Това, което се нарича производна на функция от по-висок ред. Решаване на производни за манекени: определение, как да се намери, примери за решения. Концепцията за диференцируемост на функция

Геометрично значение на производната

Практическо значение на производната

Нека да разгледаме какво на практика означава количеството, което намерихме като производна на определена функция.

Преди всичко, производна- това е основната концепция на диференциалното смятане, характеризираща скоростта на изменение на функция в дадена точка.

Какво е "скорост на промяна"? Нека си представим функцията f(x) = 5. Независимо от стойността на аргумента (x), стойността му не се променя по никакъв начин. Тоест скоростта на изменението му е нула.

Сега разгледайте функцията f(x) = x. Производната на x е равна на едно. Наистина, лесно е да се забележи, че за всяка промяна на аргумента (x) с единица, стойността на функцията също се увеличава с единица.

От гледна точка на получената информация, сега нека да разгледаме таблицата с производни на прости функции. Въз основа на това физическият смисъл на намирането на производната на функция веднага става ясен. Това разбиране трябва да улесни решаването на практически проблеми.

Съответно, ако производната показва скоростта на промяна на функция, тогава двойната производна показва ускорение.

2080.1947

Когато човек е направил първите самостоятелни стъпки в изучаването на математическия анализ и започне да задава неудобни въпроси, вече не е толкова лесно да се измъкне с фразата, че „диференциалното смятане е намерено в зелето“. Затова е дошло времето да се определи и разкрие тайната на раждането таблици с производни и правила за диференциране. Започнато в статията за значението на производната, който горещо препоръчвам да изучаваме, защото там просто разгледахме концепцията за производна и започнахме да кликваме върху проблеми по темата. Същият този урок има подчертана практическа насоченост, освен това,

примерите, разгледани по-долу, по принцип могат да бъдат усвоени чисто формално (например, когато няма време/желание да се рови в същността на производното). Също така е много желателно (но отново не е необходимо) да можете да намирате производни, използвайки „обикновения“ метод - поне на ниво два основни урока:Как да намерим производната? и Производна на сложна функция.

Но има едно нещо, без което определено не можем сега, то е функционални граници. Трябва да РАЗБЕРЕТЕ какво е лимит и да можете да ги решавате поне на средно ниво. И всичко това, защото производното

функция в точка се определя по формулата:

Нека ви напомня за обозначенията и термините: наричат увеличение на аргумента;

– увеличение на функцията;

– това са ЕДИНСТВЕНИ символи („делта“ не може да бъде „откъснато“ от „X“ или „Y“).

Очевидно това, което е „динамична“ променлива, е константа и резултат от изчисляването на лимита – номер (понякога - "плюс" или "минус" безкрайност).

Като точка, можете да разгледате ВСЯКА стойност, принадлежаща на област на дефиницияфункция, в която съществува производна.

Забележка: клаузата „в която съществува производната“ е като цяло е значимо! Така например, въпреки че точката е включена в областта на дефиниране на функцията, но производната

Не съществува там. Следователно формулата

Не е приложимо в точка

и съкратена формулировка без уговорка би била неправилна. Подобни факти са верни и за други функции с „прекъсвания“ в графиката, по-специално за арксинус и аркосинус.

Така след замяна получаваме втората работеща формула:

Обърнете внимание на едно коварно обстоятелство, което може да обърка чайника: в тази граница „x“, като сама по себе си е независима променлива, играе ролята на статистика, а „динамиката“ отново се определя от нарастването. Резултатът от изчисляването на лимита

е производната функция.

Въз основа на горното формулираме условията на два типични проблема:

- Намирам производна в точка, използвайки дефиницията за производна.

- Намирам производна функция, използвайки дефиницията за производна. Тази версия, според моите наблюдения, е много по-често срещана и ще й бъде обърнато основно внимание.

Основната разлика между задачите е, че в първия случай трябва да намерите числото (по избор, безкрайност), а във втория –

функция Освен това производното може изобщо да не съществува.

Как?

Създайте съотношение и изчислете лимита.

Откъде дойде?таблица с производни и правила за диференциране ? Благодарение на единствения лимит

Изглежда като магия, но

в действителност - ловкост и никаква измама. На урока Какво е дериват?Започнах да гледам конкретни примери, където, използвайки дефиницията, намерих производните на линейна и квадратична функция. За целите на когнитивната загрявка ще продължим да безпокоим таблица с производни, усъвършенстване на алгоритъма и техническите решения:

По същество трябва да докажете специален случайпроизводна на степенна функция, която обикновено се появява в таблицата: .

Решението е технически формализирано по два начина. Нека започнем с първия, вече познат подход: стълбата започва с дъска, а производната функция започва с производната в точка.

Помислете за някаква (конкретна) точка, принадлежаща на област на дефиницияфункция, в която има производна. Нека зададем увеличението в тази точка (разбира се, в обхвата o/o -ya) и съставете съответното нарастване на функцията:

Нека изчислим лимита:

Несигурността 0:0 се елиминира чрез стандартна техника, разглеждана още през първи век пр.н.е. Да се ​​размножаваме

числител и знаменател за спрегнатия израз :

Техниката за решаване на такава граница е разгледана подробно във въвеждащия урок. за границите на функциите.

Тъй като можете да изберете ВСЯКА точка в интервала като

След това, след като направихме замяната, получаваме:

Още веднъж да се порадваме на логаритмите:

Намерете производната на функция, като използвате определението за производна

Решение: Нека разгледаме различен подход за популяризиране на същата задача. Той е абсолютно същият, но по-рационален по отношение на дизайна. Идеята е да се отървете от

индекс и използвайте буквата вместо буква.

Да разгледаме произволна точка, принадлежаща на област на дефиницияфункция (интервал) и задайте приращението в нея. Но тук, между другото, както в повечето случаи, можете да направите без никакви резерви, тъй като логаритмична функциядиференцируеми във всяка точка от областта на дефиницията.

Тогава съответното увеличение на функцията е:

Нека намерим производната:

Простотата на дизайна е балансирана от объркването, което може

се срещат сред начинаещи (и не само). В крайна сметка сме свикнали с факта, че буквата „X“ се променя в лимита! Но тук всичко е различно: - антична статуя и - жив посетител, бързо крачещ по коридора на музея. Тоест "x" е "като константа".

Ще коментирам премахването на несигурността стъпка по стъпка:

(1) Използване на свойството логаритъм.

(2) В скоби разделете числителя на знаменателя термин по термин.

(3) В знаменателя ние изкуствено умножаваме и делим на „х“, така че

възползвайте се от чудесния лимит , докато като безкрайно малъкоткроява.

Отговор: по дефиниция на производна:

Или накратко:

Предлагам сами да изградите още две формули за таблици:

Намерете производна по дефиниция

В този случай е удобно веднага да намалите компилираното увеличение до общ знаменател. Приблизителна извадка на задачата в края на урока (първи метод).

Намерете производна по дефиниция

И тук всичко трябва да бъде сведено до забележителна граница. Решението се формализира по втория начин.

Редица други таблични производни. Пълен списъкможе да се намери в училищен учебник или, например, 1-ви том на Фихтенхолц. Не виждам много смисъл в копирането на доказателства за правилата за диференциация от книги - те също се генерират

формула

Да преминем към реално срещани задачи: Пример 5

Намерете производната на функция , използвайки дефиницията за производна

Решение: използвайте първия стил на дизайн. Нека разгледаме някаква точка, принадлежаща на , и зададем нарастването на аргумента при нея. Тогава съответното увеличение на функцията е:

Може би някои читатели все още не са разбрали напълно принципа, по който трябва да се правят увеличения. Вземете точка (число) и намерете стойността на функцията в нея: , тоест във функцията

вместо "x" трябва да замените . Сега да го вземем

Увеличаване на компилираната функция Може да бъде полезно незабавното опростяване. За какво? Улеснете и съкратете решението до по-нататъшна граница.

Използваме формули, отваряме скобите и намаляваме всичко, което може да се намали:

Пуйката е изкормена, няма проблем с печеното:

В крайна сметка:

Тъй като можем да изберем всяко реално число като стойност, правим замяната и получаваме .

Отговор : а-приорен.

За целите на проверката, нека намерим производната с помощта на правилата

диференциране и таблици:

Винаги е полезно и приятно да знаете правилния отговор предварително, така че е по-добре да разграничите предложената функция по „бърз“ начин, мислено или в чернова, в самото начало на решението.

Намерете производната на функция по дефиниция на производната

Това е пример, който можете да решите сами. Резултатът е очевиден:

Да се ​​върнем към стил #2: Пример 7

Нека разберем веднага какво трябва да се случи. от правило за диференциране на сложни функции:

Решение: разгледайте произволна точка, принадлежаща на , задайте увеличението на аргумента при нея и съставете увеличението

Нека намерим производната:

(1) Използваме тригонометричната формула

(2) Под синуса отваряме скобите, под косинуса представяме подобни членове.

(3) Под синус съкращаваме членовете, под косинус разделяме числителя на знаменателя член по член.

(4) Поради нечетността на синуса изваждаме „минуса“. Под косинус

посочваме, че терминът .

(5) Извършваме изкуствено умножение в знаменателя, за да използваме първата прекрасна граница. Така несигурността е елиминирана, нека подредим резултата.

Отговор: по дефиниция Както можете да видите, основната трудност на разглеждания проблем се основава на

сложност на самата граница + лека оригиналност на опаковката. На практика се срещат и двата метода на проектиране, така че описвам и двата подхода възможно най-подробно. Еквивалентни са, но все пак по мое субективно впечатление е по-препоръчително за манекените да се придържат към вариант 1 с „X-нула“.

Използвайки определението, намерете производната на функцията

Това е задача, която трябва да решите сами. Пробата е проектирана в същия дух като предишния пример.

Нека да разгледаме по-рядка версия на проблема:

Намерете производната на функцията в точката, като използвате определението за производна.

Първо, какъв трябва да бъде крайният резултат? Число Нека изчислим отговора по стандартния начин:

Решение: от гледна точка на яснота, тази задача е много по-проста, тъй като във формулата, вместо

се взема предвид конкретна стойност.

Нека зададем увеличението в точката и съставим съответното увеличение на функцията:

Нека изчислим производната в точката:

Използваме много рядка формула за тангенс разлика и още веднъж свеждаме решението до първото

забележителен лимит:

Отговор: по дефиниция на производна в точка.

Проблемът не е толкова труден за решаване „като цяло“ - достатъчно е да се замени с или просто в зависимост от метода на проектиране. В този случай е ясно, че резултатът няма да бъде число, а производна функция.

Пример 10 Използвайки дефиницията, намерете производната на функцията в точката

Това е пример, който можете да решите сами.

Последната бонус задача е предназначена предимно за студенти със задълбочено изучаване на математически анализ, но няма да навреди и на никой друг:

Функцията ще бъде ли диференцируема? в точката?

Решение: Очевидно е, че частично дадена функция е непрекъсната в точката, но ще бъде ли диференцируема там?

Алгоритъмът за решаване, и то не само за частични функции, е следният:

1) Намерете лявата производна в дадена точка: .

2) Намерете дясната производна в дадена точка: .

3) Ако едностранните производни са крайни и съвпадат:

, тогава функцията е диференцируема в точката и

геометрично тук има обща допирателна (вижте теоретичната част на урока Дефиниция и значение на производната).

Ако се получат две различни стойности: (един от които може да се окаже безкраен), тогава функцията не е диференцируема в точката .

Ако и двете едностранни производни са равни на безкрайност

(дори ако имат различни знаци), тогава функцията не е

е диференцируема в точката, но има безкрайна производна и обща вертикална допирателна към графиката (вижте примерен урок 5Нормално уравнение) .

Забележка: Така между въпросите „Ще бъде ли функцията диференцируема в точка?“ и „Съществува ли производна в точка?“ има разлика!

Всичко е много просто!

1) При намиране на лявата производна нарастването на аргумента е отрицателно: , а вляво от точката има парабола, така че увеличението на функцията е равно на:

И съответната лява граница е числено равна на лявата производна във въпросната точка:

2) Вдясно от точката има графика на права линия и нарастването на аргумента е положително: . Така нарастването на функцията е:

Дясна граница и дясна производна в точка:

3) Едностранните производни са крайни и различни:

Отговор: функцията не е диференцируема в точката.

Книжният случай на недиференцируемост на модул е ​​още по-лесен за доказване в точката, за която говоря общ контурвече разказано теоретичен урок за производната.

Някои дефинирани на части функции също могат да бъдат диференцирани в точките на „свързване“ на графиката, например catdog

има обща производна и обща допирателна (ос x) в точката. Крива, но диференцируема по ! Тези, които се интересуват, могат да проверят това сами, като използват току-що решения пример.

Нека приключим историята с този забавен хибрид =) Решения и отговори:

Пример 3: Решение: разгледайте някаква точка, принадлежаща към областта на дефиниране на функцията. Да влезем

увеличение в дадена точка и съставете съответното увеличение на функцията:

Нека намерим производната в точката:

Тъй като можете да изберете всяка точка в домейна на дефиницията на функцията, тогава

Отговор: по дефиниция, производна

Пример 4: Решение: разгледайте произволна точка, принадлежаща на и задайте увеличението в нея. Тогава съответното увеличение на функцията е:

Нека намерим производната:

Използване на чудесен лимит

Отговор: по дефиниция

Пример 6: Решение: разгледайте някаква точка, принадлежаща на и задайте увеличението на аргумента в нея. Тогава съответното увеличение на функцията е:

Отговор : а-приорен

Пример 10: Решение: Нека зададем увеличението в точката. Тогава нарастването на функцията:

Нека изчислим производната в точката:

Умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз:

Отговор: по дефиниция на производна в точка

Процесът на намиране на производната на функция се нарича диференциация.Производната трябва да се намери в редица задачи в хода на математическия анализ. Например при намиране на точки на екстремум и точки на инфлексия на графика на функция.

Как да намеря?

За да намерите производната на функция, трябва да знаете таблицата с производни на елементарни функции и да приложите основните правила за диференциране:

1. Преместване на константата отвъд знака на производната: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Производна на сумата/разликата на функции: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Производна на произведението на две функции: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Производна на дроб: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Производна на сложна функция: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Примери за решения

Производната на функция е една от трудните теми в училищна програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си припомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функция.

Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?

Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:

Графиката показва всичко наведнъж, нали? Доходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различен. Що се отнася до Матвей, неговата производна на доходите като цяло е отрицателна.

Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?

Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се издига (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различен смисълпроизводна - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функция се обозначава.

Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.

Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да преценим колко стръмно се изкачва графиката на дадена функция. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.

Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.

Моля, обърнете внимание, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в този раздел и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

Нека го намерим. Спомняме си, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълникравно на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:

Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.

Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението

Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.

.

Разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.

Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция нараства в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, се образува остър ъгълс положителна посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.

В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.

Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от „плюс“ на „минус“.

В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".

Извод: с помощта на производната можем да разберем всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.

Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".

В минималната точка производната също е нула и променя знака от „минус“ на „плюс“.

Нека напишем тези изводи под формата на таблица:

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате USE задачи. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.

Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.

Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.

Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага

(\large\bf Производна на функция)

Помислете за функцията y=f(x), посочен на интервала (а, б). Позволявам х- всяка фиксирана точка от интервала (а, б), А Δx- произволно число, така че стойността x+Δxсъщо принадлежи към интервала (а, б). Този номер Δxнаречено увеличение на аргумента.

Определение. Увеличаване на функцията y=f(x)в точката х, съответстващ на увеличението на аргумента Δx, да се обадим на номера

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Ние вярваме в това Δx ≠ 0. Разгледайте в дадена фиксирана точка хсъотношението на нарастването на функцията в тази точка към съответното увеличение на аргумента Δx

Ще наричаме това отношение отношение на разликата. Тъй като стойността хсчитаме за фиксирано, съотношението на разликата е функция на аргумента Δx. Тази функция е дефинирана за всички стойности на аргументи Δx, принадлежащи на някаква достатъчно малка околност на точката Δx=0, с изключение на самата точка Δx=0. По този начин имаме право да разгледаме въпроса за съществуването на граница на посочената функция при Δx → 0.

Определение. Производна на функция y=f(x)в дадена фиксирана точка хнаречен лимит при Δx → 0коефициент на разлика, т.е

При условие, че това ограничение съществува.

Обозначаване. y′(x)или f′(x).

Геометрично значение на производната: Производна на функция f(x)в този момент хравен на тангенса на ъгъла между оста воли допирателна към графиката на тази функция в съответната точка:

f′(x 0) = \tgα.

Механично значение на производната: Производната на пътя спрямо времето е равна на скоростта на праволинейно движение на точката:

Уравнение на допирателна към права y=f(x)в точката M 0 (x 0, y 0)приема формата

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Нормалната към крива в дадена точка е перпендикулярът на допирателната в същата точка. Ако f′(x 0)≠ 0, тогава уравнението на нормалата към правата y=f(x)в точката M 0 (x 0, y 0)е написано така:

Концепцията за диференцируемост на функция

Нека функцията y=f(x)определени през определен интервал (а, б), х- някаква фиксирана стойност на аргумент от този интервал, Δx- всяко увеличение на аргумента, така че стойността на аргумента x+Δx ∈ (a, b).

Определение. функция y=f(x)наречена диференцируема в дадена точка х, ако увеличение Δyтази функция в точката х, съответстващ на увеличението на аргумента Δx, могат да бъдат представени във формата

Δy = A Δx +αΔx,

Където А- някакво число, независимо от Δx, А α - функция аргумент Δx, което е безкрайно малко при Δx→ 0.

Тъй като произведението на две безкрайно малки функции αΔxе безкрайно малко от по-висок порядък от Δx(свойство на 3 безкрайно малки функции), тогава можем да напишем:

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорема. За да може функцията y=f(x)беше диференцируем в дадена точка х, е необходимо и достатъчно той да има крайна производна в тази точка. При което A=f′(x), това е

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Операцията за намиране на производната обикновено се нарича диференциране.

Теорема. Ако функцията y=f(x) х, тогава той е непрекъснат в тази точка.

Коментирайте. От непрекъснатостта на функцията y=f(x)в този момент х, най-общо казано, диференцируемостта на функцията не следва f(x)в този момент. Например функцията y=|x|- непрекъснато в точка х=0, но няма производна.

Понятие за диференциална функция

Определение. Функционален диференциал y=f(x)произведението на производната на тази функция и нарастването на независимата променлива се нарича х:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

За функция y=xполучаваме dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, това е dx=Δx- диференциалът на независима променлива е равен на нарастването на тази променлива.

Така можем да пишем

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Диференциал dyи нарастване Δyфункции y=f(x)в този момент х, като и двете съответстват на едно и също увеличение на аргумента Δx, най-общо казано, не са равни помежду си.

Геометрично значение на диференциала: Диференциалът на функция е равен на нарастването на ординатата на допирателната към графиката на тази функция, когато аргументът се увеличава Δx.

Правила за диференциране

Теорема. Ако всяка от функциите u(x)И v(x)диференцируеми в дадена точка х, след това сумата, разликата, произведението и частното на тези функции (частното при условие, че v(x)≠ 0) също са диференцируеми в тази точка и формулите важат:

Разгледайте сложната функция y=f(φ(x))≡ F(x), Където y=f(u), u=φ(x). В такъв случай uНаречен междинен аргумент, х - независима променлива.

Теорема. Ако y=f(u)И u=φ(x)са диференцируеми функции на техните аргументи, тогава производната на сложна функция y=f(φ(x))съществува и е равно на произведението на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива, т.е.

Коментирайте. За сложна функция, която е суперпозиция на три функции y=F(f(φ(x))), правилото за диференциране има формата

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

къде са функциите v=φ(x), u=f(v)И y=F(u)- диференцируеми функции на техните аргументи.

Теорема. Нека функцията y=f(x)нараства (или намалява) и е непрекъснат в някаква околност на точката х 0. Нека освен това тази функция е диференцируема в посочената точка х 0и неговата производна в този момент f′(x 0) ≠ 0. Тогава в някаква околност на съответната точка y 0 =f(x 0)обратното е дефинирано за y=f(x)функция x=f -1 (y), а посочената обратна функция е диференцируема в съответната точка y 0 =f(x 0)и за неговата производна в този момент гформулата е валидна

Таблица с производни

Инвариантност на формата на първия диференциал

Нека разгледаме диференциала на сложна функция. Ако y=f(x), x=φ(t)- функциите на техните аргументи са диференцируеми, тогава производната на функцията y=f(φ(t))изразено с формулата

y′ t = y′ x x′ t.

А-приори dy=y′ t dt, тогава получаваме

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

И така, ние сме доказали

Свойство за инвариантност на формата на първия диференциал на функция: както в случая, когато аргументът хе независима променлива и в случай, че аргументът хсама по себе си е диференцируема функция на новата променлива, диференциала dyфункции y=f(x)е равно на производната на тази функция, умножена по диференциала на аргумента dx.

Приложение на диференциала в приближените изчисления

Показахме, че диференциалът dyфункции y=f(x), най-общо казано, не е равно на нарастването Δyтази функция. Но с точност до безкрайност малка функцияпо-висок порядък на дребност от Δx, приблизителното равенство е валидно

Δy ≈ dy.

Съотношението се нарича относителна грешка на равенството на това равенство. защото Δy-dy=o(Δx), тогава относителната грешка на това равенство става толкова малка, колкото желаете, с намаляване |Δх|.

Като се има предвид това Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, получаваме f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxили

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Това приблизително равенство позволява с грешка o(Δx)функция за замяна f(x)в малък квартал на точката х(т.е. за малки стойности Δx) линейна функция на аргумента Δx, стоящ от дясната страна.

Производни от по-висок порядък

Определение. Втора производна (или производна от втори ред) на функция y=f(x)се нарича производна на нейната първа производна.

Нотация за втората производна на функция y=f(x):

Механично значение на втората производна. Ако функцията y=f(x)описва закона за движение на материална точка по права линия, след това втората производна f″(x)равно на ускорението на движеща се точка в момента х.

Третата и четвъртата производни се определят по подобен начин.

Определение. нта производна (или производна н-ти ред) функции y=f(x)се нарича нейна производна n-1та производна:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Обозначения: y″′, y IV, y Vи т.н.