Klasiskā varbūtības definīcija pieņem, ka visi elementārie rezultāti vienlīdz iespējams. Eksperimenta rezultātu vienlīdzība tiek secināta, ņemot vērā simetrijas apsvērumus (kā monētas vai kauliņa gadījumā). Problēmas, kurās var izmantot simetrijas apsvērumus, praksē ir reti sastopamas. Daudzos gadījumos ir grūti sniegt iemeslu uzskatīt, ka visi elementārie rezultāti ir vienlīdz iespējami. Šajā sakarā kļuva nepieciešams ieviest citu varbūtības definīciju, ko sauc statistikas. Lai sniegtu šo definīciju, vispirms tiek ieviests notikuma relatīvā biežuma jēdziens.
Notikuma relatīvais biežums, vai biežums, ir to eksperimentu skaita attiecība, kuros noticis šis notikums, pret visu veikto eksperimentu skaitu. Notikuma biežumu apzīmēsim ar , tad pēc definīcijas
(1.4.1)
kur ir eksperimentu skaits, kuros noticis notikums, un visu veikto eksperimentu skaits.
Notikumu biežumam ir šādas īpašības.
Novērojumi ļāva konstatēt, ka relatīvajam biežumam ir statistiskās stabilitātes īpašības: dažādās polinomu testu sērijās (katrā no kurām šis notikums var parādīties vai nebūt), tas ņem vērtības, kas ir diezgan tuvu kādai konstantei. Šī konstante, kas ir parādības objektīvs skaitlisks raksturlielums, tiek uzskatīta par konkrētā notikuma iespējamību.
Varbūtība notikums ir skaitlis, ap kuru noteiktā notikuma biežuma vērtības ir sagrupētas dažādās virknēs ar lielu skaitu testu.
Šo varbūtības definīciju sauc statistikas.
Statistiskās definīcijas gadījumā varbūtībai ir šādas īpašības:
1) ticama notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu;
2) neiespējama notikuma varbūtība ir nulle;
3) nejauša notikuma varbūtība ir no nulles līdz vienam;
4) divu nesavienojamu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu.
1. piemērs. No 500 nejauši paņemtajām detaļām 8 bija bojātas. Atrodiet bojāto detaļu biežumu.
Risinājums. Tā kā šajā gadījumā = 8, = 500, tad saskaņā ar formulu (1.4.1) atrodam
2. piemērs. Kauliņš tiek izmests 60 reizes, kamēr seši parādījās 10 reizes. Kāds ir sastopamības biežums sešinieki?
Risinājums. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka = 60, = 10, tātad
3. piemērs. Starp 1000 jaundzimušajiem bija 515 zēni.Kāda ir zēnu dzimstība?
Risinājums. Tā kā šajā gadījumā , tad 
.
4. piemērs. 20 šāvienu rezultātā pa mērķi tika iegūti 15 trāpījumi. Kāds ir trāpījuma līmenis?
Risinājums. Tā kā = 20, = 15, tad
5. piemērs.Šaujot pa mērķi, trāpījuma līmenis = 0,75. Atrodiet sitienu skaitu ar 40 sitieniem.
Risinājums. No formulas (1.4.1.) izriet, ka . Tā kā = 0,75, = 40, tad . Tādējādi tika saņemti 30 trāpījumi.
6. piemērs. www.. No izsētajām sēklām uzdīgušas 970. Cik sēklas izsētas?
Risinājums. No formulas (1.4.1.) izriet, ka . Kopš tā laika . Tātad tika iesētas 1000 sēklas.
7. piemērs. Dabiskās sērijas segmentā no 1 līdz 20 atrodiet pirmskaitļu biežumu.
Risinājums. Uz norādītā naturālās skaitļu sērijas segmenta ir šādi pirmskaitļi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; kopā ir 8. Tā kā = 20, = 8, tad vēlamā frekvence
.
8. piemērs. Tika veiktas trīs simetriskas monētas vairākkārtējas mešanas sērijas, aprēķināts ģerboņa parādīšanās reižu skaits: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Atrodiet ģerboņa parādīšanās biežumu katrā testu sērijā.
Risinājums. Saskaņā ar formulu (1.4.1.) mēs atrodam:
komentēt.Šie piemēri liecina, ka atkārtotos izmēģinājumos notikuma biežums maz atšķiras no tā iespējamības. Ģerboņa parādīšanās varbūtība, metot monētu, ir p = 1/2 = 0,5, jo šajā gadījumā n = 2, m = 1.
9. piemērs. Starp 300 detaļām, kas ražotas uz automāta, bija 15, kas neatbilda standartam. Atrodiet nestandarta detaļu sastopamības biežumu.
Risinājums.Šajā gadījumā n = 300, m = 15, tātad
10. piemērs. Inspektors, pārbaudot 400 preču kvalitāti, konstatēja, ka 20 no tiem pieder otrajai šķirai, bet pārējās - pirmajai. Atrodiet pirmās šķiras izstrādājumu biežumu, otrās šķiras produktu biežumu.
Risinājums. Vispirms noskaidrosim pirmās šķiras izstrādājumu skaitu: 400 - 20 = 380. Tā kā n = 400, = 380, tad pirmās šķiras izstrādājumu biežums
Līdzīgi mēs atrodam otrās šķiras produktu biežumu:
Uzdevumi
- Tehniskās kontroles nodaļa atklāja 10 nestandarta izstrādājumus 1000 preču partijā. Atrodiet bojātu produktu ražošanas biežumu.
- Sēklu kvalitātes noteikšanai tika atlasītas un laboratorijas apstākļos iesētas 100 sēklas. Normāli sadīgušas 95 sēklas. Kāds ir normālas sēklu dīgtspējas biežums?
- Atrodi pirmskaitļu rašanās biežumu šādos naturālās rindas segmentos: a) no 21 līdz 40; b) no 41 līdz 50; c) no 51 līdz 70.
- Atrodiet cipara rašanās biežumu 100 simetriskas monētas metienos. (Veiciet eksperimentu pats).
- Atrodiet sešnieka biežumu 90 metienos ar kauliņu.
- Aptaujājot visus kursa studentus, nosakiet dzimšanas dienu biežumu katrā gada mēnesī.
- Atrodiet piecu burtu vārdu biežumu jebkurā laikraksta tekstā.
Atbildes
- 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.
Jautājumi
- Kas ir notikumu biežums?
- Kāds ir uzticama notikuma biežums?
- Kāds ir neiespējama notikuma biežums?
- Kādas ir nejauša notikuma biežuma robežas?
- Kāds ir divu nesaderīgu notikumu summas biežums?
- Kādu varbūtības definīciju sauc par statistisko?
- Kādas īpašības piemīt statistiskajai varbūtībai?
Varbūtība izpaužas, ja viens un tas pats nejaušais eksperiments tiek veikts vairākas reizes un tādā veidā, ka jau veikto eksperimentu rezultāti nekādā veidā neietekmē nākamos. Šādos apstākļos notikuma rašanās biežums ar neierobežotu eksperimentu skaita pieaugumu sliecas uz notikuma iespējamību.
Apsveriet nejaušu eksperimentu, kurā tiek mētāts no neviendabīga materiāla izgatavots matrica. Tās smaguma centrs neatrodas ģeometriskajā centrā. Šajā gadījumā mēs nevaram uzskatīt, ka rezultāti (viena, divi utt. zaudēšana) ir vienlīdz ticami. No fizikas ir zināms, ka kauls biežāk nokritīs uz sejas, kas atrodas tuvāk smaguma centram. Kā noteikt varbūtību iegūt, piemēram, trīs punktus? Vienīgais, ko varat darīt, ir ripināt šo kauliņu n reizes (kur n- Diezgan liels skaits, teiksim n=1000 vai n=5000), saskaitiet trīs izmesto punktu skaitu n 3 un uzskata, ka trīs punktu ripināšanas iznākuma varbūtība ir vienāda ar n 3/n- relatīvais trīs punktu iegūšanas biežums. Līdzīgā veidā var noteikt arī citu elementāru iznākumu varbūtības – viens, divi, četri utt.
Klasiskā varbūtības definīcija pieņem, ka visi elementārie rezultāti ir vienlīdz iespējami. Eksperimenta rezultātu vienlīdzība tiek secināta, ņemot vērā simetrijas apsvērumus (kā monētas vai kauliņa gadījumā). Problēmas, kurās var izmantot simetrijas apsvērumus, praksē ir reti sastopamas. Daudzos gadījumos ir grūti sniegt iemeslu uzskatīt, ka visi elementārie rezultāti ir vienlīdz iespējami. Šajā sakarā kļuva nepieciešams ieviest citu varbūtības definīciju, ko sauc par statistisko. Lai sniegtu šo definīciju, vispirms tiek ieviests notikuma relatīvā biežuma jēdziens.
Definīcija 18.2.2. Notikuma relatīvais biežums vai biežums , ko sauc par attiecību
eksperimentu skaits, kuros noticis šis notikums, pret visu veikto eksperimentu skaitu. Notikuma A biežumu apzīmēsim ar W(A), tad pēc definīcijas W(A)= m/n ,
kur m ir eksperimentu skaits, kuros parādījās notikums A; n- visu veikto eksperimentu skaits.
Notikumu biežumam ir šādas īpašības.
1. Nejauša notikuma biežums ir skaitlis starp nulli
un vienība:
0< W(A)< 1
2. Uzticama notikuma biežums Ω vienāds ar vienu:
W(Ω)= 1
3. Neiespējamā notikuma biežums Ø ir vienāds ar:
W(Ø)=0.
4. Divu nesaderīgu notikumu A un B summas biežums ir vienāds ar summu
šo notikumu biežums:
W(A+ B) = W(A)+ W(B)
Novērojumi ļāva konstatēt, ka relatīvajam biežumam ir statistiskās stabilitātes īpašības: dažādās polinomu testu sērijās (katrā no kurām šis notikums var parādīties vai nebūt), tas ņem vērtības, kas ir diezgan tuvu kādai konstantei. šī konstante, kas ir parādības objektīvs skaitlisks raksturlielums, tiek uzskatīta par dotā notikuma iespējamību.
Definīcija 18.2.3.( Notikuma statistiskā varbūtība ir skaitlis, ap kuru noteiktā notikuma biežuma vērtības ir sagrupētas dažādās virknēs ar lielu skaitu testu.
Stingrāk statistiskā varbūtība P( w i) definēts kā iznākuma relatīvā biežuma robeža w i nejaušo eksperimentu skaita neierobežotā pieauguma procesā n, tas ir
Kur m n(w i) – nejaušo eksperimentu skaits (no kopējā skaita n nejauši veikti eksperimenti), kuros fiksēta elementāra iznākuma iestāšanās w i.
Statistiskās definīcijas gadījumā varbūtībai ir tādas pašas īpašības kā varbūtībai, kas definēta saskaņā ar klasisko shēmu:
īpašības: 1) ticama notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu;
2) neiespējama notikuma varbūtība ir nulle; 3) varbūtība
nejaušs notikums atrodas starp nulli un vienu; 4) varbūtība
divu nesavienojamu notikumu summa ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu.
Piemērs. No 500 nejauši paņemtajām detaļām 10 bija bojātas. Kāds ir bojāto detaļu biežums?
W = 10/500 = 1/50 = 0,2
Ģeometriskā varbūtība
Klasiskā varbūtības definīcija pieņem, ka elementāro rezultātu skaits ir ierobežots. Praksē ir eksperimenti, kuriem šādu rezultātu kopums ir bezgalīgs.
Lai pārvarētu klasiskās varbūtības definīcijas trūkumu, proti, ka tā nav piemērojama testiem ar bezgalīgu rezultātu skaitu, tiek ieviestas ģeometriskās varbūtības - varbūtības, ka punkts iekrīt reģionā.
Ļaujiet eksperimentam sastāvēt no punkta nejaušas izvēles no noteikta apgabala. Mēs pieņemam, ka jebkura punkta izvēle ir vienlīdz iespējama. Mēs apzīmējam apgabalu, ko telpā definē W. Eksperimentā, kurā nejauši izvēlēts tikai viens punkts no W, kopa W ir elementāru notikumu telpa. Šajā gadījumā nejaušus notikumus var uzskatīt par atšķirīgām apakškopām no W. Teiksim, ka nejaušs notikums A ir noticis, ja nejauši izvēlēts punkts x pieder pie apakškopas A, t.i.
Definīcija 18.2.4.
Lai W ir kāds segments, L tā garums. A – garuma segments l, kas pieder W . Notikums A sastāv no punkta, kas tiek iemests lielā segmentā ar sitienu A. Tad
Tāpat, ja nejauša eksperimenta elementāro rezultātu kopa W ir figūra plaknē ar laukumu S un apgabalu A, tās apakškopai, kurā nejauši uz W uzmests punkts var nokrist, ir laukums s, atbilstošā notikuma A varbūtība. - tad iekrīt A reģionā
Un visbeidzot, ja mēs runājam par tilpuma skaitļiem, attiecīgi, V tilpuma W un iekļauto tilpuma v reģionu A
Piezīme 18.2.3.. Stingri sakot, šeit aplūkotā pieeja prasa vairāk vispārīgās īpašības kopas (funkcijas) – tās mēri ( mes(A)), kuru īpašie gadījumi ir garums, laukums un tilpums, un tad notikuma A varbūtība būs kopas A mēra attiecība pret kopas W mēru.
1. piemērs. Kvadrātiņā ir ierakstīts aplis. Punkts tiek nejauši iemests laukumā. Kāda ir varbūtība, ka tas iekritīs aplī? Saskaņā ar iepriekš minēto formulu atbilstošā varbūtība būs apļa laukuma attiecība pret kvadrāta laukumu.
Piemērs 2. Divi cilvēki pusdieno kafejnīcā pusdienu pārtraukumā, kas sākas vienlaicīgi un ilgst 1 stundu no 12 līdz 13 stundām. Katrs no viņiem ierodas nejaušā laikā un pusdieno 10 minūšu laikā. Kāda ir viņu tikšanās iespējamība?
Ļaujiet x- pirmais ierašanās laiks kafejnīcā, un y- otrā ierašanās laiks. Viņi var satikties tikai tad, kad abi atrodas kafejnīcā.
Ja otrais ierodas ne vēlāk kā pirmais ( x ³ y), tad tikšanās notiks ar nosacījumu 0 £ x - y£1/6..
Tādējādi pirmajā gadījumā mūs apmierinās nosacījums y£ x+ 1/6, un otrajā
y ≥ x- 1/6. Apgabals, kas atbilst šiem diviem nosacījumiem, ir iekrāsots attēlā. 2
Citiem vārdiem sakot, ģeometriskās varbūtības ziņā satikšanās varbūtība ir ēnotās “sloksnes” laukuma attiecība starp taisnām līnijām. y= x+ 1/6 un y = x- 1/6 laukuma iekšpusē līdz paša laukuma laukumam.
Nepieciešamā varbūtība lpp vienāds ar ēnotā laukuma laukuma attiecību pret visa kvadrāta laukumu. Laukuma laukums ir vienāds ar vienu, un ēnotā laukuma laukumu var definēt kā starpība starp vienu un abu trīsstūru kopējo laukumu, kas parādīts 7. attēlā. No tā izriet:
Notikuma rašanās varbūtība A ir skaitlis, kas vienāds ar notikumam labvēlīgo gadījumu skaita attiecību A, uz kopējo lietu skaitu (iznākumi, izredzes vai elementāri notikumi).
Varbūtība ( R)
Kur n - kopējais lietu skaits, m - notikumam labvēlīgu gadījumu skaits A.
Neiespējama notikuma varbūtība:
Noteikta notikuma varbūtība:
Jebkura nejauša notikuma varbūtība:
0 ≤ P (A ) ≤ 1
Statistiskā varbūtības definīcija
Statistiskā varbūtība notikumiem A sauca relatīvais biežums notikuma rašanās n - veikti testi.
Pieredzētā (eksperimentālā) varbūtība:
Līdz ar to ir daļa no tiem faktiski veiktajiem testiem, kuros notikums A parādījās. plkst. P(A) ≈ (A)
1. piemērs.
Kastītē ir 7 zilas, 8 sarkanas un 5 zaļas bumbiņas.
Risinājums:
Pasākums A- zaļumballe;
2. piemērs.
Kastē ir 100 elektriskās lampas, no kurām 5 ir bojātas.
Risinājums:
Pasākums A- par laimi izvēlētās 2 elektriskās lampas darbojas pareizi.
3. piemērs.
Kastītē ir 10 bumbiņas: 6 baltas un 4 melnas.
Atrast:
Varbūtība, ka no piecām nejauši paņemtajām bumbiņām būs 4 baltas.
Risinājums:
Noskaidrosim labvēlīgo iznākumu skaitu: veidu skaits, kā no 6 pieejamajām bumbiņām var paņemt 4 baltas bumbiņas, ir vienāds ar:
Kopējo rezultātu skaitu nosaka kombināciju skaits no 10 līdz 5:
Nepieciešamā varbūtība P = 15/252 ≈ 0,06.
Ģeometriskā varbūtība, tas ir, varbūtība, ka punkts iekritīs noteiktā apgabalā, segmentā, plaknes daļā.
Ģeometriskā varbūtība notikumiem A sauc par notikumam labvēlīgās platības lieluma attiecību A, visā reģionā.
Kur mes-mērs (apgabala garums, platība, tilpums).
4. Notikumu algebra. Darbības nejaušos notikumos.
1. definīcija. Divu notikumu summa A Un B sauc par notikumu C, kas sastāv no vismaz viena pasākuma īstenošanas A vai B.
Ir divi iespējamie gadījumi:
1. Ja A Un B tad tie ir nesaderīgi A+B nozīmē, kas notiks vai A, vai IN.
2. Ja A Un B locītavu, tad A+B nozīmē, kas notiks vai A, vai B, vai A Un B vienlaikus.
2. definīcija. Divu notikumu rezultāts A Un B sauc par notikumu C, kas sastāv no vienlaicīgas notikumu rašanās A Un B.
1. piemērs. No kāršu klāja nejauši tika izvilkta viena kārts.
Pasākums A- Karalienes karte.
Pasākums B‒ pīķa uzvalks.
Tad A + B‒ izvilkta kārts vai dāma, vai pīķa formas kārts, vai pīķa dāma.
AB‒ Pīķa dāmas karte izņemta.
Pasākumu veidošanas noteikums.
Ja kāds objekts A var izvēlēties m- veidos un pēc katras šādas izvēles cits objekts B var izvēlēties k ‒ veidi, tad objektu pāri A Un B vienlaicīgi" varat izvēlēties mk- veidos.
2. piemērs.
50 biļešu loterijā ir 8 laimētās biļetes.
Atrodiet varbūtību, ka no pirmajām 5 nejauši izvēlētajām biļetēm laimēs 2.
Risinājums:
50 - 8 = 42 - neuzvarētās biļetes.
Pasākums A- starp pirmajām 5 biļetēm uzvar 2.
3. piemērs.
Kastītē ir 10 standarta un 5 nestandarta daļas.
Kāda ir varbūtība, ka starp 6 nejauši paņemtām daļām būs 4 standarta un 2 nestandarta?
Risinājums:
Kopējais rezultātu skaits ir
Labvēlīgo rezultātu skaitu nosaka produkts
kur pirmais faktors atbilst opciju skaitam 4 standarta detaļu izņemšanai no 10 no kastes, bet otrais faktors atbilst opciju skaitam 2 nestandarta detaļu izņemšanai no piecām no kastes. No tā izriet, ka vēlamā varbūtība ir vienāda ar
Praktiskai darbībai ir jāspēj salīdzināt notikumus pēc to rašanās iespējamības pakāpes. Apskatīsim klasisku gadījumu. Urnā ir 10 bumbiņas, no tām 8 baltas, 2 melnas. Acīmredzot notikumam “no urnas tiks izvilkta balta bumbiņa” un notikumam “no urnas tiks izvilkta melna bumba” ir dažādas rašanās iespējamības pakāpes. Tāpēc, lai salīdzinātu notikumus, ir nepieciešams noteikts kvantitatīvs pasākums.
Notikuma iespējamības kvantitatīvais mērs ir varbūtība . Visplašāk lietotās notikuma varbūtības definīcijas ir klasiskās un statistiskās.
Klasiskā definīcija varbūtība ir saistīta ar labvēlīga iznākuma jēdzienu. Apskatīsim to sīkāk.
Lai kāda testa rezultāti veido pilnīgu notikumu grupu un ir vienlīdz iespējami, t.i. unikāli iespējams, nesaderīgs un vienlīdz iespējams. Tādus rezultātus sauc elementāri rezultāti, vai gadījumiem. Mēdz teikt, ka pārbaude beidzas līdz gadījuma shēma vai " urnu shēma", jo Jebkuru šāda testa varbūtības problēmu var aizstāt ar līdzvērtīgu problēmu ar dažādu krāsu urnām un bumbiņām.
Rezultāts tiek saukts labvēlīgs notikumu A, ja šī gadījuma iestāšanās ir saistīta ar notikuma iestāšanos A.
Saskaņā ar klasisko definīciju notikuma varbūtība A ir vienāds ar šim notikumam labvēlīgo iznākumu skaita attiecību pret kopējo iznākumu skaitu, t.i.
| , | (1.1) |
Kur P(A)- notikuma varbūtība A; m– notikumam labvēlīgu gadījumu skaits A; n– kopējais lietu skaits.
Piemērs 1.1. Metot kauliņus, ir seši iespējamie iznākumi: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punkti. Kāda ir varbūtība iegūt pāra punktu skaitu?
Risinājums. Visi n= 6 iznākumi veido pilnīgu notikumu grupu un ir vienlīdz iespējami, t.i. unikāli iespējams, nesaderīgs un vienlīdz iespējams. Notikumam A - "pāra punktu skaita parādīšanās" - labvēlīgi ir 3 iznākumi (gadījumi) - 2, 4 vai 6 punktu zaudēšana. Izmantojot klasisko formulu notikuma varbūtības noteikšanai, mēs iegūstam
P(A) = = . ◄
Pamatojoties uz klasisko notikuma varbūtības definīciju, mēs atzīmējam tās īpašības:
1. Jebkura notikuma varbūtība ir no nulles līdz vienam, t.i.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Uzticama notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu.
3. Neiespējama notikuma varbūtība ir nulle.
Kā minēts iepriekš, klasiskā varbūtības definīcija ir piemērojama tikai tiem notikumiem, kas var rasties tādu testu rezultātā, kuriem ir iespējamo iznākumu simetrija, t.i. reducējams līdz gadījumu modelim. Tomēr ir liela notikumu klase, kuru varbūtības nevar aprēķināt, izmantojot klasisko definīciju.
Piemēram, ja pieņemam, ka monēta ir saplacināta, tad ir acīmredzams, ka notikumus “ģerboņa parādīšanās” un “galvu parādīšanās” nevar uzskatīt par vienlīdz iespējamiem. Tāpēc formula varbūtības noteikšanai pēc klasiskās shēmas šajā gadījumā nav piemērojama.
Tomēr ir arī cita pieeja notikumu iespējamības novērtēšanai, pamatojoties uz to, cik bieži konkrētais notikums notiks veiktajos izmēģinājumos. Šajā gadījumā tiek izmantota statistiskā varbūtības definīcija.
Statistiskā varbūtībanotikums A ir šī notikuma rašanās relatīvais biežums (biežums) n veiktos izmēģinājumos, t.i.
 ,
| (1.2) |
Kur P*(A)– notikuma statistiskā varbūtība A; w(A)– notikuma relatīvais biežums A; m– izmēģinājumu skaits, kuros noticis notikums A; n– kopējais pārbaužu skaits.
Atšķirībā no matemātiskās varbūtības P(A), aplūkots klasiskajā definīcijā, statistiskā varbūtība P*(A) ir īpašība pieredzējis, eksperimentāls. Citiem vārdiem sakot, notikuma statistiskā varbūtība A ir skaitlis, ap kuru relatīvā frekvence ir stabilizēta (iestatīta) w(A) ar neierobežotu to pārbaužu skaita pieaugumu, kuras veic ar tiem pašiem nosacījumiem.
Piemēram, kad viņi saka par šāvēju, ka viņš trāpa mērķī ar varbūtību 0,95, tas nozīmē, ka no simtiem šāvienu, ko viņš izšāvis noteiktos apstākļos (tas pats mērķis tādā pašā attālumā, tā pati šautene utt. . ), vidēji ir aptuveni 95 veiksmīgi. Likumsakarīgi, ka ne katram simtam būs 95 veiksmīgi metieni, brīžiem būs mazāk, citreiz vairāk, bet vidēji, šaujot vairākas reizes vienādos apstākļos, šis sitienu procents paliks nemainīgs. Skaitlis 0,95, kas kalpo kā šāvēja meistarības rādītājs, parasti ir ļoti stabils, t.i. trāpījumu procentuālā daļa vairumā šāvēju būs gandrīz vienāda konkrētajam šāvējam, tikai retos gadījumos ievērojami novirzoties no vidējās vērtības.
Vēl viens klasiskās varbūtības definīcijas trūkums ( 1.1 ) ierobežo tā izmantošanu, jo tajā tiek pieņemts ierobežots iespējamo testa rezultātu skaits. Dažos gadījumos šo trūkumu var pārvarēt, izmantojot ģeometrisko varbūtības definīciju, t.i. punkta varbūtības atrašana noteiktā apgabalā (segments, plaknes daļa utt.).
Lai plakana figūra g veido daļu no plakanas figūras G(1.1. att.). Fit G nejauši tiek izmests punkts. Tas nozīmē, ka visi punkti reģionā G“vienādas tiesības” attiecībā uz to, vai nejauši izmests punkts trāpa. Pieņemot, ka notikuma varbūtība A– izmestais punkts trāpa figūrā g- ir proporcionāls šī attēla laukumam un nav atkarīgs no tā atrašanās vietas attiecībā pret G, ne no formas g, mēs atradīsim
Iepriekš tika atzīmēts, ka klasiskā varbūtības definīcija ir piemērojama tikai tiem notikumiem, kas var rasties tādu testu rezultātā, kuriem ir iespējamo iznākumu simetrija, t.i. reducējams līdz gadījumu modelim. Tomēr ir liela notikumu klase, kuru varbūtības nevar aprēķināt, izmantojot klasisko definīciju.
Pirmkārt, tie ir notikumi, kas nav vienādi iespējamie testa rezultāti. Piemēram, ja monēta ir saplacināta, tad, protams, notikumus “ģerboņa izskats” un “galvu izskats”, metot monētu, nevar uzskatīt par vienlīdz iespējamiem, un formula ( 1. 1) iespējamības aprēķināšanai kāds no tiem nebūs piemērojams.
Bet ir arī cita pieeja notikumu iespējamības novērtēšanai, pamatojoties uz to, cik bieži konkrētais notikums parādīsies veiktajos testos.
Statistiskā varbūtība notikumu A sauc par relatīvo biežumu (biežums) šī notikuma rašanās n veiktos izmēģinājumos, t.i.
Kur R(L)- notikuma statistiskā varbūtība A; w(A)- notikuma relatīvais biežums (biežums). Plkst- izmēģinājumu skaits, kuros notikums noticis A;p- kopējais pārbaužu skaits.
Atšķirībā no "matemātiskās" varbūtības P(A), uzskatīts klasiskajā definīcijā ( 1. 1), statistiskā varbūtība P(L) ir raksturlielums pieredzējis, eksperimentāls. Ja P(A) ir daļa no notikumam A labvēlīgu gadījumu, kas tiek noteikts tieši, bez jebkādām pārbaudēm, tad PIA) ir to faktiski veikto pārbaužu īpatsvars, kurās notikums A parādījās.
Saskaņā ar statistikas definīciju notikuma varbūtība ir limits 1 notikuma relatīvais biežums (biežums) ar neierobežotu izmēģinājumu skaita pieaugumu, t.i.
Tas nozīmē, ka ar pietiekami lielu testu skaitu P mēs to varam pieņemt 
Statistiskā varbūtības definīcija, kā arī varbūtības teorijas jēdzieni un metodes kopumā ir piemērojamas nevis jebkuriem notikumiem ar nenoteiktu iznākumu, kas ikdienas praksē tiek uzskatīti par nejaušiem, bet tikai tiem, kuriem ir noteiktas īpašības un.
1. Attiecīgajiem notikumiem ir jābūt tikai to testu rezultāti, kurus var reproducēt neierobežotu skaitu reižu vienā un tajā pašā nosacījumu kopumā. Tā, piemēram, nav jēgas izvirzīt jautājumu par karu uzliesmojuma varbūtības noteikšanu, izcilu mākslas darbu parādīšanos utt., jo mēs runājam par testiem un unikāliem notikumiem, kas ir unikāli tādos pašos apstākļos. . Vai, piemēram, nav jēgas teikt, ka konkrētais students nokārtos semestra eksāmenu varbūtību teorijā, jo mēs runājam par vienu ieskaiti, kuru nevar atkārtot ar tādiem pašiem nosacījumiem.
Un, lai gan piemēros minētie notikumi ar nenoteiktu iznākumu pieder pie kategorijas “var notikt vai nenotikt”, varbūtības teorija neaplūko šādus notikumus.
2. Pasākumiem jābūt t.s statistiskā stabilitāte, vai relatīvo frekvenču stabilitāte. Tas nozīmē, ka dažādās testu sērijās notikuma relatīvais biežums (biežums) nedaudz mainās (jo mazāk, jo mazāk lielāks skaits testi), svārstās ap konstantu skaitli. Izrādījās, ka šis nemainīgais skaitlis ir notikuma varbūtība (tas ir aplūkots Bernulli teorēmā, kas sniegta 6. nodaļā).
Faktu, ka notikuma relatīvais biežums jeb biežums tuvojas tā varbūtībai (1.1), palielinoties pārbaužu skaitam, kas samazināts līdz gadījumu shēmai, apstiprina daudzi veiktie masu eksperimenti. dažādas personas kopš varbūtības teorijas rašanās. Tā, piemēram, Bufoja eksperimentos (XVIII gadsimts) ģerboņa parādīšanās relatīvais biežums (biežums) ar 4040 monētas metieniem izrādījās vienāds ar 0,5069, Pīrsona (XIX gs.) eksperimentos. ) ar 23 000 metieniem - 0,5005, praktiski neatšķiras no šī notikuma varbūtības ir 0,5.
3. Pārbaužu skaits, kā rezultātā parādās notikums A, jābūt pietiekami lielam, jo tikai šajā gadījumā mēs varam apsvērt notikuma iespējamību P(A) aptuveni vienāds ar tā relatīvo biežumu.
Apkopojot, mēs varam teikt, ka varbūtības teorija pēta tikai šādus notikumus, saistībā ar kuriem ir jēga ne tikai apgalvojumam par to nejaušību, bet iespējams arī objektīvi novērtēt to sastopamības relatīvo biežumu. Tātad apgalvojums, ka tad, kad ir izpildīts noteikts nosacījumu kopums? notikuma varbūtība ir p, kas nozīmē ne tikai notikuma negadījums L, bet arī noteikti, diezgan tuvu R, notikuma A gadījumu īpatsvars daudzos izmēģinājumos; kas nozīmē, ka tas pauž noteiktu mērķi(lai arī savdabīgi) saikne starp nosacījumu kopumu 5* un pasākums A(neatkarīgi no subjektīviem spriedumiem par konkrētas personas šīs saiknes esamību). Un pat tikai varbūtības esamība R(kad pati nozīme R nezināms) kvalitatīvi saglabā šī apgalvojuma būtību, kas izcelta slīprakstā.
Ir viegli pārbaudīt, vai varbūtības īpašības (sk. (1.2)) izriet no klasiskās definīcijas ( 1. 1), tiek saglabāti arī statistiskajā varbūtības noteikšanā (1,3").
Līdzās klasiskajām un statistiskajām varbūtības definīcijām matemātiķi dažkārt uzskata arī t.s subjektīvā varbūtība kā pārliecības pakāpi par konkrēta notikuma iestāšanos, pamatojoties uz ekspertu atzinumu apstrādi. Izmantojot šo pieeju, mēs varam runāt par unikālu notikumu rašanās subjektīvo varbūtību (vai drīzāk subjektīvo iespēju) - rezultātiem (rezultātiem), kas ir unikāli tajos pašos testa apstākļos. Subjektīvo varbūtību var izmantot, piemēram, prognozējot aktīvu atdevi, peļņu no ieguldījumiem utt.
- Koncepcija, t.i. konverģence, varbūtību teorijā būtiski atšķiras no matemātiskās analīzes gaitā aplūkotās klasiskās (sīkāk sk. 6.3., 6.4. punktā).
- Lietišķajā literatūrā šādu notikumu ar nenoteiktu iznākumu īpašību izpildi reālajā pētāmajā realitātē dažkārt sauc par statistikas ansambļa darbības nosacījumiem.
