Piramīdas laukums un tilpums. Piramīda. Piramīdas formulas un īpašības. Piramīdas un cilindra attiecības

Piramīda sauc par daudzskaldni, kura pamats ir patvaļīgs daudzstūris, un visas skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni, kas ir piramīdas virsotne.

Piramīda ir trīsdimensiju figūra. Tāpēc diezgan bieži ir jāatrod ne tikai tā platība, bet arī apjoms. Piramīdas tilpuma formula ir ļoti vienkārša:

kur S ir pamatnes laukums un h ir piramīdas augstums.

Augstums piramīdu sauc par taisnu līniju, kas taisnā leņķī nolaižas no tās augšas līdz pamatnei. Attiecīgi, lai atrastu piramīdas tilpumu, ir jānosaka, kurš daudzstūris atrodas pie pamatnes, jāaprēķina tā laukums, jānoskaidro piramīdas augstums un jāatrod tā tilpums. Apskatīsim piemēru piramīdas tilpuma aprēķināšanai.

Problēma: dota regulāra četrstūra piramīda.

Pamatnes malas ir a = 3 cm, visas sānu malas ir b = 4 cm. Atrodiet piramīdas tilpumu.
Pirmkārt, atcerieties, ka, lai aprēķinātu tilpumu, jums būs nepieciešams piramīdas augstums. Mēs to varam atrast, izmantojot Pitagora teorēmu. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams diagonāles garums vai, drīzāk, puse no tā. Tad zinot divas puses taisnleņķa trīsstūris, mēs varam atrast augstumu. Vispirms atrodiet diagonāli:

Aizstāsim vērtības formulā:


Mēs atrodam augstumu h, izmantojot d un malu b:


Tagad atradīsim

Piramīdas definīcija

Piramīda ir daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris un tā skaldnes ir trīsstūri.

Tiešsaistes kalkulators

Piramīdai ir ribas. Mēs varam teikt, ka viņi ir piesaistīti punktam, ko sauc augšā no šīs piramīdas. Viņa pamata var būt patvaļīgs daudzstūris. Mala- šī ir figūra, kas veidojas, apvienojot divas tuvākās malas ar pamatnes sānu malu. Piramīdas seja ir trīsstūris. Attālumu no piramīdas virsotnes līdz pamatnes malas vidum sauc apotēms. Augstums piramīdas ir perpendikula garums, kas novilkts no augšas līdz tā pamatnes centram.

Piramīdu veidi

Izšķir šādus piramīdu veidus.

1. Taisnstūrveida- tā mala veido 90 grādu leņķi ar pamatni.
2. Pareizi- tā pamatne ir kāds regulārs daudzstūris, un virsotne tiek projicēta šīs bāzes centrā.
3. Tetraedrs- piramīda ar trīsstūri tās pamatnē.

Piramīdas tilpuma formulas

Piramīdas tilpums ir atrodams vairākos veidos.

Pamatojoties uz piramīdas pamatplatību un augstumu

Vienkārši reizinot vienu trešdaļu no pamatnes laukuma ar piramīdas augstumu, tiek iegūts tās tilpums.

V = 1 3 ⋅ S galvenais ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(pamata))\cdot hV=3 1 ​ ⋅ S pamata​ ⋅ h

S galvenais S_(\text(pamata)) S pamata​ - piramīdas pamatnes laukums;
h h h- šīs piramīdas augstums.

Piramīdas pamatnes laukums ir 100 cm 2 100\teksts( cm)^2 1 0 0 cm2 , un tā augstums ir vienāds 30 cm 30\teksts(cm) 3 0 cm. Atrodiet ķermeņa tilpumu.

Risinājums

S galvenais = 100 S_(\text(pamata)) = 100S pamata​ = 1 0 0
h = 30 h = 30 h =3 0

Mēs zinām visus daudzumus, aizstājam to skaitliskās vērtības formulā un atrodam:

V = 1 3 ⋅ S galvenais ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(pamata))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\text(cm)^3V=3 1 ​ ⋅ S pamata​ ⋅ h =3 1 ​ ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 cm3

Atbilde

1000 cm 3. 1000\teksts(cm)^3.1 0 0 0 cm3 .

Regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpuma formula

Šī metode ir piemērota, ja piramīda ir regulāra un trīsstūrveida.

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V=4 3 ​ h⋅ a 2 ​

H h h- piramīdas augstums;
a a a

Aprēķiniet regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpumu, ja tās pamatnē ir vienādmalu trīsstūris, kura mala ir vienāda ar 5 cm 5\teksts(cm) 5 cm, un piramīdas augstums ir - 19 cm 19\teksts(cm) 1 9 cm.

Risinājums

A = 5 a = 5 a =5
h = 19 h = 19 h =1 9

Mēs vienkārši aizstājam šīs vērtības tilpuma formulā:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))=\frac(19\cdot 5^2) (4\sqrt(3))\aptuveni 68,6\teksts( cm)^3V=4 3 ​ h⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ 1 9 ⋅ 5 2 ​ ≈ 6 8 . 6 cm3

Atbilde

68,6 cm3. 68,6\teksts( cm)^3.6 8 . 6 cm3 .

Regulāras četrstūra piramīdas tilpuma formula

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V=3 1 ​ ⋅ h⋅a 2

H h h- piramīdas augstums;
a a a- piramīdas pamatnes puse.

Dota regulāra četrstūra piramīda. Aprēķiniet tā tilpumu, ja tā augstums ir 7 cm 7\teksts(cm) 7 cm, un pamatnes puse ir – 2 cm 2\teksts(cm) 2 cm.

Risinājums

A = 2 a = 2 a =2
h = 7 h = 7 h =7

Izmantojot formulu, mēs aprēķinām:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\apmēram 9,3\teksts( cm)^3V=3 1 ​ ⋅ h⋅a 2 = 3 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 cm3

Atbilde

9,3 cm3. 9,3\teksts(cm)^3.9 . 3 cm3 .

Tetraedra tilpuma formula

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V=1 2 2 ​ ⋅ a 3 ​

A a a- tetraedra malas garums.

Tetraedra malas garums ir 13 cm 13\teksts(cm) 1 3 cm. Atrodiet tā apjomu.

Risinājums

A = 13 a = 13 a =1 3

Aizstāsim a a a tetraedra tilpuma formulā:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)=\frac(\sqrt(2)\cdot 13^ 3)(12)\aptuveni 259\teksts( cm)^3V=1 2 2 ​ ⋅ a 3 ​ = 1 2 2 ​ ⋅ 1 3 3 ​ ≈ 2 5 9 cm3

Atbilde

$259\text{cm3 .}$

Formula piramīdas tilpumam kā determinantam

Iespējams, eksotiskākais veids, kā aprēķināt konkrētā ķermeņa tilpumu.

Lai ir doti vektori, uz kuriem piramīda ir uzbūvēta kā malas. Tad tā tilpums būs vienāds ar vienu sesto daļu no vektoru jauktā reizinājuma. Pēdējais savukārt ir vienāds ar determinantu, ko veido šo vektoru koordinātas. Tātad, ja piramīda ir veidota uz trim vektoriem:

a ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a = (ax​ , ay​ , az​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b = (bx​ , by​ , bz​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c = (cx​ , cy​ , cz​ ) ,

tad atbilstošās piramīdas tilpums ir šāds determinants:

$V=61\cdot |$

Atrodiet piramīdas tilpumu caur vektoru jaukto reizinājumu, kuru koordinātas ir šādas: a = (2 , 3 , 5 ) , b = (1 , 4 , 4 ) , c = (3 , 5 , 7 ) .

Risinājums

$a=(2,3,5)b\; ⃗\; =\; (1\; ,\; 4\; ,\; 4)\; \backslash vec(b)=(1,4,4)b=(1,4,4)c\; ⃗\; =\; (3,\; 5,\; 7)\; \backslash vec(c)=(3,5,7)c=(3,5,7)$

Pēc formulas:

$V=61\cdot |$

Mums jāņem šī skaitļa modulis, jo apjoms ir nenegatīvs lielums:

$V=0.7\text{cm3}$

Atbilde

$0.7\text{cm3 .}$

Galvenā īpašība jebkuram ģeometriskā figūra telpā ir tā apjoms. Šajā rakstā mēs apskatīsim, kas ir piramīda ar trīsstūri pie pamatnes, kā arī parādīsim, kā atrast trīsstūrveida piramīdas tilpumu - regulāru pilnu un nogrieztu.

Kas tā ir - trīsstūrveida piramīda?

Ikviens ir dzirdējis par seno ēģiptiešu piramīdām, taču tās ir regulāras četrstūrainas, nevis trīsstūrveida. Paskaidrosim, kā iegūt trīsstūrveida piramīdu.

Paņemsim patvaļīgu trīsstūri un savienosim visas tā virsotnes ar kādu atsevišķu punktu, kas atrodas ārpus šī trijstūra plaknes. Iegūto figūru sauks par trīsstūrveida piramīdu. Tas ir parādīts zemāk esošajā attēlā.

Kā redzat, attiecīgo figūru veido četri trīsstūri, kas kopumā ir atšķirīgi. Katrs trīsstūris ir piramīdas malas vai tās seja. Šo piramīdu bieži sauc par tetraedru, tas ir, tetraedrisku trīsdimensiju figūru.

Papildus malām piramīdai ir arī malas (tās ir 6) un virsotnes (no 4).

ar trīsstūrveida pamatni

Figūra, kas iegūta, izmantojot patvaļīgu trīsstūri un telpas punktu, vispārīgā gadījumā būs neregulāra slīpa piramīda. Tagad iedomājieties, ka sākotnējam trīsstūrim ir identiskas malas un telpas punkts atrodas tieši virs tā ģeometriskā centra attālumā h no trijstūra plaknes. Piramīda, kas uzbūvēta, izmantojot šos sākotnējos datus, būs pareiza.

Acīmredzot regulāras trīsstūrveida piramīdas malu, malu un virsotņu skaits būs tāds pats kā piramīdai, kas veidota no patvaļīga trīsstūra.

Tomēr pareizajam skaitlim ir daži raksturīgās iezīmes:

• tā augstums, kas novilkts no virsotnes, precīzi krustos pamatni ģeometriskajā centrā (vidējo krustošanās punktā);
• šādas piramīdas sānu virsmu veido trīs vienādi trīsstūri, kas ir vienādsānu vai vienādmalu.

Regulāra trīsstūrveida piramīda ir ne tikai tīri teorētisks ģeometrisks objekts. Dažām struktūrām dabā ir sava forma, piemēram, dimanta kristāla režģis, kur oglekļa atoms ir savienots ar četriem no tiem pašiem atomiem ar kovalentām saitēm, vai metāna molekula, kur piramīdas virsotnes veido ūdeņraža atomi.

trīsstūrveida piramīda

Jūs varat noteikt absolūti jebkuras piramīdas tilpumu ar patvaļīgu n-stūri pie pamatnes, izmantojot šādu izteiksmi:

Šeit simbols S o apzīmē pamatnes laukumu, h ir figūras augstums, kas novilkta līdz marķētajai pamatnei no piramīdas augšas.

Tā kā patvaļīga trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas garuma a un apotēmas h a reizinājuma, kas nomests uz šo pusi, trīsstūrveida piramīdas tilpuma formulu var uzrakstīt šādā formā:

V = 1/6 × a × h a × h

Vispārīgajam tipam augstuma noteikšana nav viegls uzdevums. Lai to atrisinātu, vienkāršākais veids ir izmantot formulu attālumam starp punktu (virsotni) un plakni (trijstūra bāzi), ko attēlo vispārīgs vienādojums.

Pareizajam tam ir īpašs izskats. Pamatnes laukums (vienādmalu trīsstūra) tam ir vienāds ar:

Aizstājot to vispārējā izteiksmē V, mēs iegūstam:

V = √3/12 × a 2 × h

Īpašs gadījums ir situācija, kad visas tetraedra malas izrādās identiski vienādmalu trīsstūri. Šajā gadījumā tā tilpumu var noteikt, tikai pamatojoties uz zināšanām par tā malas parametru a. Atbilstošā izteiksme izskatās šādi:

Nocirsta piramīda

Ja augšējā daļa, kas satur virsotni, kas nogriezta no regulāras trīsstūrveida piramīdas, jūs iegūstat nošķeltu figūru. Atšķirībā no sākotnējās, tas sastāvēs no divām vienādmalu trīsstūrveida pamatnēm un trim vienādsānu trapecām.

Zemāk esošajā fotoattēlā ir parādīts, kā izskatās parasta nogriezta trīsstūrveida piramīda, kas izgatavota no papīra.

Lai noteiktu nošķeltas trīsstūrveida piramīdas tilpumu, jums jāzina tās trīs lineārie raksturlielumi: katra no pamatnes malām un figūras augstums, kas vienāds ar attālumu starp augšējo un apakšējo pamatni. Atbilstošā apjoma formula ir uzrakstīta šādi:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Šeit h ir figūras augstums, A un a ir attiecīgi lielā (apakšējā) un mazā (augšējā) vienādmalu trijstūra malu garumi.

Problēmas risinājums

Lai lasītājam rakstā sniegtā informācija būtu skaidrāka, mēs ar skaidru piemēru parādīsim, kā izmantot dažas rakstītās formulas.

Lai trīsstūrveida piramīdas tilpums būtu 15 cm 3 . Ir zināms, ka skaitlis ir pareizs. Nepieciešams atrast sānmalas apotēmu a b, ja zināms, ka piramīdas augstums ir 4 cm.

Tā kā ir zināms figūras tilpums un augstums, varat izmantot atbilstošo formulu, lai aprēķinātu tās pamatnes malas garumu. Mums ir:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Aprēķinātais figūras apotēmas garums izrādījās lielāks par tā augstumu, kas attiecas uz jebkura veida piramīdām.

Četrstūra piramīda ir daudzskaldnis, kura pamats ir kvadrāts, un visas tā sānu skaldnes ir identiski vienādsānu trīsstūri.

Šim daudzskaldnim ir daudz dažādu īpašību:

• Tās sānu malas un blakus esošie divskaldņu leņķi ir vienādi viens ar otru;
• Sānu virsmu laukumi ir vienādi;
• Regulāras četrstūra piramīdas pamatnē atrodas kvadrāts;
• No piramīdas augšas pazeminātais augstums krustojas ar punktu, kur krustojas pamatnes diagonāles.

Visas šīs īpašības padara to viegli atrodamu. Tomēr diezgan bieži papildus tam ir jāaprēķina daudzskaldņa tilpums. Lai to izdarītu, izmantojiet četrstūra piramīdas tilpuma formulu:

Tas ir, piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no piramīdas augstuma un pamatnes laukuma reizinājuma. Tā kā tas ir vienāds ar tā vienādu malu reizinājumu, mēs nekavējoties ievadām kvadrāta laukuma formulu tilpuma izteiksmē.
Apskatīsim piemēru četrstūra piramīdas tilpuma aprēķināšanai.

Dota četrstūra piramīda, kuras pamats ir kvadrāts ar malu a = 6 cm Piramīdas sānu skaldne ir b = 8 cm.

Lai atrastu dotā daudzskaldņa tilpumu, mums ir nepieciešams tā augstuma garums. Tāpēc mēs to atradīsim, piemērojot Pitagora teorēmu. Vispirms aprēķināsim diagonāles garumu. Zilajā trīsstūrī tā būs hipotenūza. Ir arī vērts atcerēties, ka kvadrāta diagonāles ir vienādas viena ar otru un krustpunktā ir sadalītas uz pusēm:


Tagad no sarkanā trīsstūra mēs atrodam vajadzīgo augstumu h. Tas būs vienāds ar:

Aizstāsim nepieciešamās vērtības un atradīsim piramīdas augstumu:

Tagad, zinot augstumu, mēs varam aizstāt visas vērtības piramīdas tilpuma formulā un aprēķināt nepieciešamo vērtību:

Tādā veidā, zinot dažus vienkāršas formulas, mēs varējām aprēķināt regulāras četrstūra piramīdas tilpumu. Atcerieties, ka šo vērtību mēra kubikvienībās.

Šeit mēs aplūkosim piemērus, kas saistīti ar apjoma jēdzienu. Lai atrisinātu šādus uzdevumus, jums jāzina piramīdas tilpuma formula:

S

h – piramīdas augstums

Pamats var būt jebkurš daudzstūris. Taču lielākajā daļā vienotā valsts eksāmena problēmu nosacījums parasti ir par regulārām piramīdām. Ļaujiet man jums atgādināt vienu no tā īpašībām:

Virsotne regulāra piramīda projicēts uz tās pamatnes centru

Apskatiet regulāras trīsstūra, četrstūra un sešstūra piramīdas projekciju (AUGŠĀRĀS SKATS):

Varat emuārā, kur tika apspriestas problēmas, kas saistītas ar piramīdas tilpuma atrašanu.Apskatīsim uzdevumus:

27087. Atrodi tilpumu regulārai trīsstūrveida piramīdai, kuras pamatnes malas ir vienādas ar 1 un kuras augstums ir vienāds ar trīs sakni.

S- piramīdas pamatnes laukums

h- piramīdas augstums

Atradīsim piramīdas pamatnes laukumu, tas ir regulārs trīsstūris. Izmantosim formulu - trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma, kas nozīmē:

Atbilde: 0,25

27088. Atrodi augstumu regulārai trīsstūrveida piramīdai, kuras pamatnes malas ir vienādas ar 2 un tilpums ir vienāds ar trīs sakni.

Tādi jēdzieni kā piramīdas augstums un tās pamatnes īpašības ir saistīti ar tilpuma formulu:

S- piramīdas pamatnes laukums

h- piramīdas augstums

Mēs zinām pašu tilpumu, mēs varam atrast pamatnes laukumu, jo mēs zinām trijstūra malas, kas ir pamats. Zinot norādītās vērtības, mēs varam viegli atrast augstumu.

Lai atrastu pamatnes laukumu, mēs izmantojam formulu - trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no blakus esošo malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām, kas nozīmē:

Tādējādi, aizstājot šīs vērtības tilpuma formulā, mēs varam aprēķināt piramīdas augstumu:

Augstums ir trīs.

Atbilde: 3

27109. Regulārā četrstūra piramīdā augstums ir 6 un sānu mala ir 10. Atrodi tās tilpumu.

Piramīdas tilpumu aprēķina pēc formulas:

S- piramīdas pamatnes laukums

h- piramīdas augstums

Mēs zinām augstumu. Jums jāatrod pamatnes laukums. Atgādināšu, ka parastas piramīdas virsotne tiek projicēta tās pamatnes centrā. Regulāras četrstūra piramīdas pamats ir kvadrāts. Mēs varam atrast tā diagonāli. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri (izcelts zilā krāsā):

Segments, kas savieno kvadrāta centru ar punktu B, ir kājiņa, kas ir vienāda ar pusi no kvadrāta diagonāles. Mēs varam aprēķināt šo kāju, izmantojot Pitagora teorēmu:

Tas nozīmē, ka BD = 16. Aprēķināsim kvadrāta laukumu, izmantojot četrstūra laukuma formulu:

Tātad:

Tādējādi piramīdas tilpums ir:

Atbilde: 256

27178. Regulārā četrstūra piramīdā augstums ir 12 un tilpums 200. Atrodi šīs piramīdas sānu malu.

Ir zināms piramīdas augstums un tilpums, kas nozīmē, ka mēs varam atrast kvadrāta laukumu, kas ir pamats. Zinot kvadrāta laukumu, mēs varam atrast tā diagonāli. Tālāk, ņemot vērā taisnleņķa trīsstūri, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs aprēķinām sānu malu:

Atradīsim kvadrāta laukumu (piramīdas pamatne):

Aprēķināsim kvadrāta diagonāli. Tā kā tā laukums ir 50, mala būs vienāda ar piecdesmit sakni un saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Punkts O dala diagonāli BD uz pusēm, kas nozīmē taisnleņķa trijstūra kāju OB = 5.

Tādējādi mēs varam aprēķināt, ar ko ir vienāda piramīdas sānu mala:

Atbilde: 13

245353. Atrodi attēlā redzamās piramīdas tilpumu. Tā pamats ir daudzstūris, kura blakus esošās malas ir perpendikulāras, un viena no sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei un vienāda ar 3.

Kā jau daudzkārt teikts, piramīdas tilpumu aprēķina pēc formulas:

S- piramīdas pamatnes laukums

h- piramīdas augstums

Sānu mala, kas ir perpendikulāra pamatnei, ir vienāda ar trīs, kas nozīmē, ka piramīdas augstums ir trīs. Piramīdas pamats ir daudzstūris, kura laukums ir vienāds ar:

Tādējādi:

Atbilde: 27

27086. Piramīdas pamats ir taisnstūris ar malām 3 un 4. Tā tilpums ir 16. Atrodi šīs piramīdas augstumu.