Teorēma ir pirmā paralēlo līniju zīme. Ja divu taisnu krustpunktā trešā. Praktiski veidi, kā konstruēt paralēlas līnijas

III NODAĻA.
PARALĒLI TIEŠAIS

35.§ DIVU PARALĒLU LĪNIJU ZĪMES.

Teorēma, ka divi perpendikuli vienai taisnei ir paralēli (§ 33), dod zīmi, ka divas taisnes ir paralēlas. Jūs varat izņemt vairāk vispārīgas pazīmes divu līniju paralēlisms.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Ļaujiet taisnes AB un CD krustot ar taisni EF un / 1 = / 2. Ņem punktu O - sekanta EF segmenta KL vidu (189. att.).

Nolaidīsim perpendikulu OM no punkta O uz taisni AB un turpināsim to līdz krustojas ar taisni CD, AB_|_MN. Pierādīsim, ka CD_|_MN.
Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: / 1 = / 2 atbilstoši teorēmas nosacījumiem; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;
/ MOL = / NOK, piemēram, vertikālie leņķi. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tātad, /\ MOL = /\ NOK, un līdz ar to
/ LMO = / KNO, bet / LMO ir tiešs, kas nozīmē / KNO arī ir taisns. Tātad taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, līdz ar to tās ir paralēlas (33.§), kas bija tas, kas bija jāpierāda.

Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustpunktu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180°.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD ir paralēlas, ja, tām krustojot trešo taisni EF, attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai, piemēram, daži atbilstošie leņķi būtu vienādi / 3 = / 2 (190. zīmējums);
/ 3 = / 1, jo leņķi ir vertikāli; nozīmē, / 2 būs vienādi / 1. Bet leņķi 2 un 1 krustojas iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divas taisnes krustojas ar trešo, krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Paralēlu līniju konstruēšana, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri, balstās uz šo īpašību. Tas tiek darīts šādi.

Piestiprināsim trijstūri lineālam, kā parādīts 191. zīmējumā. Pārvietosim trīsstūri tā, lai viena no tā malām slīdētu gar lineālu, un pa kādu citu trijstūra malu novelkam vairākas taisnas līnijas. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Ļaujiet mums zināt, ka tad, kad divas taisnes AB un CD krustojas ar trešo taisni, jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180°). Vai šajā gadījumā taisnes AB un CD būs paralēlas (192. att.).

Ļaujiet / 1 un / 2 ir iekšējie vienpusējie leņķi, un to summa ir 2 d.
Bet / 3 + / 2 = 2d kā blakus leņķi. Tāpēc / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

No šejienes / 1 = / 3, un šie iekšējie leņķi atrodas šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Vingrinājums.

Pierādīt, ka taisnes ir paralēlas:
a) ja ārējie šķērsleņķi ir vienādi (193. att.);
b) ja ārējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(194. zīmējums).

Divus leņķus sauc par vertikāliem, ja viena leņķa malas ir otra leņķa malu turpinājums.

Attēlā redzamie stūri 1 Un 3 , kā arī leņķi 2 Un 4 - vertikāli. Stūris 2 atrodas blakus abiem leņķiem 1 , un ar leņķi 3. Pēc blakus esošo leņķu īpašībām 1 +2 =180 0 un 3 +2 =180 0 . No šejienes mēs iegūstam: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Tādējādi leņķu pakāpes mēri 1 Un 3 ir vienādi. No tā izriet, ka paši leņķi ir vienādi. Tātad vertikālie leņķi ir vienādi.

2. Trijstūru vienādības zīmes.

Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

3. Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

1 trīsstūru vienādības zīme:

Aplūkosim trijstūrus ABC un A 1 B 1 C 1, kuros AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, leņķi A un A 1 ir vienādi. Pierādīsim, ka ABC=A 1 B 1 C 1.
Tā kā (y)A = (y)A 1, tad trijstūri ABC var uzklāt uz trijstūra A 1 B 1 C 1 tā, lai virsotne A būtu saskaņota ar virsotni A1, bet malas AB un AC būtu attiecīgi uzliktas uz stariem A 1 B 1 un A 1 C 1. Tā kā AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tad AB mala izlīdzināsies ar malu A 1 B 1, bet mala AC saskaņosies ar malu A 1 C 1; jo īpaši punkti B un B 1, C un C 1 sakritīs. Līdz ar to malas BC un B 1 C 1 sakritīs. Tātad trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir pilnībā saderīgi, kas nozīmē, ka tie ir vienādi. CTD

3. Teorēma par vienādsānu trijstūra bisektrisi.

Vienādsānu trīsstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, ir mediāna un augstums.

Pievērsīsimies attēlam, kurā ABC - vienādsānu trīsstūris ar bāzi BC, AD ir tās bisektrise.

No trīsstūru vienādības ABD un ACD (pēc trijstūra 2.vienādības zīmes: AD - kopīgs; leņķi 1 un 2 ir vienādi, jo AD ir bisektrise; AB = AC, jo trijstūris ir vienādsānu) izriet, ka ВD = DC un 3 = 4. Vienādība BD = DC nozīmē, ka punkts D ir malas BC viduspunkts un tāpēc AD ir trijstūra ABC mediāna. Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus un ir vienādi viens ar otru, tie ir taisni leņķi. Tāpēc segments AO ir arī trīsstūra ABC augstums. CTD.

4. Ja taisnes ir paralēlas -> leņķis…. (neobligāti)

5. Ja leņķis…-> līnijas ir paralēlas (pēc izvēles)

Ja, divām taisnēm krustojoties ar šķērsvirzienu, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad taisnes ir paralēlas.

Lai attiecīgie leņķi ir vienādi, kad taisnes a un b krustojas ar šķērsvirzienu c, piemēram, 1=2.

Tā kā leņķi 2 un 3 ir vertikāli, tad 2=3. No šīm divām vienādībām izriet, ka 1=3. Bet leņķi 1 un 3 ir pretēji, tātad taisnes a un b ir paralēlas. CTD.

6. Teorēma par trijstūra leņķu summu.

Trijstūra leņķu summa ir 180 0.

Apskatīsim patvaļīgu trīsstūri ABC un pierādīsim, ka A+B+C=180 0 .

Novelkam taisni a caur virsotni B, paralēli malai AC. 1. un 4. leņķi ir šķērsleņķi paralēlu līniju a un AC krustpunktā ar nogriezni AB, un leņķi 3 un 5 ir šķērsleņķi to pašu paralēlo līniju krustpunktā ar nogriezni BC. Tāpēc (1)4=1; 5=3.

Acīmredzot leņķu 4, 2 un 5 summa ir vienāda ar taisnleņķi ar virsotni B, t.i. 4+2+5=180 0 . No šejienes, ņemot vērā vienādības (1), iegūstam: 1+2+3=180 0 vai A+B+C=180 0 .CHT.

7. Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīme.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni EF un ∠1 = ∠2. Ņemsim punktu O - sekanta EF segmenta KL vidu (Zīm.).

Nolaidīsim perpendikulu OM no punkta O uz taisni AB un turpinām, līdz tā krustojas ar taisni CD, AB ⊥ MN. Pierādīsim, ka CD ⊥ MN.

Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: ∠1 = ∠2 saskaņā ar teorēmu; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;

∠MOL = ∠NOK, tāpat kā vertikālie leņķi. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tāpēc ΔMOL = ΔNOK, un līdz ar to ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO ir taisns, kas nozīmē, ka ∠KNO arī ir taisns. Tādējādi taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, tāpēc tās ir paralēlas, kas bija jāpierāda.

Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustpunktu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180°.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD ir paralēlas, ja, tām krustojot trešo taisni EF, attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai daži atbilstošie leņķi ir vienādi, piemēram, ∠ 3 = ∠2 (Zīm.);

∠3 = ∠1, kā vertikālie leņķi; tas nozīmē, ka ∠2 būs vienāds ar ∠1. Bet leņķi 2 un 1 krustojas iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divas taisnes krustojas ar trešo, krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi, tad šīs līnijas ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Paralēlu līniju konstruēšana, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri, balstās uz šo īpašību. Tas tiek darīts šādi.

Piestiprināsim trīsstūri lineālam, kā parādīts attēlā. Mēs pārvietosim trīsstūri tā, lai viena no tā malām slīdētu gar lineālu, un mēs novilksim vairākas taisnas līnijas pa kādu citu trijstūra malu. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Ļaujiet mums zināt, ka tad, kad divas taisnes AB un CD krustojas ar trešo taisni, jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180°). Vai šajā gadījumā taisnes AB un CD būs paralēlas (att.).

Ļaujiet ∠1 un ∠2 būt iekšējiem vienpusējiem leņķiem un saskaitiet līdz 2 d.

Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kā blakus leņķi. Tāpēc ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Tādējādi ∠1 = ∠3, un šie iekšējie leņķi atrodas šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d (vai 180°), tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Paralēlu līniju zīmes:

1. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

2. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

3. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

4. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

5. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

Eiklida paralēlisma aksioma

Uzdevums. Caur punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, novelciet līniju, kas ir paralēla taisnei AB.

Izmantojot pārbaudītās teorēmas par līniju paralēlisma pazīmēm, šo problēmu var atrisināt dažādos veidos,

Risinājums. 1. solis (199. zīmējums).

Uzzīmējam MN⊥AB un caur punktu M zīmējam CD⊥MN;

mēs iegūstam CD⊥MN un AB⊥MN.

Pamatojoties uz teorēmu (“Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai taisnei, tad tās ir paralēlas.”) secinām, ka CD || AB.

2. metode (200. zīmējums).

Novelkam MK, kas krustojas AB jebkurā leņķī α, un caur punktu M novelkam taisni EF, veidojot leņķi EMK ar taisni MK, kas vienāds ar leņķi α. Pamatojoties uz teorēmu (), secinām, ka EF || AB.

Atrisinot šo uzdevumu, varam uzskatīt, ka ir pierādīts, ka caur jebkuru punktu M, kas atrodas ārpus taisnes AB, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni. Rodas jautājums, cik līniju ir paralēlas noteiktai taisnei un iet cauri šis punkts, var pastāvēt?

Konstrukcijas prakse ļauj pieņemt, ka ir tikai viena šāda taisne, jo ar rūpīgi izpildītu zīmējumu taisnes, kas dažādos veidos novilktas caur vienu un to pašu punktu paralēli tai pašai taisnei, saplūst.

Teorētiski atbildi uz uzdoto jautājumu sniedz tā sauktā Eiklida paralēlisma aksioma; tas ir formulēts šādi:

Caur punktu, kas ņemts ārpus dotās taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni.

201. zīmējumā caur punktu O ir novilkta taisne SC, kas ir paralēla taisnei AB.

Jebkura cita taisne, kas iet caur punktu O, vairs nebūs paralēla taisnei AB, bet krustos to.

Aksiomu, ko Eiklīds pieņēma savos elementos un kurā teikts, ka plaknē caur punktu, kas ņemts ārpus noteiktas taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni. Eiklida paralēlisma aksioma.

Vairāk nekā divus tūkstošus gadu pēc Eiklida daudzi matemātiķi mēģināja pierādīt šo matemātisko apgalvojumu, taču viņu mēģinājumi vienmēr bija nesekmīgi. Tikai 1826. gadā izcilais krievu zinātnieks, Kazaņas universitātes profesors Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis pierādīja, ka, izmantojot visas pārējās Eiklida aksiomas, šo matemātisko apgalvojumu nevar pierādīt, ka tas tiešām ir jāpieņem kā aksioma. N.I.Lobačevskis radīja jaunu ģeometriju, kuru atšķirībā no Eiklida ģeometrijas sauc par Lobačevska ģeometriju.

atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7;

iekšējie šķērsleņķi: 3 un 5, 4 un 6;

ārējie šķērsleņķi: 1 un 7, 2 un 8;

iekšējie vienpusējie stūri: 3 un 6, 4 un 5;

ārējie vienpusējie stūri: 1 un 8, 2 un 7.

Tātad ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 8 = ∠ 6, bet saskaņā ar to, kas ir pierādīts, ∠ 4 = ∠ 6.

Tāpēc ∠ 2 = ∠ 8.

3. Atbilstoši leņķi 2 un 6 ir vienādi, jo ∠ 2 = ∠ 4 un ∠ 4 = ∠ 6. Tāpat pārliecināsimies, ka pārējie atbilstošie leņķi ir vienādi.

4. Summa iekšējie vienpusējie stūri 3 un 6 būs 2d, jo summa blakus esošie stūri 3 un 4 ir vienāds ar 2d = 180 0, un ∠ 4 var aizstāt ar identisku ∠ 6. Mēs arī pārliecināmies, ka leņķu summa 4 un 5 ir vienāds ar 2d.

5. Summa ārējie vienpusējie stūri būs 2d, jo šie leņķi ir attiecīgi vienādi iekšējie vienpusējie stūri kā stūri vertikāli.

No iepriekšminētā pierādītā pamatojuma mēs iegūstam apgrieztās teorēmas.

Kad divu līniju krustpunktā ar patvaļīgu trešo līniju mēs iegūstam, ka:

1. Iekšējie šķērsleņķi ir vienādi;

vai 2.Ārējie šķērsām leņķi ir identiski;

vai 3. Atbilstošie leņķi ir vienādi;

vai 4. Iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 2d = 180 0;

vai 5.Ārējo vienpusējo summu summa ir 2d = 180 0 ,

tad pirmās divas taisnes ir paralēlas.

Šī nodaļa ir veltīta paralēlu līniju izpētei. Tas ir nosaukums, kas dots divām taisnēm plaknē, kas nekrustojas. Mēs redzam vidē paralēlu līniju segmentus - tās ir divas taisnstūra galda malas, divas grāmatas vāka malas, divi trolejbusa stieņi utt.. Paralēlām līnijām ir ļoti liela nozīme ģeometrijā. svarīga loma. Šajā nodaļā jūs uzzināsiet par to, kas ir ģeometrijas aksiomas un kas ir paralēlu taisnu aksioma, kas ir viena no slavenākajām ģeometrijas aksiomām.

1. punktā mēs atzīmējām, ka divām līnijām vai nu ir viens kopīgs punkts, tas ir, tās krustojas, vai arī tām nav viena kopīga punkta, tas ir, tās nekrustojas.

Definīcija

Līniju a un b paralēlismu apzīmē šādi: a || b.

98. attēlā redzamas līnijas a un b, kas ir perpendikulāras taisnei c. 12. punktā konstatējām, ka šādas taisnes a un b nekrustojas, t.i., ir paralēlas.

Rīsi. 98

Kopā ar paralēlām līnijām bieži tiek apsvērti paralēli segmenti. Abi segmenti tiek saukti paralēli, ja tie atrodas uz paralēlām līnijām. 99. attēlā segmenti AB un CD ir paralēli (AB || CD), bet segmenti MN un CD nav paralēli. Līdzīgi nosaka segmenta un taisnes (99. att., b), stara un taisnes, segmenta un stara, divu staru paralēlismu (99. att., c).

Rīsi. 99 Divu taisnes paralēlisma pazīmes

Tiek saukta taisna līnija ar sekants attiecībā pret taisnēm a un b, ja tā krusto tās divos punktos (100. att.). Taisnēm a un b krustojoties ar šķērsvirzienu c, veidojas astoņi leņķi, kurus 100. attēlā norāda ar cipariem. Dažiem šo leņķu pāriem ir īpaši nosaukumi:

šķērsām leņķi: 3 un 5, 4 un 6;
vienpusēji leņķi: 4 un 5, 3 un 6;
atbilstošie leņķi: 1 un 5, 4 un 8, 2 un 6, 3 un 7.

Rīsi. 100

Apskatīsim trīs ar šiem leņķu pāriem saistītu divu taisnu līniju paralēlisma pazīmes.

Teorēma

Pierādījums

Lai krustojošās taisnes a un b šķērsām leņķiem AB ir vienādas: ∠1 = ∠2 (101. att., a).

Pierādīsim, ka a || b. Ja leņķi 1 un 2 ir taisni (101. att., b), tad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei AB un līdz ar to paralēlas.

Rīsi. 101

Apskatīsim gadījumu, kad leņķi 1 un 2 nav pareizi.

No segmenta AB vidus O novelkam perpendikulāru OH taisnei a (101. att., c). Uz taisnes b no punkta B noliksim nogriezni ВН 1, kas vienāds ar nogriezni AH, kā parādīts 101. attēlā, c, un uzzīmēsim nogriezni OH 1. Trijstūri OHA un OH 1 B ir vienādi abās pusēs un leņķis starp tiem (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), tāpēc ∠3 = ∠4 un ∠5 = ∠6. No vienādības ∠3 = ∠4 izriet, ka punkts H 1 atrodas uz stara OH turpinājuma, t.i., punkti H, O un H 1 atrodas uz vienas taisnes, un no vienādības ∠5 = ∠6 izriet, ka leņķis 6 ir taisna līnija (jo leņķis 5 ir taisns leņķis). Tātad taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei HH 1, tātad tās ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Lai attiecīgie leņķi ir vienādi, kad taisnes a un b krustojas ar šķērsvirzienu c, piemēram, ∠1 =∠2 (102. att.).

Rīsi. 102

Tā kā leņķi 2 un 3 ir vertikāli, tad ∠2 = ∠3. No šīm divām vienādībām izriet, ka ∠1 = ∠3. Bet leņķi 1 un 3 ir šķērsām, tātad taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Teorēma

Pierādījums

Ļaujiet taisnes a un b krustpunktam ar šķērsvirzienu c summēt vienpusējos leņķus, kas vienādi ar 180°, piemēram, ∠1 + ∠4 = 180° (sk. 102. att.).

Tā kā leņķi 3 un 4 atrodas blakus, tad ∠3 + ∠4 = 180°. No šīm divām vienādībām izriet, ka šķērsgriezuma leņķi 1 un 3 ir vienādi, tāpēc taisnes a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

Praktiski veidi, kā konstruēt paralēlas līnijas

Rīsi. 103 104. attēlā parādīta metode paralēlu līniju konstruēšanai, izmantojot šķērsstieni. Šo metodi izmanto zīmēšanas praksē.

Rīsi. 104 Līdzīga metode tiek izmantota, veicot galdniecības darbus, kur paralēlu līniju iezīmēšanai izmanto bloku (divi koka dēļi, kas piestiprināti ar viru, 105. att.).

Rīsi. 105

Uzdevumi

186. 106. attēlā taisnes a un b ir krustotas ar taisni c. Pierādīt, ka a || b, ja:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, un leņķis 7 ir trīs reizes lielāks par leņķi 3.

Rīsi. 106

187. Pamatojoties uz 107. attēla datiem, pierādiet, ka AB || D.E.

Rīsi. 107

188. Segmenti AB un CD krustojas to kopējā viduspunktā. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

189. Izmantojot 108. attēla datus, pierādiet, ka BC || A.D.

Rīsi. 108

190. 109. attēlā AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Pierādiet, ka DE || AC.

Rīsi. 109

191. Segments BK ir trijstūra ABC bisektrise. Caur punktu K tiek novilkta taisna līnija, kas krusto malu BC punktā M tā, lai BM = MK. Pierādīt, ka taisnes KM un AB ir paralēlas.

192. Trijstūrī ABC leņķis A ir 40°, bet leņķis ALL, kas atrodas blakus leņķim ACB, ir 80°. Pierādīt, ka leņķa ALL bisektrise ir paralēla taisnei AB.

193. Trijstūrī ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Caur virsotni B tiek novilkta taisna līnija BD tā, lai stars BC būtu leņķa ABD bisektrise. Pierādīt, ka taisnes AC un BD ir paralēlas.

194. Uzzīmē trijstūri. Caur katru šī trīsstūra virsotni, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla pretējai malai.

195. Uzzīmējiet trijstūri ABC un atzīmējiet punktu D uz malas AC. Caur punktu D, izmantojot zīmēšanas kvadrātu un lineālu, novelciet taisnas līnijas, kas ir paralēlas pārējām divām trijstūra malām.