Trīsstūra piemēra laukums. Trijstūra laukums. Vispārīgas formulas situācijai, kad ir zināmi ierakstīto vai ierobežoto apļu rādiusi

Lai noteiktu trīsstūra laukumu, varat izmantot dažādas formulas. No visām metodēm vienkāršākā un visbiežāk izmantotā ir augstuma reizināšana ar pamatnes garumu un pēc tam rezultātu dalīšana ar divi. Tomēr šī metode tālu no vienīgā. Zemāk varat lasīt, kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot dažādas formulas.

Atsevišķi mēs apsvērsim metodes, kā aprēķināt noteiktu veidu trīsstūrus - taisnstūrveida, vienādsānu un vienādmalu. Katrai formulai pievienojam īsu skaidrojumu, kas palīdzēs izprast tās būtību.

Universāli veidi, kā atrast trīsstūra laukumu

Tālāk sniegtajās formulās tiek izmantots īpašs apzīmējums. Mēs atšifrēsim katru no tiem:

• a, b, c ir aplūkojamās figūras trīs malu garumi;
• r ir apļa rādiuss, ko var ierakstīt mūsu trīsstūrī;
• R ir apļa rādiuss, ko var aprakstīt ap to;
• α - leņķa vērtība, ko veido malas b un c;
• β ir leņķis starp a un c;
• γ - leņķa vērtība, ko veido malas a un b;
• h ir mūsu trīsstūra augstums, nolaists no leņķa α uz malu a;
• p ir puse no malu a, b un c summas.

Ir loģiski skaidrs, kāpēc šādā veidā var atrast trīsstūra laukumu. Trijstūri var viegli pabeigt līdz paralelogramam, kurā viena trijstūra mala darbosies kā diagonāle. Paralelograma laukumu nosaka, reizinot vienas malas garumu ar tai novilktā augstuma vērtību. Diagonāle sadala šo nosacīto paralelogramu 2 identiskos trīsstūros. Tāpēc ir pilnīgi skaidrs, ka mūsu sākotnējā trīsstūra laukumam jābūt vienādam ar pusi no šī papildu paralelograma laukuma.

S=½ a b sin γ

Saskaņā ar šo formulu trijstūra laukumu nosaka, reizinot tā divu malu garumus, tas ir, a un b, ar to izveidotā leņķa sinusu. Šī formula ir loģiski atvasināta no iepriekšējās. Ja pazemina augstumu no leņķa β uz malu b, tad, atbilstoši taisnleņķa trijstūra īpašībām, malas a garumu reizinot ar leņķa γ sinusu, iegūstam trijstūra augstumu, t.i., h.

Aplūkojamās figūras laukums tiek noteikts, reizinot pusi no apļa rādiusa, ko tajā var ierakstīt, ar tā perimetru. Citiem vārdiem sakot, mēs atrodam minētā apļa pusperimetra un rādiusa reizinājumu.

S= a b c/4R

Saskaņā ar šo formulu mums vajadzīgo vērtību var atrast, dalot figūras malu reizinājumu ar 4 ap to norobežotā apļa rādiusiem.

Šīs formulas ir universālas, jo tās ļauj noteikt jebkura trīsstūra laukumu (mēroga, vienādsānu, vienādmalu, taisnleņķa). To var izdarīt, izmantojot sarežģītākus aprēķinus, pie kuriem mēs sīkāk nepakavēsimies.

Trīsstūru laukumi ar specifiskām īpašībām

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu? Šīs figūras iezīme ir tā, ka tās abas puses vienlaikus ir tās augstums. Ja a un b ir kājas un c kļūst par hipotenūzu, tad laukums tiek atrasts šādi:

Kā atrast apgabalu vienādsānu trīsstūris? Tam ir divas malas ar garumu a un viena mala ar garumu b. Tāpēc tā laukumu var noteikt, dalot ar 2 malas a kvadrāta reizinājumu ar leņķa γ sinusu.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu? Tajā visu malu garums ir a, un visu leņķu vērtība ir α. Tā augstums ir puse no malas garuma reizinājuma ar kvadrātsakni no 3. Lai atrastu regulāra trīsstūra laukumu, ir nepieciešams malas a kvadrāts, kas reizināts ar kvadrātsakni no 3 un dalīts ar 4.

Platības formula ir nepieciešams, lai noteiktu figūras laukumu, kas ir reālās vērtības funkcija, kas definēta uz noteiktas figūru klases Eiklīda plaknē un atbilst 4 nosacījumiem:

1. Pozitīvs — laukums nevar būt mazāks par nulli;
2. Normalizācija - kvadrāta ar vienotības malu laukums ir 1;
3. Kongruence - sakritīgām figūrām ir vienāds laukums;
4. Summitāte - 2 figūru savienojuma laukums bez kopīgiem iekšējiem punktiem ir vienāds ar šo figūru laukumu summu.

Trijstūra laukums. Daudzās ģeometrijas problēmās, kas saistītas ar laukumu aprēķināšanu, tiek izmantotas trīsstūra laukuma formulas. Ir vairāki no tiem, šeit mēs apsvērsim galvenos.Uzskaitīt šīs formulas būtu pārāk vienkārši un bezjēdzīgi. Mēs analizēsim galveno formulu izcelsmi, tās, kuras tiek izmantotas visbiežāk.

Pirms iepazīstaties ar formulu atvasināšanu, noteikti apskatiet rakstu par.Pēc materiāla izpētīšanas jūs varat viegli atjaunot formulas atmiņā (ja tās pēkšņi “izlido” jums vajadzīgajā brīdī).

Pirmā formula

Paralelograma diagonāle sadala to divos vienāda laukuma trīsstūros:

Tāpēc trīsstūra laukums būs vienāds ar pusi no paralelograma laukuma:

Trijstūra laukuma formula

* Tas ir, ja mēs zinām jebkuru trijstūra malu un augstumu, kas ir nolaists uz šo pusi, tad mēs vienmēr varam aprēķināt šī trīsstūra laukumu.

Otrā formula

Kā jau minēts rakstā par paralelograma laukumu, formulai ir šāda forma:

Trijstūra laukums ir puse no tā laukuma, tāpēc:

*Tas ir, ja ir zināmas kādas divas trijstūra malas un leņķis starp tām, mēs vienmēr varam aprēķināt šāda trīsstūra laukumu.

Gārņa formula (trešā)

Šo formulu ir grūti iegūt, un jums tā nav vajadzīga. Paskaties, cik viņa ir skaista, mēs varam teikt, ka viņu atceras.

*Ja ir dotas trīs trijstūra malas, tad, izmantojot šo formulu, mēs vienmēr varam aprēķināt tā laukumu.

Formula 4

kur rir ierakstītā apļa rādiuss

*Ja ir zināmas trīsstūra trīs malas un tajā ierakstītā riņķa rādiuss, tad vienmēr varam atrast šī trijstūra laukumu.

Piektā formula

kur Rir ierobežotā apļa rādiuss.

*Ja ir zināmas trīsstūra trīs malas un ierobežotā riņķa rādiuss, tad vienmēr varam atrast šāda trijstūra laukumu.

Rodas jautājums: ja ir zināmas trīsstūra trīs malas, vai nav vieglāk atrast tā laukumu, izmantojot Herona formulu!

Jā, tas ir vieglāk, bet ne vienmēr, dažreiz kļūst grūti. Tas ir saistīts ar sakņu ekstrakciju. Turklāt šīs formulas ir ļoti ērti izmantot uzdevumos, kur ir dots trijstūra laukums, ir dotas tā malas un jāatrod ierakstīta vai ierobežota apļa rādiuss. Šādi uzdevumi ir iekļauti eksāmenā.

Apskatīsim formulu:

Tas ir īpašs daudzstūra laukuma formulas gadījums, kurā ir ierakstīts aplis:

Apsveriet to piecstūra piemērā:

Mēs savienojam apļa centru ar šī piecstūra virsotnēm un nometam perpendikulu no centra uz tā malām. Mēs iegūstam piecus trīsstūrus, kur nomesti perpendikulu ir ierakstītā apļa rādiusi:

Piecstūra laukums ir:

Tagad ir skaidrs, ka, ja mēs runājam par trīsstūri, tad šī formula ir šāda:

Formula sestā

Ģeometriskais laukums- ģeometriskas figūras skaitlisks raksturlielums, kas parāda šīs figūras izmēru (virsmas daļa, ko ierobežo šīs figūras slēgta kontūra). Laukuma lielumu izsaka ar tajā esošo kvadrātvienību skaitu.

Trijstūra laukuma formulas

1. Trijstūra laukuma formula malai un augstumam
   Trijstūra laukums vienāds ar pusi reizinājuma no trijstūra malas garuma un augstuma garuma, kas novilkts uz šo malu
   
2. Formula trīsstūra laukumam, kas dotas trīs malas un ierobežotā apļa rādiusu
   
3. Formula trijstūra laukumam, kurā norādītas trīs malas un ierakstīta apļa rādiuss
   Trijstūra laukums ir vienāds ar trijstūra pusperimetra un ierakstītā riņķa rādiusa reizinājumu.
   
kur S ir trīsstūra laukums,
- trijstūra malu garumi,
- trijstūra augstums,
- leņķis starp sāniem un
- ierakstītā apļa rādiuss,
R - ierobežotā apļa rādiuss,

Kvadrātveida laukuma formulas

1. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā malas garumu
   kvadrātveida platība ir vienāds ar tā malas garuma kvadrātu.
2. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā diagonāles garumu
   kvadrātveida platība vienāds ar pusi no tās diagonāles garuma kvadrāta.
   

   S=	1	2
   	2

kur S ir kvadrāta laukums,
ir kvadrāta malas garums,
ir kvadrāta diagonāles garums.

Taisnstūra laukuma formula

Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu garumu reizinājumu

kur S ir taisnstūra laukums,
ir taisnstūra malu garumi.

Paralelograma laukuma formulas

1. Paralēlogrammas laukuma formula sānu garumam un augstumam
   Paralelogrammas laukums
2. Formula paralelograma laukumam, ņemot vērā divas malas un leņķi starp tām
   Paralelogrammas laukums ir vienāds ar tā malu garuma reizinājumu, kas reizināts ar leņķa starp tām sinusu.
   

   a b sinα

kur S ir paralelograma laukums,
ir paralelograma malu garumi,
ir paralelograma augstums,
ir leņķis starp paralelograma malām.

Romba laukuma formulas

1. Romba laukuma formula, kas norādīta sānu garumā un augstumā
   Rombu apvidus ir vienāds ar tās sānu garuma un uz šo pusi nolaistā augstuma reizinājumu.
2. Romba laukuma formula, ņemot vērā malas garumu un leņķi
   Rombu apvidus ir vienāds ar tā malas garuma kvadrāta un leņķa starp romba malām sinusa reizinājumu.
3. Romba laukuma formula no tā diagonāļu garumiem
   Rombu apvidus ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu garumu reizinājuma.
kur S ir romba laukums,
- romba malas garums,
- romba augstuma garums,
- leņķis starp romba malām,
1, 2 - diagonāļu garumi.

Trapeces laukuma formulas

1. Gārņa formula trapecveida formai

   kur S ir trapeces laukums,
   - trapeces pamatu garums,
   - trapeces malu garums,
   

Var atrast, zinot pamatni un augstumu. Visa shēmas vienkāršība slēpjas faktā, ka augstums sadala pamatni a divās daļās a 1 un a 2 un pašu trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros, kuru laukums tiek iegūts un. Tad visa trijstūra laukums būs divu norādīto laukumu summa, un, ja mēs izņemam pusi no augstuma no kronšteina, tad kopā mēs iegūstam pamatni:

Sarežģītāka aprēķinu metode ir Herona formula, kurai jāzina visas trīs puses. Šai formulai vispirms jāaprēķina trijstūra pusperimetrs: Pati Herona formula ietver pusperimetra kvadrātsakni, kas reizināta ar tās starpību katrā pusē.

Šī metode, kas attiecas arī uz jebkuru trīsstūri, ļauj atrast trijstūra laukumu caur divām malām un leņķi starp tām. Pierādījums tam izriet no formulas ar augstumu - uzvelkam augstumu uz jebkuru no zināmajām malām un caur leņķa α sinusu iegūstam, ka h=a⋅sinα . Lai aprēķinātu laukumu, reiziniet pusi augstuma ar otro pusi.

Vēl viens veids ir atrast trijstūra laukumu, kuram ir 2 leņķi, un malu starp tiem. Šīs formulas pierādījums ir diezgan vienkāršs, un to var skaidri redzēt no diagrammas.

Mēs pazeminām augstumu no trešā stūra augšdaļas uz zināmo pusi un attiecīgi izsaucam iegūtos segmentus x. No taisnie trīsstūri var redzēt, ka pirmais segments x ir vienāds ar reizinājumu