveriet 3 lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:
Trešās kārtas determinants, kas atbilst sistēmas matricai, t.i. sastāv no nezināmo faktoru koeficientiem,
sauca sistēmas noteicējs.
Sastādīsim vēl trīs determinantus šādi: secīgi aizstājam 1, 2 un 3 kolonnas determinantā D ar brīvu terminu kolonnu.
Tad mēs varam pierādīt šādu rezultātu.
Teorēma (Kremera noteikums). Ja sistēmas determinants Δ ≠ 0, tad aplūkotajai sistēmai ir viens un tikai viens risinājums, un
Pierādījums. Tātad, aplūkosim 3 vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem. Sareizināsim sistēmas 1. vienādojumu ar algebrisko komplementu A 11 elements a 11, 2. vienādojums – ieslēgts A 21 un 3. – uz A 31:
Pievienosim šos vienādojumus:
Apskatīsim katru no iekavām un šī vienādojuma labo pusi. Pēc teorēmas par determinanta paplašināšanu 1. kolonnas elementos
Līdzīgi var parādīt, ka un .
Visbeidzot, to ir viegli pamanīt 
Tādējādi mēs iegūstam vienādību: .
Līdz ar to,.
Vienādības un tiek atvasinātas līdzīgi, no kā izriet teorēmas apgalvojums.
Tādējādi mēs atzīmējam, ka, ja sistēmas determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums un otrādi. Ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tad sistēmai vai nu ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, vai arī atrisinājumu nav, t.i. nesaderīgi.
Piemēri. Atrisināt vienādojumu sistēmu
GAUSA METODE
Iepriekš apskatītās metodes var izmantot, lai atrisinātu tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu, un sistēmas determinantam ir jāatšķiras no nulles. Gausa metode ir universālāka un piemērota sistēmām ar jebkādu vienādojumu skaitu. Tas sastāv no nezināmo konsekventas izslēgšanas no sistēmas vienādojumiem.
Vēlreiz apsveriet trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:
.
Mēs atstāsim pirmo vienādojumu nemainītu, un no 2. un 3. izslēgsim terminus, kas satur x 1. Lai to izdarītu, sadaliet otro vienādojumu ar A 21 un reizināt ar – A 11, un pēc tam pievienojiet to 1. vienādojumam. Līdzīgi mēs dalām trešo vienādojumu ar A 31 un reizināt ar – A 11, un pēc tam pievienojiet to pirmajam. Tā rezultātā sākotnējā sistēma būs šāda:
Tagad no pēdējā vienādojuma mēs izslēdzam terminu, kas satur x 2. Lai to izdarītu, sadaliet trešo vienādojumu ar, reiziniet ar un pievienojiet ar otro. Tad mums būs vienādojumu sistēma:
No šejienes, no pēdējā vienādojuma, to ir viegli atrast x 3, tad no 2. vienādojuma x 2 un visbeidzot, no 1. x 1.
Izmantojot Gausa metodi, vienādojumus var apmainīt, ja nepieciešams.
Bieži tā vietā, lai rakstītu jauna sistēma vienādojumi aprobežojas ar sistēmas paplašinātās matricas izrakstīšanu:
un pēc tam izveidojiet to trīsstūrveida vai diagonālā formā, izmantojot elementāras pārvērtības.
UZ elementāras pārvērtības matricas ietver šādas transformācijas:
- rindu vai kolonnu pārkārtošana;
- virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;
- pievienojot vienai rindai citas rindas.
Piemēri: Atrisiniet vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi.
Tādējādi sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.
Dosim mums lineāro vienādojumu sistēmu ar 
nezināms:
Mēs pieņemsim, ka galvenā matrica 
nav deģenerēts. Tad saskaņā ar 3.1. teorēmu pastāv apgrieztā matrica 
Matricas vienādojuma reizināšana 
uz matricu 
kreisajā pusē, izmantojot 3.2. definīciju, kā arī 1.1. teorēmas 8) apgalvojumu, iegūstam formulu, uz kuras balstās matricas metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai:
komentēt. Ņemiet vērā, ka matricas metodei lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai, atšķirībā no Gausa metodes, ir ierobežots pielietojums: šī metode var atrisināt tikai lineāro vienādojumu sistēmas, kurās, pirmkārt, nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu, un otrkārt, galvenā matrica nav vienskaitlī.
Piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot matricas metodi.
Ir dota trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem 
Kur
Vienādojumu sistēmas galvenā matrica nav vienskaitlī, jo tās determinants nav nulle:
Apgrieztā matrica 
Sastādīsim, izmantojot kādu no 3. punktā aprakstītajām metodēm.
Pēc formulas matricas metode iegūstam lineāro vienādojumu sistēmu risinājumus
5.3. Krāmera metode
Šī metode, tāpat kā matricas metode, ir piemērojama tikai lineāro vienādojumu sistēmām, kurās nezināmo skaits sakrīt ar vienādojumu skaitu. Krāmera metode balstās uz tāda paša nosaukuma teorēmu:
Teorēma 5.2.
Sistēma 
lineāri vienādojumi ar 
nezināms
kuras galvenā matrica nav vienskaitlī, ir unikāls risinājums, ko var iegūt, izmantojot formulas
Kur 
no bāzes matricas atvasinātās matricas determinants 
vienādojumu sistēmu, to aizstājot 
kolonna ar brīvo dalībnieku kolonnu.
Piemērs.
Atradīsim iepriekšējā piemērā aplūkotās lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu, izmantojot Krāmera metodi. Vienādojumu sistēmas galvenā matrica ir nedeģenerēta, jo 
Aprēķināsim determinantus 
Izmantojot 5.2. teorēmā sniegtās formulas, mēs aprēķinām nezināmo vērtības:
6. Lineāro vienādojumu sistēmu izpēte.
Pamata risinājums
Pētīt lineāro vienādojumu sistēmu nozīmē noteikt, vai šī sistēma ir savietojama vai nesavietojama, un, ja tā ir savietojama, noskaidrot, vai šī sistēma ir noteikta vai nenoteikta.
Lineāro vienādojumu sistēmas saderības nosacījums ir dots ar šādu teorēmu
Teorēma 6.1 (Kronecker–Capelli).
Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar tās paplašinātās matricas rangu:
Vienlaicīgai lineāro vienādojumu sistēmai jautājums par tās noteiktību vai nenoteiktību tiek atrisināts, izmantojot šādas teorēmas.
Teorēma 6.2. Ja apvienotās sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu, tad sistēma ir noteikta
Teorēma 6.3. Ja apvienotās sistēmas galvenās matricas rangs ir mazāks par nezināmo skaitu, tad sistēma ir nenoteikta.
Tādējādi no formulētajām teorēmām izriet metode lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu izpētei. Ļaujiet n- nezināmo skaits, 
Pēc tam:
Definīcija 6.1. Nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas pamatrisinājums ir risinājums, kurā visi brīvie nezināmie ir vienādi ar nulli.
Piemērs. Izpētiet lineāro vienādojumu sistēmu. Ja sistēma ir neskaidra, atrodiet tās pamata risinājumu.
Aprēķināsim galveno ierindas 
un paplašinātās matricas 
šīs vienādojumu sistēmas, kurai sistēmas paplašināto (un tajā pašā laikā galveno) matricu pārnesam pakāpeniskā formā:
Pievienojiet matricas otro rindu tās pirmajai rindai, reizinot ar 
trešā rinda - ar pirmo rindu reizinot ar 
un ceturtā rinda - ar pirmo, reizināts ar 
mēs iegūstam matricu
Šīs matricas trešajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar 
un uz ceturto rindu – pirmo, reizinot ar 
Rezultātā mēs iegūstam matricu
noņemot trešo un ceturto rindu, no kurām iegūstam soļu matricu
Tādējādi 
Līdz ar to šī lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa, un, tā kā ranga vērtība ir mazāka par nezināmo skaitu, sistēma ir neskaidra.Elementāro pārveidojumu rezultātā iegūtā soļu matrica atbilst vienādojumu sistēmai
Nezināms 
Un 
ir galvenie un nezināmie 
Un 
bezmaksas. Piešķirot nulles vērtības brīvajiem nezināmajiem, mēs iegūstam šīs lineāro vienādojumu sistēmas pamata risinājumu.
Apsvērsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēma(SLAU) relatīvi n nezināms x 1 , x 2 , ..., x n :
Šo sistēmu “sakļautā” formā var uzrakstīt šādi:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Atbilstoši matricas reizināšanas likumam apskatāmo lineāro vienādojumu sistēmu var ierakstīt matricas forma Ax=b, Kur
Matrica A, kuras kolonnas ir koeficienti attiecīgajiem nezināmajiem, bet rindas ir koeficienti nezināmajiem attiecīgajā vienādojumā tiek saukti sistēmas matrica. Kolonnu matrica b, kuras elementi ir sistēmas vienādojumu labās puses, sauc par labās puses matricu jeb vienkārši sistēmas labajā pusē. Kolonnu matrica x , kuras elementi ir nezināmie nezināmie, sauc sistēmas risinājums.
Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma, kas uzrakstīta formā Ax=b, ir matricas vienādojums.
Ja sistēmas matrica nav deģenerēts, tad tai ir apgrieztā matrica un tad sistēmas risinājums ir Ax=b tiek dota pēc formulas:
x=A -1 b.
Piemērs Atrisiniet sistēmu 
matricas metode.
Risinājums atradīsim sistēmas koeficientu matricas apgriezto matricu
Aprēķināsim determinantu, izvēršot pa pirmo rindiņu:
Tāpēc ka Δ ≠ 0 , Tas A -1 pastāv.
Apgrieztā matrica tika atrasta pareizi.
Meklēsim risinājumu sistēmai 
Tāpēc x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pārbaude: 
7. Kronecker-Capelli teorēma par lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas savietojamību.
Lineāro vienādojumu sistēma ir šāda forma:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1.)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Šeit ir doti a i j un b i (i = ; j = ), un x j ir nezināmi reāli skaitļi. Izmantojot matricu reizinājuma jēdzienu, sistēmu (5.1) varam pārrakstīt šādā formā:
kur A = (a i j) ir matrica, kas sastāv no koeficientiem sistēmas (5.1) nezināmajiem, ko sauc sistēmas matrica, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ir kolonnu vektori, kas sastāv attiecīgi no nezināmajiem x j un brīvajiem terminiem b i .
Pasūtīta kolekcija n tiek izsaukti reālie skaitļi (c 1, c 2,..., c n). sistēmas risinājums(5.1), ja šo skaitļu aizvietošanas rezultātā atbilstošo mainīgo x 1, x 2,..., x n vietā katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par aritmētisko identitāti; citiem vārdiem sakot, ja ir vektors C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tāds, ka AC B.
Tiek izsaukta sistēma (5.1). locītava, vai atrisināms, ja tam ir vismaz viens risinājums. Sistēmu sauc nesaderīgs, vai neatrisināms, ja tam nav risinājumu.
,
kas izveidota, piešķirot brīvo terminu kolonnu matricai A labajā pusē tiek izsaukta sistēmas paplašinātā matrica.
Sistēmas (5.1) saderības jautājums tiek atrisināts ar sekojošu teorēmu.
Kronekera-Kapella teorēma . Lineāro vienādojumu sistēma ir konsekventa tad un tikai tad, ja matricu A unA rindas sakrīt, t.i. r(A) = r(A) = r.
Sistēmas (5.1) risinājumu kopai M ir trīs iespējas:
1) M = (šajā gadījumā sistēma ir nekonsekventa);
2) M sastāv no viena elementa, t.i. sistēmai ir unikāls risinājums (šajā gadījumā sistēmu sauc noteikti);
3) M sastāv no vairāk nekā viena elementa (tad sistēma tiek izsaukta nenoteikts). Trešajā gadījumā sistēmai (5.1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
Sistēmai ir unikāls risinājums tikai tad, ja r(A) = n. Šajā gadījumā vienādojumu skaits nav mazāks par nezināmo skaitu (mn); ja m>n, tad m-n vienādojumi ir citu sekas. Ja 0 Lai atrisinātu patvaļīgu lineāro vienādojumu sistēmu, ir jāspēj atrisināt sistēmas, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo - t.s. Cramer tipa sistēmas: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3.) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistēmas (5.3.) risina kādā no šādiem veidiem: 1) Gausa metode jeb nezināmo likvidēšanas metode; 2) pēc Krāmera formulām; 3) matricas metode. Piemērs 2.12. Izpētiet vienādojumu sistēmu un atrisiniet to, ja tā ir konsekventa: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Risinājums. Mēs izrakstām sistēmas paplašināto matricu:
Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas rangu. Ir skaidrs, ka, piemēram, otrās kārtas minors augšējā kreisajā stūrī = 7 0; trešās kārtas nepilngadīgie, kas to satur, ir vienādi ar nulli: Līdz ar to sistēmas galvenās matricas rangs ir 2, t.i. r(A) = 2. Lai aprēķinātu paplašinātās matricas A rangu, apsveriet robežojošo minoru tas nozīmē, ka paplašinātās matricas rangs r(A) = 3. Tā kā r(A) r(A), sistēma ir nekonsekventa.
.
