«Решение задач на применение теоремы о сумме углов треугольника и теоремы о внешнем угле треугольника. Решение задач. "Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника" тренажёр по математике (7 класс) на тему Поиск доказательства теоремы

Сумма углов треугольника

С умма углов произвольного треугольника равна 180 о.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

В треугольнике ABC угол A равен 30 o , угол B равен 90 o . Найдите угол C .

Ответ: 60 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

В треугольнике ABC угол A равен 40 o , внешний угол при вершине B равен 10 0 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 о.

Упражнение 3

В треугольнике ABC угол A равен 40 o . Внешний угол при вершине B равен 7 0 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3 0 о.

Упражнение 4

В треугольнике ABC угол A равен 40 o , AC = BC . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 100 о.

Упражнение 5

В треугольнике ABC угол C равен 12 0 o , AC = BC . Найдите угол A .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 30 о.

Упражнение 6

В треугольнике ABC AC = BC , угол C равен 50 o . Найдите внешний угол CBD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 115 о.

Упражнение 7

В треугольнике ABC AC = BC . Внешний угол при вершине B равен 12 0 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 о.

Упражнение 8

В треугольнике ABC AB = BC . Внешний угол при вершине B равен 1 4 0 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 70 о.

Упражнение 9

Один из внешних углов треугольника равен 8 0 о. У глы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 48 о.

Упражнение 10

О дин из углов равнобедренного треугольника равен 100 о. Найдите один из других его углов.

Ответ: 40 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1 1

Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 30 o . Найдите этот третий угол.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 165 o .

Упражнение 12

Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите меньший из них.

Ответ: 3 0 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 13

Один острый угол прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Найдите больший острый угол.

Ответ: 75 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 14

Один острый угол прямоугольного треугольника на 20 о больше другого. Найдите меньший острый угол.

Ответ: 35 о.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1 5

В треугольнике АВС угол C равен 9 0 o , CH – высота, угол A равен 35 o . Найдите угол BCH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 35 о.

Упражнение 1 6

В треугольнике АВС угол А = 65 o , угол В = 73 o , CH – высота. Найдите разность углов ACH и BCH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 8 о.

Упражнение 1 7

В треугольнике АВС угол А равен 30 o , CH – высота, угол BCH равен 20 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 40 о.

Упражнение 1 8

В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 5 0 o , угол CAD равен 30 o . Найдите угол B .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 70 о.

Упражнение 1 9

В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 3 0 o , угол BAD равен 20 o . Найдите угол ADB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 50 о.

Упражнение 20

В треугольнике АВС AC = BC , AD – высота, угол BAD равен 25 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 50 о.

Упражнение 21

В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o , угол B равен 60 o . Найдите угол ACD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 30 о.

Упражнение 22

В треугольнике ABC угол A равен 70 o , BD и CE O . Найдите угол DOE .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 110 o .

Упражнение 23

Два угла треугольника равны 60 о и 70 о. Как ой уг ол образуют между собой высоты, выходящие из вершин этих углов?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 5 0 o .

Упражнение 2 4

В треугольнике ABC угол C равен 60 o , AD и BE O . Найдите угол AOB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 120 o .

Упражнение 2 5

Острый угол прямоугольного треугольника равен 30 о. Найдите уг ол, образованны й биссектрисами этого и прямого углов треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 o .

Упражнение 2 6

Найдите углы между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 4 5 o .

Упражнение 2 7

В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, угол BAD равен 25 o . Найдите угол AOC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 115 о.

Упражнение 2 8

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD . Найдите меньший угол треугольника ABC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 36 o .

Упражнение 29

В треугольнике АВС угол А равен 48 o , угол C равен 56 o . На продолжении стороны А B отложен отрез ок BD = ВС . Найдите уг ол D треугольника BCD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 38 о.

Упражнение 30

Острые углы прямоугольного треугольника равны 30 о и 60 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 15 о.

Упражнение 31

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 2 0 о. Найдите меньший остры й уг ол данного треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 25 о.

Упражнение 32

Острые углы прямоугольного треугольника равны 25 о и 65 о. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 40 о.

Упражнение 33

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 30 о. Найдите больший из острых углов этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 о.

Упражнение 34

Острые углы прямоугольного треугольника равны 25 о и 65 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 20 о.

Упражнение 35

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 15 о. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 30 о.

Упражнение 36

В треугольнике ABC угол B равен 4 5 o , угол C равен 8 0 o , AD – биссектриса, AE = AC . Найдите угол BDE .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 35 o .

Упражнение 37

В треугольнике ABC угол A равен 30 o , угол B равен 85 o , CD – биссектриса внешнего угла, С E = BC . Найдите угол BDE .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 55 o .

Упражнение 38

В треугольнике ABC угол A равен 60 o , угол B равен 80 o . AD , BE и CF – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 50 o .

Упражнение 39

В треугольнике ABC угол A равен 60 o , угол B равен 80 o . AD , BE и CF – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 80 o .

Упражнение 40

На рисунке угол 1 равен 45 о, угол 2 равен 90 о, угол 3 равен 30 о. Найдите угол 4.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 120 о.

Упражнение 41

В треугольнике ABC угол A равен 30 o , внешний угол при вершине B равен 100 o . Найдите угол C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 70 о.

Упражнение 42

Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 40 о.

Упражнение 43

Один острый угол прямоугольного треугольника на 30 о больше другого. Найдите больший острый угол.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 о.

Упражнение 44

В треугольнике АВС угол C равен 90 o , CH – высота, угол A равен 30 o . Найдите угол BCH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 30 о.

Упражнение 45

В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 40 o , угол CAD равен 30 o . Найдите угол B .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 80 о.

Упражнение 46

В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o , угол B равен 50 o . Найдите угол ACD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 40 о.

Упражнение 47

В треугольнике ABC угол A равен 60 o , BD и CE – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол DOE .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 120 о.

Упражнение 48

В треугольнике ABC угол C равен 70 o , AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 125 о.

Упражнение 49

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 20 о. Найдите больший из острых углов этого треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 55 о.

Упражнение 50

Острые углы прямоугольного треугольника равны 20 о и 70 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 25 о.

Упражнение 51

В треугольнике ABC угол A равен 50 o , угол B равен 70 o . AD , BE и CF – биссектрисы, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOF .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 55 о.

Упражнение 52

В треугольнике ABC угол A равен 50 o , угол B равен 70 o . AD и BE – высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол AOB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

1.
2.
3.
Изучить теорему о сумме углов
треугольника
Уметь применять теорему к
решению задач
Развивать умение решать задачи
по готовым чертежам

10.

11.

12.

13.

14. Самостоятельная работа

Цели урока:

• познакомить учащихся с теоремой о сумме углов треугольника, провести классификацию треугольников по углам;
• рассмотреть применение теоремы к решению задач.

Задачи урока:

Обучающая:

• сформулировать и рассмотреть план доказательства теоремы о сумме углов треугольника;
• провести классификацию треугольников по углам;
• рассмотреть задачи на применение доказанного утверждения.

Развивающая: умение анализировать, обобщать полученные знания, развивать математическую речь.

Воспитывающая:

• воспитывать познавательную активность, культуру общения;
• воспитывать уважение к историческому наследию в области математики.

Тип урока: частично поисковый.

Метод: исследование с применением теоретических знаний.

Оборудование:

• мультипроектор;
• презентация;
• раздаточный материал, задание – карточка для отработки теоремы при решении задач.

Межпредметные связи: история.

Применение здоровьесберегающих технологий на уроке:

• смена видов деятельности;
• развитие слухового и зрительного анализаторов у каждого ребёнка.

План урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте, садитесь. (Презентация. Слайд 1)

Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем отгадок,
И поискам предела нет.

2. Актуализация знаний.

Вспомним всё, что понадобится сегодня на уроке.

DBE – развёрнутый.

Слайд 2.

2) Свойства равнобедренного треугольника. Hайти 1 .

1 = 70°

Сформулируйте утверждение обратное свойству равнобедренного треугольника.

3) свойства параллельных прямых.

Слайд 4

2 = 43° 1 = 60°

– Как накрест лежащие углы.

ABF – равнобедренный

BD – биссектриса CBF

сумму углов ABF

Случайно ли сумма углов ABF оказалась равной 180° или этим свойством обладает любой треугольник? (У любого треугольника сумма углов равна 180°. )

Это утверждение носит название теоремы о сумме углов треугольника.

Итак, тема урока: Сумма углов треугольника. Слайд 6, 7, 8.

Часто знает и дошкольник,
Что такое треугольник.
А уж вам – то как не знать…
Но совсем другое дело –
Очень быстро и умело
Величины всех углов
В треугольнике узнать.

Чтобы находить быстро и правильно углы в любом треугольнике, нужно рассмотреть теорему о сумме всех углов треугольника. Вот этим мы и займёмся сейчас на уроке.

Цели:

– рассмотреть план доказательства теоремы о сумме углов треугольника;
– провести классификацию треугольников по углам;
– научиться применять теорему о сумме углов треугольника при решении задач.

• Историческая справка о теореме “сумма углов треугольника”.

Свойство суммы углов треугольника было эмпирически, т. е. установлено опытным путём, вероятно, ещё в Древнем Египте, однако дошедшие до нас сведения о разных его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к “Началам” Евклида. Слайды 9,10.

Доказать:

A + B + C = 180°

План доказательства:

Т.к. в условии теоремы недостаточно данных для доказательства, то возникает вопрос о введении вспомогательного элемента (дополнительного построения – это построение прямой). Такие же ситуации возникают, когда недостаточно данных для решения задач.

а) Построить DE AC через вершину B ABC
б) Отметить 1, 2, 3.

2) Доказать, что A = 1, C = 3

A = 1 как накрест лежащие углы при DE AC,

AB – секущая.

3) Доказать, что 1 + 2 + 3 = 180°;

значит, A + 2 + C = 180°

DBE – развёрнутый

Итак, 1 + 2 + 3 = 180°

А т.к. как накрест лежащие углы при DE AC

Значит, A + 2 + C = 180°

Теорема доказана.

4)Какие треугольники различают по сторонам? (Равнобедренный, равносторонний, разносторонний.)

Треугольники классифицируют не только по сторонам, но и по углам. Сначала поговорим об углах.

– Что такое угол? (Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называются сторонами угла, а точку – вершиной угла.)
– Какой угол называют прямым? (Угол, величина которого равна 90º.)
– Какой угол называют развёрнутым? (Угол, величина которого равна 180º.)
– Какой угол называют острым? (Угол, величина которого меньше 90º.)
– Какой угол называют тупым? (Угол, величина которого больше 90º, но меньше 180º.)

Таким образом углы бывают острые, прямые, тупые, развёрнутые.

Начертите в тетради три угла: острый, тупой и прямой. Достройте рисунок до треугольника.

– Что для этого надо сделать? (Взять по точке на сторонах угла и соединить их.)
– Какие получились треугольники? (Тупоугольный, прямоугольный, остроугольный.)

Слайд 13–16.

Устный тест: Слайд 17 тест взят – “Поурочные разработки по геометрии 7 класс, Гаврилова Н.Ф., М.: ВАКО, 2006”.

1) В треугольнике АВС, А = 90°, при этом другие два угла могут быть:

а) один острый, а другой может быть прямым;
б) оба острые;
в) один острый, а другой может быть тупым.

2) В треугольнике АВС, В – тупой, при этом другие два угла могут быть:

а) только острыми;
б) острый и прямой;
в) острый и тупой.

3) В остроугольном треугольнике могут быть:

а) все углы острые;
б) один тупой и 2 острых угла;
в) один прямой и 2 острых угла.

Проверка по Слайду 18, 19, 20.

5) Выдаются карточки с заданием. Назначается время для самостоятельного выполнения – 7 минут. Затем проверяется через мультимедиа.

Отработка навыков по готовым чертежам: Слайд 21–30.

Найти 1 , 2.

6)Вывод урока:

– По видам углов рассматривают (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольник).

– Чему равна сумма углов в любом треугольнике (Сумма углов в любом треугольнике равна 180°).

– Также данную теорему рассмотрим при решении задачи № 228 (а)

Записали: Дом. задание: Гл. IV §1 п. 30 №223 (а; б), 228 (б) .

№ 228 (а). Рассмотрим: 2 случая решения задачи:

При наличии времени провести тест.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

7 класс. Решение задач. "Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника"

8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 13 19 7 … по готовым чертежам

Теорема о сумме углов треугольника. А В С Сумма углов треугольника равна 180 0 .

Внешний угол треугольника. Свойство. А В С Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. D

Свойства равнобедренного треугольника. А М В К С N Углы при основании. Медиана, высота, биссектриса. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном тр-ке биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольников. А К В М С Р О N L S H Медиана Биссектриса Высота

В А О C Смежные углы

Равносторонний треугольник. А В С В равностороннем треугольнике все стороны РАВНЫ и все углы РАВНЫ.

1. Ответ Подсказка (3) Свойства равнобедренного треугольника Найдите углы равнобедренного тр-ка, если угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию. Сумма углов треугольника С А В х 2х 2х

2. Ответ Подсказка (3) Внешний угол треугольника Найдите углы равнобедренного тр-ка, если угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Сумма углов треугольника С А В х 3х Свойство внешнего угла треугольника

3 . Ответ 50 0 C A B Дано: ∆ ABC, AB = BC, AD – биссектриса, Найти: Подсказка (4) Свойства равнобедренного треугольника Биссектриса треугольника D ? Сумма углов треугольника Смежные углы

4. Ответ 7 5 0 К С Дано: ∆ CDE, DK – биссектриса, Найти углы треугольника CDE. Подсказка (3) Рассмотреть ∆ CDK Биссектриса треугольника D Сумма углов треугольника 28 0 E

5 . Ответ 50 0 M A Дано: ∆ ABC, BM – высота, Найти угол CBM. Подсказка (3) Свойства равнобедренного треугольника Высота равнобедренного треугольника B Сумма углов треугольника C

6. Ответ 12 0 0 C A B Дано: ∆ ABC, AB = BC = 5 см, Найти: АС Подсказка (4) Свойства равнобедренного треугольника Внешний угол треугольника Смежные углы D Равносторонний треугольник

Решение задач по готовым чертежам. Необходимо по рисунку записать условие задачи и ответить на поставленный вопрос. В задачах подсказки отсутствуют. 8 9 1 0 7 1 1 1 2 14 15 1 6 13 1 7 1 8 20 21 22 23 24 19

7. Ответ 3 0 0 A Найти: B C ?

8. Ответ 4 0 0 A Найти: B C D ? ? ?

9 . Ответ 30 0 D A BC = AC Найти: B C ?

10. Ответ 110 0 A Найти: B C 40 0 ? ?