Diferenciālo sistēmu risinājums. Diferenciālvienādojumu sistēmas, integrācijas metodes. Normālas sistēmas atrisināšana ar likvidēšanu

Ārā ir tveicīgs laiks, lidinās papeļu pūkas, un šis laiks ir labvēlīgs atpūtai. Mācību gada laikā visiem ir sakrājies nogurums, bet vasaras brīvlaika/brīvdienu gaidīšanai vajadzētu iedvesmot veiksmīgi nokārtot eksāmenus un ieskaites. Starp citu, arī skolotāji sezonas laikā ir dulli, tāpēc drīz arī es atvēlēšu laiku, lai atslogotu smadzenes. Un tagad ir kafija, ritmiskā sistēmas bloka dūkoņa, daži beigti odi uz palodzes un pilnīgi darba stāvoklis... ...ak, sasodīts... sasodīts dzejnieks.

Līdz punktam. Kuram tas interesē, bet šodien man ir 1. jūnijs, un mēs apskatīsim vēl vienu tipisku sarežģītas analīzes problēmu - konkrēta risinājuma atrašana diferenciālvienādojumu sistēmai, izmantojot operatīvā aprēķina metodi. Kas jums jāzina un jāspēj, lai uzzinātu, kā to atrisināt? Pirmkārt, ļoti ieteiktu atsaukties uz nodarbību. Lūdzu, izlasiet ievaddaļu, saprotiet tēmas vispārīgo izklāstu, terminoloģiju, apzīmējumus un vismaz divus vai trīs piemērus. Fakts ir tāds, ka ar difuzoru sistēmām viss būs gandrīz tāpat un pat vienkāršāk!

Protams, jums ir jāsaprot, kas tas ir diferenciālvienādojumu sistēma ko nozīmē atrast vispārējs risinājums sistēmas un konkrēts sistēmas risinājums.

Atgādināšu, ka diferenciālvienādojumu sistēmu var atrisināt “tradicionālā” veidā: likvidējot vai izmantojot raksturīgo vienādojumu. Darbības aprēķinu metode, kas tiks apspriesta, ir piemērojama tālvadības sistēmai, ja uzdevums ir formulēts šādi:

Atrodiet konkrētu risinājumu homogēnai diferenciālvienādojumu sistēmai , kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem .

Alternatīvi, sistēma var būt neviendabīga - ar “papildu atsvariem” funkciju veidā un labajā pusē:

Bet abos gadījumos jums jāpievērš uzmanība diviem nosacījuma pamatpunktiem:

1) Runa ir par tikai par privātu risinājumu.
2) Sākotnējo nosacījumu iekavās ir stingri nulles, un nekas cits.

Vispārējais kurss un algoritms būs ļoti līdzīgi diferenciālvienādojuma atrisināšana, izmantojot operāciju metodi. No atsauces materiāliem jums būs nepieciešams tas pats oriģinālu un attēlu tabula.

1. piemērs

, ,

Risinājums: Sākums ir triviāls: izmantojot Laplasa transformācijas galdi Pārejam no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem. Ja rodas problēmas ar tālvadības sistēmām, šī pāreja parasti ir vienkārša:

Izmantojot tabulas formulas Nr. 1, 2, ņemot vērā sākotnējo nosacījumu, iegūstam:

Ko darīt ar "spēlēm"? Garīgi mainiet "X" tabulā uz "I". Izmantojot tās pašas transformācijas Nr. 1, 2, ņemot vērā sākotnējo nosacījumu, mēs atrodam:

Aizstāsim atrastos attēlus ar sākotnējo vienādojumu :

Tagad kreisajās daļās ir jāsavāc vienādojumi Visi termini, kuros vai ir klāt. Uz labajām daļām vienādojumi ir jāformalizē visi pārējie noteikumi:

Tālāk katra vienādojuma kreisajā pusē veicam iekavu iekavu iekavu:

Šajā gadījumā pirmajās pozīcijās un otrajās pozīcijās jāievieto:

Iegūtā vienādojumu sistēma ar diviem nezināmajiem parasti tiek atrisināta pēc Krāmera formulām. Aprēķināsim sistēmas galveno noteicēju:

Determinanta aprēķināšanas rezultātā tika iegūts polinoms.

Svarīga tehnika!Šis polinoms ir labāks nekavējoties mēģiniet to ņemt vērā. Šiem nolūkiem ir jāmēģina atrisināt kvadrātvienādojumu , taču daudzi lasītāji ar otro gadu apmācītu aci to pamanīs .

Tādējādi mūsu galvenais sistēmas noteicošais faktors ir:

Sistēmas turpmāka demontāža, paldies Krameram, ir standarta:

Rezultātā mēs iegūstam sistēmas operatora risinājums:

Attiecīgā uzdevuma priekšrocība ir tā, ka daļskaitļi parasti izrādās vienkārši, un ar tiem tikt galā ir daudz vienkāršāk nekā ar daļskaitļiem uzdevumos konkrēta DE risinājuma atrašana, izmantojot operatīvo metodi. Tava priekšnojauta tevi nepievīla – vecais labais nenoteikto koeficientu metode, ar kuras palīdzību mēs sadalām katru daļu elementārajās daļās:

1) Tiksim galā ar pirmo daļu:

Tādējādi:

2) Otro daļu sadalām pēc līdzīgas shēmas, taču pareizāk ir izmantot citas konstantes (nenodefinētus koeficientus):

Tādējādi:

Es iesaku manekeniem pierakstīt sadalīto operatora risinājumu šādā formā:
- tas padarīs skaidrāku pēdējo posmu - apgriezto Laplasa transformāciju.

Izmantojot tabulas labo kolonnu, pāriesim no attēliem uz atbilstošajiem oriģināliem:

Saskaņā ar labu matemātikas manierēm mēs nedaudz sakārtosim rezultātu:

Atbilde:

Atbilde tiek pārbaudīta saskaņā ar standarta shēmu, kas detalizēti tiek apspriesta nodarbībā. Kā atrisināt diferenciālvienādojumu sistēmu? Vienmēr mēģiniet to izpildīt, lai uzdevumam pievienotu lielu plusu.

2. piemērs

Izmantojot operatīvo aprēķinu, atrodiet konkrētu risinājumu diferenciālvienādojumu sistēmai, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem.
, ,

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Aptuvenais uzdevuma galīgās formas un atbildes paraugs nodarbības beigās.

Neviendabīgas diferenciālvienādojumu sistēmas risināšana algoritmiski neatšķiras, izņemot to, ka tehniski tas būs nedaudz sarežģītāk:

3. piemērs

Izmantojot operatīvo aprēķinu, atrodiet konkrētu risinājumu diferenciālvienādojumu sistēmai, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem.
, ,

Risinājums: Izmantojot Laplasa transformācijas tabulu, ņemot vērā sākotnējos nosacījumus , pāriesim no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem:

Bet tas vēl nav viss, vienādojumu labajā pusē ir vientuļas konstantes. Ko darīt gadījumos, kad konstante ir pilnīgi viena pati? Tas jau tika apspriests klasē. Kā atrisināt DE, izmantojot darbības metodi. Atkārtosim: atsevišķas konstantes ir mentāli jāreizina ar vienu, un vienībām jāpiemēro šāda Laplasa transformācija:

Aizstāsim atrastos attēlus sākotnējā sistēmā:

Pārvietosim terminus, kas satur , pa kreisi, bet atlikušos terminus novietosim labajā pusē:

Kreisajā pusē mēs veiksim iekavu iekavu iekavu, turklāt otrā vienādojuma labo pusi savienosim ar kopsaucēju:

Aprēķināsim sistēmas galveno noteicēju, neaizmirstot, ka ir ieteicams nekavējoties mēģināt faktorizēt rezultātu:
, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Turpināsim:



Tādējādi sistēmas operatora risinājums ir:

Reizēm var samazināt vienu vai pat abas frakcijas, un, dažreiz, tik veiksmīgi, ka praktiski nekas nav jāpaplašina! Un dažos gadījumos jūs saņemat bezmaksas dāvanu uzreiz, starp citu, šis nodarbības piemērs būs orientējošs piemērs.

Izmantojot nenoteikto koeficientu metodi, iegūstam elementāro daļu summas.

Sadalīsim pirmo daļu:

Un mēs sasniedzam otro:

Rezultātā operatora risinājums iegūst mums nepieciešamo formu:

Izmantojot labo kolonnu oriģinālu un attēlu tabulas Mēs veicam apgriezto Laplasa transformāciju:

Aizstāsim iegūtos attēlus sistēmas operatora risinājumā:

Atbilde: privāts risinājums:

Kā redzat, neviendabīgā sistēmā ir jāveic darbietilpīgāki aprēķini, salīdzinot ar viendabīgu sistēmu. Apskatīsim vēl pāris piemērus ar sinusiem un kosinusiem, un ar to pietiek, jo tiks ņemti vērā gandrīz visi problēmas veidi un lielākā daļa risinājuma nianšu.

4. piemērs

Izmantojot operatīvā aprēķina metodi, atrodiet konkrētu risinājumu diferenciālvienādojumu sistēmai ar dotajiem sākuma nosacījumiem,

Risinājums: Es arī pats analizēšu šo piemēru, taču komentāri attieksies tikai uz īpašiem mirkļiem. Es pieņemu, ka jūs jau labi pārzināt risinājuma algoritmu.

Pārejam no oriģināliem uz atbilstošajiem attēliem:

Aizstāsim atrastos attēlus oriģinālajā tālvadības sistēmā:

Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas:
, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Iegūto polinomu nevar faktorizēt. Ko darīt šādos gadījumos? Pilnīgi nekas. Šis arī derēs.

Rezultātā sistēmas operatora risinājums ir:

Lūk, laimīgā biļete! Nenoteikto koeficientu metodi vispār nevajag lietot! Vienīgais ir tas, ka, lai piemērotu tabulas transformācijas, mēs pārrakstām risinājumu šādā formā:

Pārejam no attēliem uz atbilstošajiem oriģināliem:

Aizstāsim iegūtos attēlus sistēmas operatora risinājumā:

................................ 1

1. Ievads.................................................. ...................................................... ...................... 2

2. 1. kārtas diferenciālvienādojumu sistēmas................................................ 3

3. 1. kārtas lineāro diferenciālvienādojumu sistēmas......... 2

4. Lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu sistēmas ar nemainīgiem koeficientiem................................................. .............................................................. ................................ 3

5. 1. kārtas nehomogēnu diferenciālvienādojumu sistēmas ar nemainīgiem koeficientiem................................................. ................................................................ ...................................... 2

Laplasa transformācija................................................................................ 1

6. Ievads.................................................. ...................................................... ........................ 2

7. Laplasa transformācijas īpašības................................................ ...................... 3

8. Laplasa transformācijas pielietojumi............................................ ......... ...... 2

Ievads integrālajos vienādojumos............................................................... 1

9. Ievads.................................................. ...................................................... ...................... 2

10. Lineāro integrālvienādojumu vispārīgās teorijas elementi.............. 3

11. 2. veida Fredholma integrālvienādojumu iteratīvā risinājuma jēdziens................................... ................................................... ...................................................... ....... 2

12. Voltera vienādojums.................................................. ...................................... 2

13. Voltera vienādojumu atrisināšana ar diferenciālo kodolu, izmantojot Laplasa transformāciju.................................... ............................................................ ........ 2

Parasto diferenciālvienādojumu sistēmas

Ievads

Parasto diferenciālvienādojumu sistēmas sastāv no vairākiem vienādojumiem, kas satur viena mainīgā nezināmu funkciju atvasinājumus. Kopumā šādai sistēmai ir forma

kur ir nezināmas funkcijas, t– neatkarīgs mainīgais, – dažas dotās funkcijas, indekss numurē vienādojumus sistēmā. Atrisināt šādu sistēmu nozīmē atrast visas funkcijas, kas atbilst šai sistēmai.

Kā piemēru apsveriet Ņūtona vienādojumu, kas apraksta masas ķermeņa kustību spēka ietekmē:

kur ir vektors, kas novilkts no sākuma līdz ķermeņa pašreizējai pozīcijai. Dekarta koordinātu sistēmā tās sastāvdaļas ir funkcijas Tādējādi vienādojums (1.2) tiek samazināts līdz trim otrās kārtas diferenciālvienādojumiem

Lai atrastu funkcijas katrā laika momentā acīmredzot ir jāzina ķermeņa sākotnējais stāvoklis un tā ātrums sākotnējā laika momentā - kopā 6 sākuma nosacījumi (kas atbilst trīs otrās kārtas vienādojumu sistēmai):

Vienādojumi (1.3) kopā ar sākotnējiem nosacījumiem (1.4) veido Košī problēmu, kurai, kā izriet no fiziskiem apsvērumiem, ir unikāls risinājums, kas dod konkrētu ķermeņa trajektoriju, ja spēks atbilst saprātīgiem gluduma kritērijiem.

Ir svarīgi atzīmēt, ka šo problēmu var reducēt līdz 6 pirmās kārtas vienādojumu sistēmai, ieviešot jaunas funkcijas. Apzīmēsim funkcijas kā , un ieviesīsim trīs jaunas funkcijas, kas definētas šādi:

Sistēmu (1.3) tagad var pārrakstīt formā

Tādējādi mēs esam nonākuši pie sešu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmas funkcijām Šīs sistēmas sākotnējiem nosacījumiem ir forma

Pirmie trīs sākuma nosacījumi dod ķermeņa sākotnējās koordinātas, pēdējie trīs dod sākotnējā ātruma projekciju uz koordinātu asīm.

Piemērs 1.1. Samazināt divu 2. kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu

uz četru pirmās kārtas vienādojumu sistēmu.

Risinājums. Ieviesīsim šādu apzīmējumu:

Šajā gadījumā sākotnējā sistēma ieņems formu

Vēl divi vienādojumi sniedz ieviesto apzīmējumu:

Visbeidzot, mēs izveidosim pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu, kas ir līdzvērtīga oriģinālajai otrās kārtas vienādojumu sistēmai

Šie piemēri ilustrē vispārējā situācija: jebkuru diferenciālvienādojumu sistēmu var reducēt līdz pirmās kārtas vienādojumu sistēmai. Tādējādi nākotnē varam aprobežoties ar pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu izpēti.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmas

Kopumā sistēma n Pirmās kārtas diferenciālvienādojumus var uzrakstīt šādi:

kur ir neatkarīgā mainīgā nezināmās funkcijas t, – dažas norādītās funkcijas. Vispārējs risinājums sistēma (2.1) satur n patvaļīgas konstantes, t.i. ir šāda forma:

Aprakstot reālas problēmas, izmantojot diferenciālvienādojumu sistēmas konkrēts risinājums, vai privāts risinājums sistēma tiek atrasta no vispārīga risinājuma, norādot dažus sākotnējie nosacījumi. Sākotnējais stāvoklis tiek reģistrēts katrai funkcijai un sistēmai n Pirmās kārtas vienādojumi izskatās šādi:

Risinājumi tiek noteikti kosmosā zvana līnija neatņemama līnija sistēmas (2.1).

Formulēsim diferenciālvienādojumu sistēmu risinājumu eksistences un unikalitātes teorēmu.

Košī teorēma. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmai (2.1) kopā ar sākuma nosacījumiem (2.2) ir unikāls risinājums (t.i., no vispārējā risinājuma tiek noteikta viena konstantu kopa), ja funkcijas un to parciālie atvasinājumi attiecībā pret visiem argumentiem ir ierobežoti šo sākotnējo apstākļu tuvumā.

Protams, mēs runājam par risinājumu kādā mainīgo lielumu jomā .

Diferenciālvienādojumu sistēmas atrisināšana var redzēt kā vektora funkcija X, kuras sastāvdaļas ir funkcijas un funkciju kopa ir kā vektora funkcija F, t.i.

Izmantojot šādu apzīmējumu, varam īsi pārrakstīt sākotnējo sistēmu (2.1) un sākotnējos nosacījumus (2.2) t.s. vektora forma:

Viena no metodēm diferenciālvienādojumu sistēmas atrisināšanai ir sistēmas reducēšana uz vienu augstākas kārtas vienādojumu. No vienādojumiem (2.1), kā arī vienādojumiem, kas iegūti, tos diferencējot, var iegūt vienu vienādojumu n Kārtība jebkurai nezināmajai funkcijai, to integrējot, tiek atrastas atlikušās nezināmās funkcijas no sākotnējās sistēmas vienādojumiem un starpvienādojumiem, kas iegūti, diferencējot sākotnējos.

Piemērs 2.1. Atrisiniet divu pirmās kārtas diferenciāļu sistēmu

Risinājums. Atšķirsim otro vienādojumu:

Izteiksim atvasinājumu caur pirmo vienādojumu

No otrā vienādojuma

Esam ieguvuši lineāru homogēnu 2. kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Tā raksturīgais vienādojums

no kuras iegūstam Tad šī diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums būs

Mēs esam atraduši vienu no nezināmajām sākotnējās vienādojumu sistēmas funkcijām. Izmantojot izteiksmi, jūs varat atrast:

Atrisināsim Košī problēmu sākotnējos apstākļos

Aizstāsim tos sistēmas vispārējā risinājumā

un atrodiet integrācijas konstantes:

Tādējādi Košī problēmas risinājums būs funkcijas

Šo funkciju grafiki ir parādīti 1. attēlā.

Rīsi. 1. Konkrēts 2.1. piemēra sistēmas risinājums intervālā

Piemērs 2.2. Atrisiniet sistēmu

reducējot to uz vienu 2. kārtas vienādojumu.

Risinājums. Atšķirot pirmo vienādojumu, mēs iegūstam

Izmantojot otro vienādojumu, mēs nonākam pie otrās kārtas vienādojuma for x:

Nav grūti iegūt tā risinājumu un pēc tam arī funkciju, vienādojumā aizstājot atrasto. Rezultātā mums ir šāds sistēmas risinājums:

komentēt. Mēs atradām funkciju no Eq. Tajā pašā laikā no pirmā acu uzmetiena šķiet, ka to pašu risinājumu var iegūt, aizstājot zināmo sākotnējās sistēmas otrajā vienādojumā

un to integrējot. Ja tiek atrasts šādā veidā, risinājumā parādās trešā, papildu konstante:

Tomēr, kā to ir viegli pārbaudīt, funkcija apmierina sākotnējo sistēmu nevis ar patvaļīgu vērtību, bet tikai pie Tādējādi otrā funkcija ir jānosaka bez integrācijas.

Saskaitīsim funkciju kvadrātus un :

Iegūtais vienādojums dod koncentrisku apļu saimi, kuru centrs ir sākuma punktā plaknē (sk. 2. attēlu). Iegūtās parametriskās līknes sauc fāzes līknes, un plakne, kurā tie atrodas, ir fāzes plakne.

Sākotnējā vienādojumā aizstājot visus sākotnējos nosacījumus, jūs varat iegūt noteiktas vērtības integrācijas konstantes, kas nozīmē apli ar noteiktu rādiusu fāzes plaknē. Tādējādi katra sākotnējo nosacījumu kopa atbilst noteiktai fāzes līknei. Ņemsim, piemēram, sākotnējos nosacījumus . To aizstāšana ar vispārējo risinājumu dod konstantu vērtības , tādējādi konkrētajam risinājumam ir forma . Mainot parametru intervālā, mēs sekojam fāzes līknei pulksteņrādītāja virzienā: vērtība atbilst sākotnējā stāvokļa punktam uz ass, vērtība atbilst punktam uz ass, vērtība atbilst punktam uz ass, vērtība atbilst punktam uz ass. uz punktu uz ass, un mēs atgriežamies sākuma punktā.

Daudzas diferenciālvienādojumu sistēmas, gan homogēnas, gan nehomogēnas, var reducēt uz vienu vienādojumu vienai nezināmai funkcijai. Demonstrēsim metodi ar piemēriem.

Piemērs 3.1. Atrisiniet sistēmu

Risinājums. 1) Atšķirība pēc t pirmo vienādojumu un izmantojot otro un trešo vienādojumu, lai aizstātu Un , mēs atrodam

Mēs diferencējam iegūto vienādojumu attiecībā pret atkal

1) Mēs izveidojam sistēmu

No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem mēs izsakām mainīgos Un cauri
:

Aizstāsim atrastos izteicienus Un sistēmas trešajā vienādojumā

Tātad, lai atrastu funkciju
ieguva trešās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem

.

2) Mēs integrējam pēdējo vienādojumu, izmantojot standarta metodi: sastādam raksturīgo vienādojumu
, atrodiet tās saknes
un izveidojiet vispārīgu risinājumu eksponenciālu lineāras kombinācijas veidā, ņemot vērā vienas saknes daudzveidību:.

3) Tālāk, lai atrastu divas atlikušās funkcijas
Un
, mēs divreiz diferencējam iegūto funkciju

Izmantojot savienojumus (3.1) starp sistēmas funkcijām, mēs atgūstam atlikušos nezināmos

.

Atbilde. ,
,.

Var izrādīties, ka visas zināmās funkcijas, izņemot vienu, ir izslēgtas no trešās kārtas sistēmas pat ar vienu diferenciāciju. Šajā gadījumā diferenciālvienādojuma secība tā atrašanai būs mazāka par nezināmo funkciju skaitu sākotnējā sistēmā.

Piemērs 3.2. Integrējiet sistēmu

(3.2)

Risinājums. 1) Atšķirība pēc pirmo vienādojumu, mēs atrodam

Izņemot mainīgos Un no vienādojumiem

mums būs otrās kārtas vienādojums attiecībā uz

(3.3)

2) No pirmā sistēmas (3.2) vienādojuma mums ir

(3.4)

Sistēmas (3.2) trešajā vienādojumā aizstājot atrastās izteiksmes (3.3) un (3.4) Un , mēs iegūstam pirmās kārtas diferenciālvienādojumu, lai noteiktu funkciju

Integrējot šo nehomogēnu vienādojumu ar nemainīgiem pirmās kārtas koeficientiem, mēs atklājam
Izmantojot (3.4), mēs atrodam funkciju

Atbilde.
,,
.

Uzdevums 3.1. Atrisiniet viendabīgas sistēmas, reducējot tās līdz vienam diferenciālvienādojumam.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Lineāru viendabīgu diferenciālvienādojumu sistēmu atrisināšana ar nemainīgiem koeficientiem, atrodot fundamentālu risinājumu sistēmu

Lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu var atrast kā sistēmas pamatrisinājumu lineāru kombināciju. Sistēmām ar nemainīgiem koeficientiem fundamentālu risinājumu atrašanai var izmantot lineārās algebras metodes.

Piemērs 3.3. Atrisiniet sistēmu

(3.5)

Risinājums. 1) Pārrakstīsim sistēmu matricas formā

. (3.6)

2) Sistēmas fundamentālu risinājumu meklēsim vektora formā
. Aizstāšanas funkcijas
punktā (3.6) un samazinot par , saņemam

, (3.7)

tas ir skaitlis jābūt matricas īpašvērtībai
, un vektoru atbilstošo īpašvektoru.

3) No lineārās algebras kursa ir zināms, ka sistēmai (3.7) ir netriviāls risinājums, ja tās determinants ir vienāds ar nulli

,

tas ir . No šejienes mēs atrodam īpašvērtības
.

4) Atrodiet atbilstošos īpašvektorus. Pirmās vērtības aizstāšana ar (3.7)
, mēs iegūstam sistēmu pirmā īpašvektora atrašanai

No šejienes mēs iegūstam saikni starp nezināmajiem
. Mums pietiek izvēlēties vienu netriviālu risinājumu. Ticot
, Tad
, tas ir, vektors ir īpašvērtības īpašība
, un funkcijas vektors
dotas diferenciālvienādojumu sistēmas fundamentāls risinājums (3.5). Līdzīgi, aizstājot otro sakni
punktā (3.7) mums ir matricas vienādojums otrajam īpašvektoram
. Kur mēs iegūstam savienojumu starp tā sastāvdaļām?
. Tādējādi mums ir otrs fundamentālais risinājums

.

5) Sistēmas (3.5) vispārīgais risinājums ir izveidots kā divu iegūto fundamentālo risinājumu lineāra kombinācija.

vai koordinātu formā

.

Atbilde.

.

Uzdevums 3.2. Atrisiniet sistēmas, atrodot pamata risinājumu sistēmu.

Šāda veida sistēmu sauc normāla diferenciālvienādojumu sistēma (SNDU). Normālai diferenciālvienādojumu sistēmai mēs varam formulēt teorēmu par esamību un unikalitāti, tāpat kā diferenciālvienādojumam.

Teorēma. Ja funkcijas ir definētas un nepārtrauktas atvērtā kopā, un attiecīgie daļējie atvasinājumi ir arī nepārtraukti ieslēgti, tad sistēmai (1) būs risinājums (2)

un sākotnējo apstākļu klātbūtnē (3)

šis risinājums būs vienīgais.

Šo sistēmu var attēlot šādi:

Lineāro diferenciālvienādojumu sistēmas

Definīcija. Diferenciālvienādojumu sistēmu sauc lineārs , ja tas ir lineārs attiecībā pret visām nezināmajām funkcijām un to atvasinājumiem.

(5)

Diferenciālvienādojumu sistēmas vispārīgs skats

Ja ir norādīts sākotnējais nosacījums: , (7)

tad risinājums būs unikāls, ja vektora funkcija ir nepārtraukta un matricas koeficienti arī ir nepārtrauktas funkcijas.

Ieviesīsim lineāro operatoru, tad (6) var pārrakstīt šādi:

ja tad tiek izsaukts operatora vienādojums (8). viendabīgs un tam ir šāda forma:

Tā kā operators ir lineārs, tam ir apmierinātas šādas īpašības:

atrisinot (9) vienādojumu.

Sekas. Lineāra kombinācija, risinājums (9).

Ja ir doti atrisinājumi (9) un tie ir lineāri neatkarīgi, tad visas formas lineārās kombinācijas: (10) tikai ar nosacījumu, ka visi.

Tas nozīmē, ka determinants, kas sastāv no risinājumiem (10): . Šo determinantu sauc

Vronska noteicējs

vektoru sistēmai. 1. teorēma. Ja Vronska determinants lineārai viendabīgai sistēmai (9) ar koeficientiem, kas nepārtraukti intervālā ir vienāds ar nulli vismaz vienā punktā, tad risinājumi ir lineāri atkarīgi no šī intervāla un tāpēc Vronska determinants ir vienāds ar nulle visā intervālā. Pierādījums:, tāpēc sākotnējais nosacījums nosaka unikālo sistēmas (9) risinājumu. Vronska determinants punktā ir vienāds ar nulli, tāpēc pastāv netriviāla sistēma, kurai ir spēkā:

Definīcija. Atbilstošajai lineārajai kombinācijai citam punktam būs forma un tā apmierina homogēnus sākuma nosacījumus, tāpēc sakrīt ar triviālo risinājumu, tas ir, lineāri atkarīga un Vronska determinants ir vienāds ar nulli. Sistēmas (9) risinājumu kopa tiek izsaukta pamata risinājumu sistēma

Definīcija. ieslēgts, ja Vronska determinants nevienā brīdī nepazūd. Ja viendabīgai sistēmai (9) sākuma nosacījumi ir definēti šādi - tad tiek izsaukta risinājumu sistēma normāls fundamentāls .

komentēt. lēmumu sistēma

Ja ir fundamentāla sistēma vai normāla pamatsistēma, tad lineārā kombinācija ir (9) vispārīgs risinājums.

vektoru sistēmai. 2. teorēma. Viendabīgas sistēmas (9) lineāri neatkarīgu risinājumu lineāra kombinācija ar koeficientiem, kas nepārtraukti intervālā, būs vispārīgs risinājums (9) tajā pašā intervālā. Tā kā koeficienti ir nepārtraukti ieslēgti, sistēma apmierina eksistences un unikalitātes teorēmas nosacījumus. Tāpēc, lai pierādītu teorēmu, pietiek parādīt, ka, izvēloties konstantes, ir iespējams izpildīt kādu patvaļīgi izvēlētu sākuma nosacījumu (7). Tie. var apmierināt ar vektora vienādojumu:.

Tātad

vektoru sistēmai. kā- vispārīgi

risinājums (9), tad sistēma ir relatīvi atrisināma, jo un visi ir lineāri neatkarīgi.

vektoru sistēmai. Mēs to definējam unikāli, un, tā kā esam lineāri neatkarīgi, tad. . (11)

Teorēma 3. Ja šis ir sistēmas (8) risinājums, sistēmas (9) risinājums, tad + būs arī (8) risinājums.

Pēc lineārā operatora īpašībām: 

4. teorēma. Vispārējais atrisinājums (8) intervālā ar koeficientiem un labās puses nepārtrauktas šajā intervālā ir vienāds ar atbilstošās homogēnās sistēmas (9) vispārīgā risinājuma un nehomogēnās sistēmas konkrētā risinājuma (8) summu. ). Tā kā teorēmas nosacījumi par eksistenci un unikalitāti ir izpildīti, tad atliek pierādīt, ka tā apmierinās patvaļīgi dotu sākotnējo vērtību (7), tas ir,

Sistēmai (11) vienmēr ir iespējams noteikt vērtības.

sauc par diferencējamu funkciju y(t), kas, aizvietojot vienādojumā (5.1), pārvērš to par identitāti. Diferenciālvienādojuma risinājuma grafiku sauc par integrāllīkni. Diferenciālvienādojuma risinājumu atrašanas procesu parasti sauc par šī vienādojuma integrēšanu.

Pamatojoties uz atvasinājuma y ģeometrisko nozīmi, mēs atzīmējam, ka vienādojums (5.1) katrā mainīgo t, y plaknes punktā (t, y) nosaka leņķa pieskares vērtību f(t, y). Caur šo punktu ejošā risinājuma grafika pieskares slīpums (uz asi 0t) Lielums k=tga=f(t,y) tiks saukts par leņķisko koeficientu (5.1. att.) Ja tagad katrā punktā (t,y) precizējam pieskares virzienu, ko nosaka vērtība f(t,y), izmantojot noteiktu vektoru ), tad iegūstam tā saukto virziena lauku (5.2. att., a). ģeometriski diferenciālvienādojumu integrēšanas uzdevums ir atrast integrāllīknes, kurām katrā punktā ir dots pieskares virziens (5.2. att., b, lai izvēlētos vienu konkrētu risinājumu no diferenciālvienādojuma (5.1.) atrisinājumu saimes, iestatītu sākotnējais stāvoklis

y(t 0)=y 0 (5.2)

Sākotnējā nosacījuma izmantošanas ģeometriskā interpretācija ir tāda, ka no integrālo līkņu saimes jāizvēlas līkne, kas iet caur fiksētu punktu (t 0, y 0).

Problēma ar t>t 0 risinājuma y(t) atrašanu diferenciālvienādojumam (5.1), kas atbilst sākotnējam nosacījumam (5.2), tiks saukta par Košī problēmu. Dažos gadījumos interesē risinājuma uzvedība visiem t>t 0. Tomēr biežāk tie aprobežojas ar risinājuma noteikšanu ierobežotā segmentā.

Normālu sistēmu integrācija

Viena no galvenajām metodēm normālas DE sistēmas integrēšanai ir metode sistēmas samazināšanai līdz vienai augstākas kārtas DE. (Apgrieztā problēma – pāreja no tālvadības pults uz sistēmu – tika aplūkota iepriekš, izmantojot piemēru.) Šīs metodes pamatā ir šādi apsvērumi.

Dota parastā sistēma (6.1). Atšķirsim jebkuru vienādojumu, piemēram, pirmo, attiecībā pret x:

Šajā vienādībā aizstājot atvasinājumu vērtības

no sistēmas (6.1), iegūstam vai īsumā

Atkal diferencējot iegūto vienlīdzību un aizstājot atvasinājumu vērtības

no sistēmas (6.1), iegūstam

No sistēmas (6.3) pirmajiem (n-1) vienādojumiem funkcijas y 2, y 3, ..., y n izsakām ar x, funkciju y 1 un tās atvasinājumus y" ​​1, y" 1,. .., y 1 (n -1) .

Mēs iegūstam:

Atrastās vērtības y 2, y 3,..., y n aizstājam sistēmas (6.3) pēdējā vienādojumā. Iegūsim vienu n-to kārtu DE attiecībā pret vēlamo funkciju

Diferencējiet to (n-1) reizes un aizstājiet atvasinājumu vērtības

sistēmas (6.4) vienādojumos atrodam funkcijas y 2, y 3,..., y n.

Piemērs 6.1. Atrisināt vienādojumu sistēmu

Risinājums: diferencēsim pirmo vienādojumu: y"=4y"-3z. Iegūtajā vienādībā aizstājiet z"=2y-3z: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z.

Izveidosim vienādojumu sistēmu:

No sistēmas pirmā vienādojuma mēs izsakām z līdz y un y":

Mēs aizstājam z vērtību pēdējās sistēmas otrajā vienādojumā:

t.i., y""-y"-6y=0. Saņēmām vienu otrās kārtas LOD. Atrisiniet: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 un - vispārīgs risinājums

vienādojumi

Atrodiet funkciju z. Mēs aizstājam y vērtības un izteiksmē z caur y un y" (formula (6.5)). Mēs iegūstam:

Tādējādi šīs vienādojumu sistēmas vispārīgajam risinājumam ir forma

komentēt. Vienādojumu sistēmu (6.1) var atrisināt ar integrējamo kombināciju metodi. Metodes būtība ir tāda, ka, veicot aritmētiskas darbības, dotās sistēmas vienādojumi tiek izmantoti, lai veidotu tā sauktās integrējamās kombinācijas, t.i., viegli integrējamus vienādojumus attiecībā uz jaunu nezināmu funkciju. Ļaujiet mums ilustrēt šīs metodes tehniku ​​ar šādu piemēru. Piemērs 6.2. Atrisiniet vienādojumu sistēmu: Risinājums: Saskaitīsim dotos vienādojumus pa vārdam: x"+y"=x+y+2 vai (x+y)"=(x+y)+2. Apzīmēsim x+y=z. Tad mums ir z"=z+2. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu:

Mēs saņēmām t.s

komentēt. pirmais sistēmas integrālis. No tā jūs varat izteikt vienu no meklētajām funkcijām caur citu, tādējādi samazinot meklēto funkciju skaitu par vienu. Piemēram, Tad sistēmas pirmais vienādojums iegūs formu

Atraduši no tā x (piemēram, izmantojot aizvietojumu x=uv), atradīsim arī y.

Šī sistēma “ļauj” izveidot citu integrējamu kombināciju: Liekot x - y = p, mums ir: vai Kam ir divi pirmie sistēmas integrāļi, t.i. Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka Lineārais operators, īpašības. Lineārā atkarība un vektoru neatkarība. Vronski determinants LDE sistēmai. n Lineārā diferenciāļa operators un tā īpašības. Funkciju kopa ar intervālu ( n (a b a (x ), kam ir atvasinājumi, par funkciju, kam k - n atvasinājumi:

Izmantojot operatoru Funkciju kopa ar intervālu ( n (a ) nehomogēnu vienādojumu (20) var uzrakstīt šādi:

homogēnais vienādojums (21) iegūst formu

Teorēma 14.5.2. Funkciju kopa ar intervālu ( n (a Diferenciālais operators ) ir lineārs operators. Dokuments tieši izriet no atvasinājumu īpašībām: 1. Ja C = const, tad

2. Mūsu turpmākās darbības: vispirms izpētiet, kā darbojas lineārā viendabīgā vienādojuma (25) vispārīgais risinājums, pēc tam nehomogēnā vienādojuma (24) un pēc tam iemācieties atrisināt šos vienādojumus. Sāksim ar lineārās atkarības un funkciju neatkarības jēdzieniem no intervāla un definēsim svarīgāko objektu lineāro vienādojumu un sistēmu teorijā - Vronska determinantu.Vronska noteicējs. Funkciju sistēmas lineārā atkarība un neatkarība. Def. a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x 14.5.3.1. Funkciju sistēma) sauc Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka lineāri atkarīgi Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka intervālā ( a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x 14.5.3.1. ), ja vienlaikus ir konstantu koeficientu kopa, kas nav vienāda ar nulli, tā, ka šo funkciju lineārā kombinācija ir identiski vienāda ar nulli.): par Ja vienlīdzība par ir iespējama tikai tad, kad, funkciju sistēma Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka lineāri neatkarīgs a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x ) intervālā () sauc Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka ). Citiem vārdiem sakot, funkcijas Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka lineāri atkarīgi a 1 (x ),a 2 (x ), …, a n (x ) ), ja ir vienāds ar nulli uz () sauc Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka ) to netriviālā lineārā kombinācija. Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka Funkcijas x , x 2 , x lineāri neatkarīgs Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka ), ja tikai to triviālā lineārā kombinācija ir identiski vienāda ar nulli ( ). Piemēri: 1. Funkcijas 1, Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka 3 ir lineāri neatkarīgi no jebkura intervāla ( ). x , x 2 , x 3 , …, x n To lineārā kombinācija Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka - pakāpes polinoms - nevar būt ieslēgts ( n )vairāk nekā trīs saknes, tātad vienlīdzība Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka = 0 for ir iespējama tikai tad, ja 1. piemērs ir viegli vispārināms ar funkciju sistēmu 1, . To lineārajai kombinācijai — pakāpes polinomam — nevar būt ( ) vairāk k saknes. 3. Funkcijas ir lineāri neatkarīgas no jebkura intervāla ( (saknes. 3. Funkcijas ir lineāri neatkarīgas no jebkura intervāla ( = 1, 2, …, n ), Ja . Patiešām, ja, piemēram, tad vienlīdzība notiek vienā punktā.

.4. Funkciju sistēma ir arī lineāri neatkarīgs, ja skaitļi n i a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x ) ir pa pāriem atšķirīgi, taču šī fakta tieša pierādīšana ir diezgan apgrūtinoša. Kā liecina iepriekš minētie piemēri, dažos gadījumos funkciju lineārā atkarība vai neatkarība tiek pierādīta vienkārši, citos gadījumos šis pierādījums ir sarežģītāks. Tāpēc ir nepieciešams vienkāršs universāls rīks, kas atbildēs uz jautājumu par funkciju lineāro atkarību. Šāds rīks -

14.5.3.3. Lineāri atkarīgas funkciju sistēmas Vronska teorēma. a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x ) Ja funkciju sistēma) sauc Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka lineāri atkarīgi ), tad šīs sistēmas Vronskis šajā intervālā ir identiski vienāds ar nulli. Dokuments a 1 (x ), a 2 (x ), …, a n (x . Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka Ja funkcijas

) ir lineāri atkarīgi no intervāla ( x ), tad ir skaitļi , no kuriem vismaz viens nav nulle, lai n Atšķirsim pēc vienlīdzība (27) - 1 reizi un izveido vienādojumu sistēmu Mēs uzskatīsim šo sistēmu par viendabīgu lineārā sistēma (x algebriskie vienādojumi relatīvi. Un , ir viegli atrast (saskaitot un atņemot pirmos integrāļus), ka ).

Šīs sistēmas determinants ir Vronska determinants (26). Šai sistēmai ir netriviāls risinājums, tāpēc katrā punktā tās determinants ir vienāds ar nulli. Tātad,

W

) = 0 pie , t.i., pie (

Mēs nolēmām šo sadaļu veltīt visvienkāršākās formas diferenciālvienādojumu sistēmu d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 risināšanai, kurās a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 , c 2 - daži reāli skaitļi. Visefektīvākā metode šādu vienādojumu sistēmu risināšanai ir integrācijas metode. Mēs arī apsvērsim risinājumu piemēram par šo tēmu.

Diferenciālvienādojumu sistēmas risinājums būs funkciju pāris x (t) un y (t), kas abus sistēmas vienādojumus var pārvērst identitātēs. Apskatīsim DE sistēmas integrēšanas metodi d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Izteiksim x no sistēmas 2. vienādojuma, lai no 1. vienādojuma izslēgtu nezināmo funkciju x (t): d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Atšķirsim 2. vienādojumu attiecībā pret

t

un atrisiniet tā vienādojumu d x d t:

d 2 d d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 d t 2 - b 2 d d d t Tagad aizstāsim iepriekšējo aprēķinu rezultātu ar sistēmas 1. vienādojumu: d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ dt 2 (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

1. piemērs

Tātad mēs likvidējām nezināmo funkciju x (t) un ieguvām lineāru nehomogēnu 2. kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Atradīsim šī vienādojuma y (t) atrisinājumu un aizvietosim to ar sistēmas 2. vienādojumu. Mēs atradīsim

Risinājums

x(t)

. Mēs pieņemsim, ka tas pabeidz vienādojumu sistēmas risinājumu.

Tagad diferencēsim sistēmas 2. vienādojumu, pēc kura atrisinām to attiecībā pret d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - d t d

Aprēķinos iegūto rezultātu varam aizstāt ar tālvadības sistēmas 1.vienādojumu:

d x d t = x - 1 d 2 g d t 2 - 2 d d d t = d d t - 2 g + 3 - 1 d 2 g d t 2 - 3 d y d t + 2 d y = 2

Pārveidojumu rezultātā ieguvām 2. kārtas lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Ja mēs atrodam tās vispārējo risinājumu, mēs iegūstam funkciju y(t).

Atbilstošā LOD y 0 vispārīgo atrisinājumu varam atrast, aprēķinot raksturīgā vienādojuma k 2 - 3 k + 2 = 0 saknes:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Mūsu iegūtās saknes ir īstas un atšķirīgas. Šajā sakarā LODE vispārējam risinājumam būs forma y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Tagad atradīsim konkrētu risinājumu lineārajam nehomogēnā diferenciālvienādojumam y ~:

d 2 g d t 2 - 3 d y d t + 2 g = 2

Vienādojuma labā puse ir nulles pakāpes polinoms. Tas nozīmē, ka mēs meklēsim konkrētu risinājumu formā y ~ = A, kur A ir nenoteikts koeficients.

Nenoteikto koeficientu varam noteikt no vienādības d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Tādējādi y ~ = 1 un y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Mēs atradām vienu nezināmu funkciju.

Tagad aizstāsim atrasto funkciju DE sistēmas 2. vienādojumā un atrisināsim jauno vienādojumu Tagad aizstāsim iepriekšējo aprēķinu rezultātu ar sistēmas 1. vienādojumu::
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Tātad mēs aprēķinājām otro nezināmo funkciju x (t) = - C 1 · e t + 1.

Atbilde: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter