Пример за площ на триъгълник. Площ на триъгълник. Общи формули за ситуацията, когато са известни радиусите на вписаните или описани окръжности

За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е умножаването на височината по дължината на основата и след това разделянето на резултата на две. въпреки това този методдалеч от единствената. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме методи за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълник - правоъгълен, равнобедрен и равностранен. Ние придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални начини за намиране на площта на триъгълник

Формулите по-долу използват специални обозначения. Ще дешифрираме всеки един от тях:

• a, b, c са дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжност, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около нея;
• α - стойността на ъгъла, образуван от страните b и c;
• β е ъгълът между a и c;
• γ - стойността на ъгъла, образуван от страните a и b;
• h е височината на нашия триъгълник, спуснат от ъгъл α към страна a;
• p е половината от сбора на страните a, b и c.

Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът лесно се завършва до паралелограм, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на паралелограма се намира, като дължината на една от страните му се умножи по стойността на изтеглената към него височина. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен паралелограм.

S=½ a b sin γ

Съгласно тази формула площта на триъгълника се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, който образуват. Тази формула е логично извлечена от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β до страна b, тогава, според свойствата на правоъгълния триъгълник, когато умножим дължината на страна a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, т.е. h.

Площта на разглежданата фигура се намира като се умножи половината от радиуса на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S= a b c/4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да се намери, като се раздели произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на окръжността, описана около нея.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (скален, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник? Характеристика на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейните височини. Ако a и b са катета и c става хипотенузата, тогава площта се намира, както следва:

Как да намерите района равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно, неговата площ може да се определи, като се раздели на 2 произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъла γ.

Как да намерим площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е a, а стойността на всички ъгли е α. Височината му е половината от произведението на дължината на страната, умножена по корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, ви трябва квадратът на страната a, умножен по корен квадратен от 3 и разделен на 4.

Формула за площе необходимо да се определи площта на фигура, която е функция с реална стойност, дефинирана върху определен клас фигури в евклидовата равнина и отговаряща на 4 условия:

1. Положителен - Площта не може да бъде по-малка от нула;
2. Нормализация - квадрат със страна на единица има площ 1;
3. Конгруентност – конгруентните фигури имат еднаква площ;
4. Адитивност - площта на обединението на 2 фигури без общи вътрешни точки е равна на сумата от площите на тези фигури.

Площ на триъгълник. В много геометрични задачи, свързани с изчисляването на площи, се използват формули за площта на триъгълник. Има няколко от тях, тук ще разгледаме основните.Изброяването на тези формули би било твърде просто и безполезно. Ще анализираме произхода на основните формули, тези, които се използват най-често.

Преди да се запознаете с извличането на формули, не забравяйте да разгледате статията за.След като изучите материала, можете лесно да възстановите формулите в паметта (ако изведнъж „излетят“ в подходящия момент за вас).

Първа формула

Диагоналът на паралелограма го разделя на два триъгълника с еднаква площ:

Следователно площта на триъгълника ще бъде равна на половината от площта на паралелограма:

Формула за площ на триъгълник

* Тоест, ако знаем някоя страна на триъгълника и височината, спусната до тази страна, винаги можем да изчислим площта на този триъгълник.

Формула две

Както вече беше посочено в статията за площта на паралелограма, формулата има формата:

Площта на триъгълник е половината от неговата площ, така че:

*Тоест, ако са известни две страни в триъгълник и ъгълът между тях, винаги можем да изчислим площта на такъв триъгълник.

Формулата на Херон (трета)

Тази формула е трудна за извличане и нямате нужда от нея. Вижте колко е красива, можем да кажем, че се помни.

*Ако са дадени три страни на триъгълник, тогава с помощта на тази формула винаги можем да изчислим неговата площ.

Формула 4

където rе радиусът на вписаната окръжност

*Ако са известни три страни на триъгълник и радиусът на вписаната в него окръжност, тогава винаги можем да намерим площта на този триъгълник.

Формула пет

където Ре радиусът на описаната окръжност.

*Ако са известни три страни на триъгълник и радиусът на описаната окръжност, тогава винаги можем да намерим площта на такъв триъгълник.

Възниква въпросът: ако са известни три страни на триъгълник, тогава не е ли по-лесно да се намери неговата площ по формулата на Херон!

Да, по-лесно е, но не винаги, понякога става трудно. Това е свързано с извличане на корени. В допълнение, тези формули са много удобни за използване в задачи, при които е дадена площта на триъгълник, дадени са неговите страни и се изисква да се намери радиусът на вписана или описана окръжност. Такива задачи са включени в изпита.

Нека да разгледаме формулата:

Това е специален случай на формулата за площта на многоъгълник, в който е вписан кръг:

Помислете за това на примера на петоъгълник:

Свързваме центъра на окръжността с върховете на този петоъгълник и пускаме перпендикуляри от центъра към страните му. Получаваме пет триъгълника, като изпуснатите перпендикуляри са радиусите на вписаната окръжност:

Площта на петоъгълника е:

Сега е ясно, че ако говорим за триъгълник, тогава тази формула приема формата:

Формула шест

Геометрична област- числова характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворен контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площ на триъгълник за страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на една страна на триъгълник и дължината на надморската височина, изтеглена от тази страна
   
2. Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на описаната окръжност
   
3. Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на вписана окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението на полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължините на страните на триъгълника,
- височината на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формулата за площта на квадрат, като се има предвид дължината на страната
   квадратна площе равно на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формулата за площта на квадрат, като се има предвид дължината на диагонала
   квадратна площравно на половината от квадрата на дължината на диагонала му.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
е дължината на страната на квадрата,
е дължината на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълнике равно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
са дължините на страните на правоъгълника.

Формули за площта на паралелограма

1. Формула за площ на паралелограма за дължина и височина на страната
   Площ на паралелограма
2. Формулата за площта на паралелограма, дадени на две страни и ъгъла между тях
   Площ на паралелограмае равно на произведението на дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sinα

където S е площта на паралелограма,
са дължините на страните на паралелограма,
е височината на паралелограма,
е ъгълът между страните на паралелограма.

Формули за площта на ромб

1. Формула за площ на ромб, дадена дължина и височина на страната
   Област на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната на тази страна.
2. Формулата за площта на ромб, като се има предвид дължината на страната и ъгъла
   Област на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формулата за площта на ромб от дължините на диагоналите му
   Област на ромбе равно на половината от произведението на дължините на диагоналите му.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължината на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължините на диагоналите.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   където S е площта на трапеца,
   - дължината на основите на трапеца,
   - дължината на страните на трапеца,
   

Може да се намери, като се знае основата и височината. Цялата простота на схемата се състои във факта, че височината разделя основата a на две части a 1 и a 2, а самият триъгълник на два правоъгълни триъгълника, чиято площ се получава и. Тогава площта на целия триъгълник ще бъде сумата от двете посочени области и ако извадим една половина от височината от скобата, тогава общо получаваме обратно основата:

По-труден метод за изчисления е формулата на Heron, за която трябва да знаете и трите страни. За тази формула първо трябва да изчислите полупериметъра на триъгълника: Самата формула на Херон предполага корен квадратен от полупериметъра, умножен на свой ред по неговата разлика от всяка страна.

Следният метод, също подходящ за всеки триъгълник, ви позволява да намерите площта на триъгълника през две страни и ъгъла между тях. Доказателството за това следва от формулата с височина - теглим височината към някоя от известните страни и през синуса на ъгъла α получаваме, че h=a⋅sinα . За да изчислите площта, умножете половината от височината по втората страна.

Друг начин е да намерите площта на триъгълник с 2 ъгъла и страната между тях. Доказателството на тази формула е доста просто и може да се види ясно от диаграмата.

Понижаваме височината от горната част на третия ъгъл до известната страна и извикваме съответно получените сегменти x. От правоъгълни триъгълнициможе да се види, че първият сегмент x е равен на произведението