В тази статия ще говорим за матричния метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, ще намерим неговата дефиниция и ще дадем примери за решения.

Определение 1

Метод на обратната матрица е метод, използван за решаване на SLAE, ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.

Пример 1

Намерете решение на система n линейни уравненияс n неизвестни:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричен тип запис : A × X = B

където A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n е матрицата на системата.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона с неизвестни,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона със свободни коефициенти.

От уравнението, което получихме, е необходимо да изразим X. За да направите това, трябва да умножите двете страни на матричното уравнение отляво по A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Тъй като A - 1 × A = E, тогава E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.

Коментирайте

Обратната матрица на матрица A има право на съществуване само ако е изпълнено условието d e t A не е равно на нула. Следователно, когато се решават SLAE с помощта на метода на обратната матрица, първо се намира d e t A.

В случай, че d e t A не е равно на нула, системата има само една опция за решение: използване на метода на обратната матрица. Ако d e t A = 0, тогава системата не може да бъде решена с този метод.

Пример за решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на обратната матрица

Ние решаваме SLAE, използвайки метода на обратната матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как да решим?

• Записваме системата под формата на матрично уравнение A X = B, където

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

• Изразяваме X от това уравнение:

• Намерете детерминантата на матрица A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t A не е равно на 0, следователно методът на обратната матрица е подходящ за тази система.

• Намираме обратната матрица A - 1, използвайки съюзническата матрица. Изчисляваме алгебричните допълнения A i j към съответните елементи на матрицата A:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

• Записваме съюзната матрица A *, която е съставена от алгебрични допълнения на матрицата A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Записваме обратната матрица по формулата:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,

• Умножаваме обратната матрица A - 1 по колоната от свободни членове B и получаваме решение на системата:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Отговор : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; х 3 = 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи са по главния диагонал, минаващ отляво горен ъгълв долния десен ъгъл са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, в които броят на редовете и колоните съвпада.

Теорема за условието за съществуване на обратна матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е сингулярна.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродени, ако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и й присвоете матрица E отдясно (на мястото на десните части на уравненията).
2. Използвайки трансформации на Йордан, редуцирайте матрица A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получите матрицата на идентичност E.
4. Запишете обратната матрица A -1, която се намира в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрица A и присвояваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформации на Йордан, редуцираме матрица A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са дадени в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са направени правилно.

Отговор:

Решаване на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, HA = B, AXB = C,

където A, B, C са посочените матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнението, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратната матрица е равна на (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други се използват и те матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на методите на матричния анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсистемата се формира икономически показателии въз основа на нея се съставя матрица на изходните данни, която представлява таблица, в която системните номера са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а във вертикални колони - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапЗа всяка вертикална колона се идентифицира най-голямата от наличните стойности на индикатора, която се приема за една.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-висока стойности се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако имат различно значение, тогава на всеки матричен показател се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експертиза.

На последния, четвърти етапнамерени рейтингови стойности Rjса групирани по ред на нарастване или намаляване.

Очертаните матрични методи трябва да се използват например при сравнителния анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организациите.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения матричен метод(с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма , където матрицата Аима измерение нНа ни неговата детерминанта е различна от нула.

Тъй като , Тогава матрицата А– е обратима, тоест има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството вляво, получаваме формула за намиране на матрица-колона от неизвестни променливи. Ето как получихме решение на система от линейни алгебрични уравнения, използвайки матричния метод.

матричен метод.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото тогава SLAE може да се реши с помощта на матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на матрични елементи А(ако е необходимо, вижте методите на статията за намиране на обратната матрица):

Остава да се изчисли матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица-колона от безплатни членове (ако е необходимо, вижте статията операции за матрици):

или в друг пост х 1 = 4, х 2 = 0, х 3 = -1 .

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от трети.

За по-подробно описание на теорията и допълнителни примери вижте статията матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения.

Най-горе на страницата

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои от последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо елиминиране х 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто, допълнително се изключва х 2 от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива х н. Този процес на трансформиране на системни уравнения за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, от последното уравнение намираме х н, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение, което изчисляваме х n-1, и така нататък, от първото уравнение, което намираме х 1 . Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по, към третото уравнение добавяме първото, умножено по и т.н. n-токъм уравнението добавяме първото, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата където и .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1 изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по, към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по и така нататък, до n-токъм уравнението добавяме второто, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата където и . Така че променливата х 2 изключени от всички уравнения, започвайки от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното х 3 , в този случай действаме по подобен начин с отбелязаната на фигурата част от системата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме х нот последното уравнение като, използвайки получената стойност х ннамираме х n-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1 от първото уравнение.

Решете система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Елиминирайте неизвестната променлива х 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете страни на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени по и съответно:

Сега нека изключим от третото уравнение х 2 , добавяйки към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножено по:

Това завършва предния ход на метода на Гаус; започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме х 3 :

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме оставащата неизвестна променлива и по този начин завършваме обратния метод на Гаус.

х 1 = 4, х 2 = 0, х 3 = -1 .

За по-подробна информация и допълнителни примери вижте раздела за решаване на елементарни системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус.

Най-горе на страницата

Нека помислим система от линейни алгебрични уравнения(SLAU) относително ннеизвестен х 1 , х 2 , ..., х н :

Тази система в „свита“ форма може да бъде написана по следния начин:

С н i=1 а ij х й = б аз , i=1,2, ..., n.

В съответствие с правилото за умножение на матрици разглежданата система от линейни уравнения може да бъде записана матрична форма Ax=b, Където

Матрица А, чиито колони са коефициентите за съответните неизвестни, а редовете са коефициентите за неизвестните в съответното уравнение се нарича матрица на системата. Матрица на колони b, чиито елементи са десните части на уравненията на системата, се нарича дясна матрица или просто дясната страна на системата. Матрица на колони х , чиито елементи са неизвестните неизвестни, се нарича системно решение.

Система от линейни алгебрични уравнения, записани във формата Ax=b, е матрично уравнение.

Ако системната матрица неизродени, тогава има обратна матрица и тогава решението на системата е Ax=bсе дава по формулата:

х=А -1 b.

ПримерРешете системата матричен метод.

Решениенека намерим обратната матрица за матрицата на коефициента на системата

Нека изчислим детерминантата, като разширим първия ред:

Тъй като Δ ≠ 0 , Че А -1 съществува.

Обратната матрица е намерена правилно.

Нека намерим решение на системата

следователно х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3 .

Преглед:

7. Теоремата на Кронекер-Капели за съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения.

Система от линейни уравненияима формата:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тук са дадени a i j и b i (i = ; j = ), а x j са неизвестни реални числа. Използвайки концепцията за произведение на матрици, можем да пренапишем системата (5.1) във формата:

където A = (a i j) е матрица, състояща се от коефициенти за неизвестните на системата (5.1), която се нарича матрица на системата, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T са колонни вектори, съставени съответно от неизвестни x j и свободни членове b i .

Поръчана колекция нреални числа (c 1, c 2,..., c n) се нарича системно решение(5.1), ако в резултат на заместване на тези числа вместо съответните променливи x 1, x 2,..., x n, всяко уравнение на системата се превръща в аритметично тъждество; с други думи, ако има вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такъв, че AC  B.

Извиква се система (5.1). става,или разрешим,ако има поне едно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразрешим, ако няма решения.

,

образувана чрез присвояване на колона от свободни членове към дясната страна на матрицата A се нарича разширена матрица на системата.

Въпросът за съвместимостта на системата (5.1) се решава със следната теорема.

Теорема на Кронекер-Капели . Една система от линейни уравнения е непротиворечива тогава и само тогава, когато ранговете на матриците A иA съвпадат, т.е. r(A) = r(A) = r.

За множеството M от решения на система (5.1) има три възможности:

1) M =  (в този случай системата е непоследователна);

2) M се състои от един елемент, т.е. системата има уникално решение (в този случай системата се нарича определени);

3) M се състои от повече от един елемент (тогава системата се нарича несигурен). В третия случай системата (5.1) има безкраен брой решения.

Системата има единствено решение само ако r(A) = n. В този случай броят на уравненията не е по-малък от броя на неизвестните (mn); ако m>n, тогава m-n уравнения са следствия от останалите. Ако 0

За да решите произволна система от линейни уравнения, трябва да можете да решавате системи, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните - т.нар. Системи тип Крамер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системите (5.3) се решават по един от следните начини: 1) методът на Гаус или методът на елиминиране на неизвестни; 2) по формулите на Крамер; 3) матричен метод.

Пример 2.12. Разгледайте системата от уравнения и я решете дали е последователна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение.Изписваме разширената матрица на системата:

 .

Нека изчислим ранга на основната матрица на системата. Очевидно е, че например минорът от втори ред в горния ляв ъгъл = 7  0; съдържащите го минори от трети ред са равни на нула:

Следователно рангът на основната матрица на системата е 2, т.е. r(A) = 2. За да изчислите ранга на разширената матрица A, помислете за граничния минор

това означава, че рангът на разширената матрица r(A) = 3. Тъй като r(A)  r(A), системата е непоследователна.

Метод на обратната матрицане е трудно, ако знаете общите принципи на работа с матрични уравнения и, разбира се, знаете как да извършвате елементарни алгебрични операции.

Решаване на система от уравнения чрез метода на обратната матрица. Пример.

Най-удобният начин да разберете метода на обратната матрица е с ясен пример. Нека вземем система от уравнения:

Първата стъпка за решаване на тази система от уравнения е да се намери детерминантата. Затова нека трансформираме нашата система от уравнения в следната матрица:

И намираме необходимата детерминанта:

Формулата, използвана за решаване на матрични уравнения, е следната:

По този начин, за да изчислим X, трябва да определим стойността на матрицата A-1 и да я умножим по b. Друга формула ще ни помогне за това:

В този случай ще бъде транспонирана матрица- тоест същият оригинален, но написан не в редове, а в колони.

Не бива да забравяме това метод на обратната матрица, подобно на метода на Крамър, е подходящ само за системи, в които детерминантата е по-голяма или по-малка от нула. Ако детерминантата е равна на нула, трябва да използвате метода на Гаус.

Следващата стъпка е да се състави матрица от второстепенни, която е следната схема:

В резултат на това получихме три матрици - минори, алгебрични добавки и транспонирана матрица на алгебрични добавки. Сега можете да продължите към действителното съставяне на обратната матрица. Вече знаем формулата. За нашия пример ще изглежда така.