пирамида. Видове пирамиди. Пирамида с правоъгълен триъгълник в основата Пресечена триъгълна пирамида

В този урок ще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилната пресечена пирамида и ще изучим техните свойства.

Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника се взема точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената полиедрична повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълна пирамида

Нека отрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).

Ориз. 2. Пресечена пирамида

Основни елементи:

Горна основа;

Долна база ABC;

Странично лице;

Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава е височината на пресечената пирамида.

Свойствата на пресечена пирамида произтичат от метода на нейното изграждане, а именно от паралелизма на равнините на основите:

Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецоиди. Помислете например за лице. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те режат страничната повърхност на оригиналната пирамида ABP по успоредни линии), в същото време те не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични лица на пресечена пирамида.

Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:

Имаме няколко двойки подобни триъгълници със същия коефициент на подобие. Например, триъгълниците и RAB са сходни поради паралелизма на равнините и , коефициента на подобие:

В същото време триъгълниците и RCS са подобни с коефициент на подобие:

Очевидно коефициентите на подобие и за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.

Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).

Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида

Определение.

Правилна пирамида се нарича пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник, а върхът е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центърът на вписаната и описана окръжност).

В този случай квадратът лежи в основата на пирамидата, а върхът се проектира до точката на пресичане на неговите диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида има ABCD - долната основа, - горната основа. Височината на оригиналната пирамида - RO, пресечена пирамида - (фиг. 4).

Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида

Определение.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на втората основа.

Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).

Определение.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.

Ясно е, че всички странични ръбове на пресечената пирамида са равни една на друга, тоест страничните повърхности са равни равнобедрени трапеци.

Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора от периметрите на основите и апотема.

Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):

И така, трябва да докажем:

Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сбора от площите на страничните повърхности - трапеци. Тъй като трапецоидите са еднакви, имаме:

Квадрат равнобедрен трапеце произведението на половината от сбора на основите и височината, апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:

Q.E.D.

За n-ъгълна пирамида:

Където n е броят на страничните лица на пирамидата, a и b са основите на трапеца, е апотемът.

Страни на основата на правилна пресечена четириъгълна пирамида са равни на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.

Ориз. 5. Илюстрация за проблем 1

Решение. Нека илюстрираме условието:

Като се има предвид: , ,

Начертайте права линия MN през точка O, успоредна на двете страни на долната основа, по същия начин начертайте права линия през точката (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите са успоредни в основите на пресечената пирамида, получаваме трапец, равен на страничните повърхности. Освен това страничната му страна ще преминава през средата на горните и долните ребра на страничните повърхности и ще бъде олицетворение на пресечена пирамида.

Ориз. 6. Допълнителни конструкции

Помислете за получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Необходимо е да се намери страничната страна, която е апотема на дадената пресечена пирамида. Начертайте перпендикулярно на MN. Нека пуснем перпендикуляра NQ от точката. Получаваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това е египетски триъгълник, по теоремата на Питагор определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.

Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Като използвате примера на триъгълна пирамида, докажете, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.

Доказателство. Нека илюстрираме:

Ориз. 7. Илюстрация за проблем 2

Дадена е пирамидата RABC. RO е височината на пирамидата. Пирамидата се разчленява от равнина, освен това се получава пресечена пирамида. Точка - точката на пресичане на височината на RO с равнината на основата на пресечена пирамида. Необходимо е да се докаже:

Ключът към решението е свойството на успоредните равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни. Оттук: . Паралелизмът на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристика е, че коефициентите на подобие за тези триъгълници са еднакви:

Q.E.D.

Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата се разчленява от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата на ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.

Решение. Нека илюстрираме:

Ориз. 8. Илюстрация за проблем 3

DIA е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадената пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Според свойството на успоредни равнини (две успоредни равнини режат всяка трета равнина, така че линиите на пресичане да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:

Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата, знаем съответната формула:

Сега, от правоъгълния триъгълник РНМ, по Питагоровата теорема, намираме РМ - апотема на оригиналната пирамида:

От първоначалното съотношение:

Сега знаем всички елементи за намиране на страничната повърхност на пресечена пирамида:

И така, ние се запознахме с понятията за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни дефиниции, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.

Библиография

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., преп. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашна работа

ОБЩИНСКА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ
"УЧИЛИЩЕ №2" НА ГР.АЛУЩА

ПЛАН НА УРОКА

Разрешаване на проблем.

пирамида. Пресечена пирамида

Учител по математика

Пихидчук Ирина Анатолиевна

2016 г.

УРОК

Геометрия. 11 клас.

Урокът е 3 часа. Препоръчва се да се извършва с общо повторение.

ПРЕДМЕТ: пирамида. Пресечена пирамида. Разрешаване на проблем.

ОСНОВНАТА ЗАДАЧА: Подготовка за теста (определяне на проблеми; систематизиране и коригиране на знанията по темата).

ЦЕЛИ: 1) Проверете знанията за определенията: ъгълът между права и равнина; линеен ъгъл на двугранен ъгъл (конструкция); правилна пирамида.

Повторете формулите: обемът на пирамидата; радиусите на окръжността, вписана и описана около многоъгълника;

тестване на умения за рисуване; способността за оправдаване на ъглите между страничния ръб и основната равнина, между страничната повърхност и основната равнина.

консолидиране на компютърни умения.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ:

Организиране на времето. Съобщаване на целите и задачите на урока.

Повторение.

Чертежи на флипборда:

Задаване на чертежите: формулирайте определението на ъгъла между права линия и равнина. Покажете ъгъла на фигурите и го обосновете.

основна платка

Покажете ъгъла между страничния ръб и равнината на основата на правилна триъгълна пирамида. Изчислете обема на пирамидата, ако страната на основата е a, ъгълът между страничния ръб и равнината на основата е a.

Намерете обема на всяка от дадените правилни пирамиди

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: 1) Ъгълът между страничния ръб и базовата равнина е ъгълът между страничния ръб и радиуса на описаната окръжност близо до основата;

2) Ъгълът между страничната повърхност и равнината на основата на пирамидата е ъгълът между апотема и радиуса на окръжността, вписана в основата.

Домашна работа върху карти (приложена задача).

Геометрия 11 клас, (продължение)

РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМА: Пирамида. Пресечена пирамида.

Задача номер 1. В основата на пирамидата лежи правоъгълен триъгълник. Двете лица, съдържащи краката, са перпендикулярни на равнината на основата. Покажете ъглите между страничните ръбове и основната равнина. Ще бъдат ли равни, ако триъгълникът е равнобедрен.

Задача номер 2. В основата на пирамидата лежи равнобедрен триъгълник. Страничните ребра са наклонени към основната равнина под един ъгъл. Конструирайте височината на пирамидата и ъглите между страничните ръбове и равнината на основата (оправете конструкцията)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: Височината на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност, ако: страничните ръбове са равни; страничните ребра са наклонени към равнината на основата под един ъгъл; пирамидата е правилна.

Домашна работа. В правилна пирамида (триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна) построете ъгъл между страничната повърхност и основната равнина. Обосновете конструкцията.

и режеща равнина, която е успоредна на основата му.

Или с други думи: пресечена пирамида- това е такъв полиедър, който се образува от пирамида и нейното сечение, успоредно на основата.

Секция, която е успоредна на основата на пирамидата, разделя пирамидата на 2 части. Частта от пирамидата между нейната основа и сечение е пресечена пирамида.

Този участък за пресечена пирамида се оказва една от основите на тази пирамида.

Разстоянието между основите на пресечена пирамида е височина на пресечена пирамида.

Пресечената пирамида ще правилнокогато пирамидата, от която е получен, също е била правилна.

Височината на страничната повърхност на трапец на правилна пресечена пирамида е апотемаредовна пресечена пирамида.

Свойства на пресечена пирамида.

1. Всяка странична повърхност на правилна пресечена пирамида е равнобедрен трапец със същия размер.

2. Основите на пресечена пирамида са подобни многоъгълници.

3. Страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са с еднакъв размер и единият е наклонен спрямо основата на пирамидата.

4. Страничните лица на пресечена пирамида са трапецоиди.

5. Двугранните ъгли при страничните ръбове на правилна пресечена пирамида са с еднаква големина.

6. Съотношението на площите на основите: S 2 /S 1 = k 2.

Формули за пресечена пирамида.

За произволна пирамида:

Обемът на пресечена пирамида е равен на 1/3 от произведението на височината з (операционна система) от сбора на площите на горната основа S1 (а б В Г Д), долната основа на пресечената пирамида S2 (А Б В Г Д) и средната пропорционална стойност между тях.

Обем на пирамидата:

където S1, S2- основна площ,

зе височината на пресечена пирамида.

Площ на страничната повърхност е равен на сбора от площите на страничните лица на пресечената пирамида.

За обикновена пресечена пирамида:

Правилна пресечена пирамида- полиедър, който се образува от правилна пирамида и нейното сечение, което е успоредно на основата.

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида е ½ произведението на сбора от периметрите на нейните основи и апотема.

където S1, S2- основна площ,

φ е двугранният ъгъл в основата на пирамидата.

CHе височината на пресечена пирамида, P1и P2- периметрите на основите, S1и S2- базови площи, S страна- странична повърхност, S пълен- обща площ:

Разрез на пирамида от равнина, успоредна на основата.

Сечението на пирамидата от равнина, която е успоредна на основата й (перпендикулярна на височината), разделя височината и страничните ръбове на пирамидата на пропорционални сегменти.

Сечението на пирамидата от равнина, която е успоредна на нейната основа (перпендикулярна на височината), е многоъгълник, който е подобен на основата на пирамидата, докато коефициентът на подобие на тези многоъгълници съответства на съотношението на техните разстояния от върха на пирамидата.

Площите на сеченията, които са успоредни на основата на пирамидата, са свързани като квадратите на техните разстояния от върха на пирамидата.

Как можете да построите пирамида? На повърхността Рконструирайте някакъв многоъгълник, например петоъгълника ABCDE. Извън самолета Рвземете точката S. Свързвайки точката S със сегменти към всички точки на многоъгълника, получаваме пирамидата SABCDE (фиг.).

Точка S се нарича връхи многоъгълникът ABCDE - основатази пирамида. По този начин пирамида с връх S и основа ABCDE е обединението на всички сегменти, където M ∈ ABCDE.

Наричат ​​се триъгълници SAB, SBC, SCD, SDE, SEA странични лицапирамиди, общи страни на страничните стени SA, SB, SC, SD, SE - странични ребра.

Пирамидите се наричат триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. На фиг. са дадени изображения на триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди.

Нарича се равнината, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата диагонал, и полученото напречно сечение - диагонал.На фиг. 186 една от диагоналните секции на шестоъгълната пирамида е защрихована.

Отсечката от перпендикуляра, изтеглена през върха на пирамидата до равнината на нейната основа, се нарича височина на пирамидата (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра).

Пирамидата се нарича правилноако основата на пирамидата е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в нейния център.

Всички странични лица на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници. В правилната пирамида всички странични ръбове са равни.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемапирамиди. Всички апотеми на правилна пирамида са конгруэнтни.

Ако обозначим страната на основата като а, и апотема чрез з, тогава площта на едната странична страна на пирамидата е 1/2 ах

Сборът от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича странична повърхностпирамиди и се обозначава със страна S.

Тъй като страничната повърхност на правилната пирамида се състои от нсъвпадащи лица, значи

S страна = 1/2 ах=P з / 2 ,

където P е периметърът на основата на пирамидата. следователно,

S страна =P з / 2

т.е. площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотема.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата

S = S ocn. + S страна. .

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на нейната основа S ocn. до височина H:

V = 1 / 3 S ocn. Н.

Извличането на тази и някои други формули ще бъде дадено в следващата глава.

Сега нека построим пирамида по различен начин. Нека е даден полиедрален ъгъл, например петстранен, с връх S (фиг.).

Начертайте самолет Ртака че да пресича всички ръбове на даден полиедрален ъгъл в различни точки A, B, C, D, E (фиг.). Тогава пирамидата SABCDE може да се разглежда като пресечната точка на полиедрален ъгъл и полупространство с граница Р, който съдържа върха S.

Очевидно броят на всички лица на пирамидата може да бъде произволен, но не по-малко от четири. Когато равнина пресича триъгълен ъгъл, се получава триъгълна пирамида, която има четири лица. Всяка триъгълна пирамида понякога се нарича тетраедър, което означава четириъгълник.

пресечена пирамидаможе да се получи, ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата.

На фиг. дадено е изображението на четириъгълна пресечена пирамида.

Наричат ​​се също пресечени пирамиди триъгълна, четириъгълна, n-ъгълнав зависимост от броя на страните на основата. От конструкцията на пресечена пирамида следва, че тя има две основи: горна и долна. Основите на пресечена пирамида са два многоъгълника, чиито страни са успоредни по двойки. Страничните лица на пресечена пирамида са трапецоиди.

ВисочинаПресечена пирамида е сегмент от перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на горната основа към равнината на долната.

Правилна пресечена пирамиданарича се частта от правилна пирамида, затворена между основата и секционната равнина, успоредна на основата. Височината на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида (трапец) се нарича апотема.

Може да се докаже, че страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са равни, всички странични лица са равни и всички апотеми са равни.

Ако е в правилния съкратен н- въглищна пирамида през аи b nобозначават дължините на страните на горната и долната основа и през з- дължината на апотема, тогава площта на всяка странична страна на пирамидата е

1 / 2 (а + b n) з

Сборът от площите на всички странични лица на пирамидата се нарича площ на нейната странична повърхност и се обозначава S страна. . Очевидно, за редовен съкратен н- въглищна пирамида

S страна = н 1 / 2 (а + b n) з.

Като па= P и nb n\u003d P 1 - периметрите на основите на пресечена пирамида, след това

S страна \u003d 1/2 (P + P 1) ч,

площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на половината от произведението на сбора от периметрите на нейните основи и апотема.

Разрез, успореден на основата на пирамидата

1) страничните ребра и височината ще бъдат разделени на пропорционални части;

2) в секцията получавате многоъгълник, подобен на основата;

3) площите на сечението и основата са свързани като квадратите на разстоянията им от върха.

Достатъчно е да се докаже теоремата за триъгълна пирамида.

Тъй като успоредните равнини се пресичат от третата равнина по успоредни прави, тогава (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (фиг.).

Успоредните линии разрязват страните на ъгъла на пропорционални части и следователно

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Следователно ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\вдясно|) $$

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 и

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

По този начин,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Съответните ъгли на триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1 са равни, като ъгли с успоредни и еднакво насочени страни. Така

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Площите на подобни триъгълници са свързани като квадратите на съответните страни:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\вдясно|) $$

следователно,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Ако две пирамиди с еднакви височини са разсечени на едно и също разстояние от върха от равнини, успоредни на основите, тогава площите на сеченията са пропорционални на площите на основите.

Нека (фиг. 84) B и B 1 са площите на основите на две пирамиди, H е височината на всяка от тях, би б 1 - площи на напречното сечение от равнини, успоредни на основите и отстранени от върховете на същото разстояние з.

Според предишната теорема ще имаме:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: и \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
където
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: или \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Последица.Ако B \u003d B 1, тогава и б = б 1 , т.е. ако две пирамиди с еднакви височини имат еднакви основи, тогава секциите на еднакво разстояние от върха също са равни.

Задача

Решение.

В основата на пирамидата лежи правоъгълен триъгълник. Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи върху неговата хипотенуза. Съответно AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Тъй като височината ON = 12 cm, размерът на ребрата AN и NB е равен на
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Тъй като знаем стойността AO = OB = 5 cm и стойността на един от краката на основата (8 cm), тогава височината, спусната до хипотенузата, ще бъде равна на
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

Съответно стойността на ръба CN ще бъде равна на
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Отговор: 13, 13 , √183

Задача

Решение.
Обемът на пирамидата се намира по формулата:
V = 1/3 Sh

Намираме площта на основата с помощта на формулата за намиране на площта на правоъгълния триъгълник:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
където
V = 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 см 3.