Trapecveida ir četrstūris, kuram ir divas paralēlas malas, kas ir pamati, un divas malas, kas nav paralēlas, kas ir malas.
Ir arī tādi nosaukumi kā vienādsānu vai vienādmalu.
ir trapece, kuras sānu leņķi ir taisni.
Trapecveida elementi
a, b - trapecveida pamatnes(paralēle b),
m, n - puses trapeces,
d 1 , d 2 — diagonāles trapeces,
h - augstums trapecveida (segments, kas savieno pamatnes un vienlaikus tām perpendikulārs),
MN - vidējā līnija(segments, kas savieno malu viduspunktus).
Trapecveida laukums
- Caur bāzu a, b un augstuma h pussummu: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
- Caur centra līniju MN un augstumu h: S = MN\cdot h
- Caur diagonālēm d 1, d 2 un leņķi (\sin \varphi) starp tām: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)
Trapeces īpašības
Trapeces viduslīnija
vidējā līnija paralēli pamatiem, vienāds ar to pussummu un sadala katru segmentu ar galiem, kas atrodas uz taisnām līnijām, kas satur pamatnes (piemēram, figūras augstumu) uz pusēm:
MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)
Trapecveida leņķu summa
Trapecveida leņķu summa, blakus katrai pusei, ir vienāds ar 180^(\circ) :
\alpha + \beta = 180^(\circ)
\gamma + \delta =180^(\circ)
Vienāda laukuma trapecveida trīsstūri
Vienāda izmēra, tas ir, ar vienādiem laukumiem, ir diagonālie segmenti un trijstūri AOB un DOC, ko veido sānu malas.
Izveidoto trapecveida trīsstūru līdzība
Līdzīgi trīsstūri ir AOD un COB, ko veido to pamatnes un diagonālie segmenti.
\trijstūris AOD \sim \trijstūris COB
Līdzības koeficients k tiek atrasts pēc formulas:
k = \frac(AD)(BC)
Turklāt šo trīsstūru laukumu attiecība ir vienāda ar k^(2) .
Segmentu un pamatu garumu attiecība
Katrs segments, kas savieno pamatnes un iet caur trapecveida diagonāļu krustošanās punktu, tiek dalīts ar šo punktu attiecībā:
\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)
Tas attieksies arī uz augstumu ar pašām diagonālēm.
Trapece ir plakans četrinieks kvadrāts, kuras divas pretējās malas ir paralēlas. Tos sauc par bāzēm trapeces, un pārējās divas malas ir sānu malas trapeces .
Instrukcijas
1. Patvaļīga leņķa atrašanas problēma trapeces prasa pietiekami daudz papildu datu. Apskatīsim piemēru, kurā divi leņķi pie pamatnes ir slaveni trapeces. Ļaujiet mums zināt leņķus ∠BAD un ∠CDA, ļaujiet mums atrast leņķus ∠ABC un ∠BCD. Trapecveida formai ir īpašība, ka leņķu summa katrā pusē ir 180°. Tad ∠ABC = 180°-∠BAD un ∠BCD = 180°-∠CDA.
2. Vēl viena problēma var norādīt uz pušu vienlīdzību trapeces un jebkādi papildu leņķi. Teiksim, tāpat kā attēlā, var zināt, ka malas AB, BC un CD ir vienādas, un diagonāle ar apakšējo pamatni veido leņķi ∠CAD = α. Apskatīsim trīs. kvadrāts ABC, tas ir vienādsānu, jo AB = BC. Tad ∠BAC = ∠BCA. Apzīmēsim to ar x īsuma labad un ∠ABC ar y. Jebkuru trīs leņķu summa kvadrāts a ir vienāds ar 180°, no tā izriet, ka 2x + y = 180°, tad y = 180° – 2x. Tajā pašā laikā no īpašumiem trapeces: y + x + α = 180° un tāpēc 180° – 2x + x + α = 180°. Tādējādi x = α. Mēs atradām divus stūrus trapeces: ∠BAC = 2x = 2α un ∠ABC = y = 180° – 2α Tā kā AB = CD pēc nosacījuma, tad trapece ir vienādsānu vai vienādsānu. Tas nozīmē, ka diagonāles ir vienādas un leņķi pie pamatiem ir vienādi. Tādējādi ∠CDA = 2α un ∠BCD = 180° – 2α.
Diagonāli daudz kvadrāts– segments, kas savieno divas figūras virsotnes, kas nav blakus (t.i., virsotnes, kas nav blakus vai daudzas, kas nepieder vienai un tai pašai pusei) kvadrāts). Paralelogrammā, zinot diagonāļu garumu un malu garumu, varat aprēķināt leņķus starp diagonāles .
Instrukcijas
1. Lai atvieglotu informācijas uztveršanu, uz papīra uzzīmējiet patvaļīgu paralelogramu ABCD (paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir vienādas un paralēlas pa pāriem). Savienojiet pretējās virsotnes ar segmentiem. Iegūtie AC un BD ir diagonāles. Atzīmējiet diagonāļu krustpunktu ar burtu O. Jums jāatrod leņķi BOC (AOD) un COD (AOB).
2. Paralelogramam ir vairākas matemātiskas īpašības: - diagonāles tiek dalītas uz pusēm ar krustpunktu; – paralelograma diagonāle sadala to divos vienādos trīsstūros kvadrāts;- visu paralelograma leņķu summa ir vienāda ar 360 grādiem; - paralelograma vienai malai blakus esošo leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem; - diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar dubultsummu blakus esošo malu kvadrātiem.
3. Lai atrastu leņķus starp diagonāles, izmantojiet kosinusa teorēmu no elementārās ģeometrijas teorijas (Eiklīda). Saskaņā ar kosinusa teorēmu, trīs malas kvadrāts kvadrāts(A) var iegūt, saskaitot tā 2 citu malu (B un C) kvadrātus un no iegūtās summas atņemot šo malu dubultreizinājumu (B un C) ar starp tām esošā leņķa kosinusu.
4. Attiecībā uz paralelograma ABCD trīsstūri BOS kosinusa teorēma izskatīsies šādi: Kvadrāts BC = kvadrāts BO + kvadrāts OC – 2*BO*OS*cos leņķis BOC Tātad cos leņķis BOC = (kvadrāts BC – kvadrāts BO – kvadrāts OC) / (2*BO *OS)
5. Atklājot leņķa BOS (AOD) vērtību, ir viegli aprēķināt cita leņķa vērtību, kas atrodas starp diagonāles– COD (AOB). Lai to izdarītu, no 180 grādiem atņemiet leņķa BOC (AOD) vērtību - jo blakus esošo leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem, un leņķi BOC un COD un leņķi AOD un AOB atrodas blakus.
Video par tēmu
Lai atrisinātu šo problēmu, izmantojot vektoru algebras metodes, jums jāzina šādi attēlojumi: ģeometriskā vektora summa un vektoru skalārā reizinājums, kā arī jāatceras četrstūra iekšējo leņķu summas kvalitāte.
Jums būs nepieciešams
- - papīrs;
- - pildspalva;
- - lineāls.
Instrukcijas
1. Vektors ir virzīts segments, tas ir, lielums, kas tiek uzskatīts par pilnībā dotu, ja ir norādīts tā garums un virziens (leņķis) pret noteiktu asi. Lielāka vektora atrašanās vietu nekas neierobežo. Divi vektori, kuriem ir vienāds garums un vienāds virziens, tiek uzskatīti par vienādiem. Līdz ar to, izmantojot koordinātas, vektori tiek attēloti ar tā gala punktu rādiusu vektoriem (priekšvārds atrodas koordinātu sākumā).
2. Pēc definīcijas: iegūtais vektoru ģeometriskās summas vektors ir vektors, kas sākas no pirmā sākuma un kura beigas ir otrā beigās, ar nosacījumu, ka pirmā beigas ir apvienotas ar otrā sākumu. To var turpināt, veidojot līdzīgi izvietotu vektoru ķēdi. Uzzīmējiet doto četrstūri ABCD ar vektoriem a, b, c un d saskaņā ar att. 1. Acīmredzot ar šo izkārtojumu iegūtais vektors ir d=a+ b+c.
3. Šajā gadījumā ikvienam ir ērtāk noteikt skalāro reizinājumu, pamatojoties uz vektoriem a un d. Punktu reizinājums, apzīmēts ar (a, d)= |a||d|cosф1. Šeit φ1 ir leņķis starp vektoriem a un d. Ar koordinātām norādīto vektoru skalāro reizinājumu nosaka ar šādu izteiksmi: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, | d|^2 = dx^2+ dy^2, tad cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
4. Vektoru algebras pamatjēdzieni saistībā ar šo problēmu noved pie tā, ka šīs problēmas unikālai formulēšanai ir pietiekami norādīt 3 vektorus, kas, iespējams, atrodas uz AB, BC un CD, tas ir, a, b, c. Beidzot uzreiz var uzstādīt punktu A, B, C, D koordinātas, bet šī metode ir lieks (4 parametri 3 vietā).
5. Piemērs. Četrstūri ABCD nosaka tā malu vektori AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Atrodiet leņķus starp tā malām. Risinājums. Saistībā ar iepriekš minēto, 4. vektors (AD) d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+by+cy)=(1,3). Izmantojot leņķa aprēķināšanas metodi starp vektoriem аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), Ф1=arcos (1/sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(- 1/sqrt2), f2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), f3 =arcos(-1/sqrt(10))=p-f1. Saskaņā ar 2. piezīmi – f4=2p- f1 – f2- f3=p/4.
Video par tēmu
Piezīme!
1. piezīme. Punktu reizinājuma definīcijā tiek izmantots leņķis starp vektoriem. Šeit, teiksim, φ2 ir leņķis starp AB un BC, un starp a un b dotais leņķis ir π-φ2. cos(n- ph2)=- cosph2. Līdzīgi f3.. 2. piezīme. Ir zināms, ka četrstūra leņķu summa ir 2n. Līdz ar to φ4 = 2p- φ1 – φ2- φ3.
Trapecveida ir ģeometriskā figūra, četrstūris, kuram ir divi paralēlas līnijas. Pārējās divas taisnes nevar būt paralēlas, tādā gadījumā tas būtu paralelograms.
Trapecveida formas
Ir trīs veidu trapeces: taisnstūrveida, kad divi trapeces leņķi ir 90 grādi; vienādmalu, kurā abas sānu līnijas ir vienādas; universāls, kur sānu līnijas ir dažāda garuma.
Strādājot ar trapecām, jūs varat iemācīties aprēķināt to laukumu, augstumu, līnijas izmēru, kā arī izdomāt, kā atrast trapeces leņķus.
Taisnstūra trapecveida forma
Taisnstūra trapecveida formai ir divi 90 grādu leņķi. Atlikušo divu leņķu summa ir 180 grādi. Tāpēc ir veids, kā atrast taisnleņķa trapeces leņķus, zinot viena leņķa izmēru. Lai tas būtu, piemēram, 26 grādi. Jums vienkārši jāatņem zināmo leņķu summa no trapeces leņķu kopējās summas - 360 grādi. 360-(90+90+26) = 154. Vēlamais leņķis būs 154 grādi. To var uzskatīt par vienkāršāku: tā kā divi leņķi ir taisni leņķi, tad kopā tie būs 180 grādi, tas ir, puse no 360; slīpo leņķu summa arī būs vienāda ar 180, lai jūs varētu vieglāk un ātrāk aprēķināt 180 -26 = 154.
Vienādsānu trapece
Vienādsānu trapecei ir divas vienādas malas, kas nav pamatnes. Ir formulas, kas izskaidro, kā atrast vienādsānu trapeces leņķus.
1. aprēķins, ja ir doti trapeces malu izmēri
Tos apzīmē ar burtiem A, B un C: A ir sānu izmēri, B un C ir pamatnes izmēri, attiecīgi mazāki un lielāki. Trapecveida forma jāsauc arī par ABCD. Aprēķiniem nepieciešams no leņķa B novilkt augstumu H. Izveidojas taisnleņķa trīsstūris BNA, kur AN un BH ir kājas, AB ir hipotenūza. Tagad jūs varat aprēķināt kājas izmēru AN. Lai to izdarītu, no trapeces lielākās pamatnes ir jāatņem mazākais un jāsadala uz pusēm, t.i. (с-b)/2.
Lai atrastu trijstūra akūto leņķi, jāizmanto funkcija cos. Vēlamā leņķa (β) cos būs vienāds ar a / ((c-b)/2). Lai uzzinātu leņķa β lielumu, jāizmanto arcos funkcija. β = arcos 2a/c-b. Jo divi vienādmalu trapeces leņķi ir vienādi, tad tie būs: leņķis BAD = leņķis CDA = arkos 2a/c-b.
Aprēķins 2. Ja ir doti trapeces pamatu izmēri.
Ņemot vērā trapecveida pamatu vērtības - a un b, varat izmantot to pašu metodi kā iepriekšējā risinājumā. No leņķa b ir nepieciešams pazemināt augstumu h. Ņemot vērā jaunizveidotā trīsstūra divu kāju izmērus, varat izmantot līdzīgu trigonometriskā funkcija, tikai šajā gadījumā tas būs tg. Lai pārvērstu leņķi un iegūtu tā vērtību, jums jāizmanto funkcija arctg. Pamatojoties uz formulām, mēs iegūstam nepieciešamo leņķu izmērus:
β = arctg 2h/s-b, un leņķis α = 180 - arctg 2h/s-b/
Regulāra skalēna trapece
Ir veids, kā atrast trapecveida lielāko leņķi. Lai to izdarītu, jums jāzina abu akūto leņķu izmēri. Zinot tos un zinot, ka leņķu summa jebkurā trapeces pamatnē ir 180 grādi, mēs secinām, ka nepieciešamais strupais leņķis sastāvēs no starpības 180 - lieluma. akūts leņķis. Varat arī atrast citu trapeces leņķi.
Vienādsānu trapeces leņķi. Sveiki! Šajā rakstā galvenā uzmanība tiks pievērsta trapecveida problēmu risināšanai. Šī uzdevumu grupa ir daļa no eksāmena, problēmas ir vienkāršas. Mēs aprēķināsim trapeces, pamatnes un augstuma leņķus. Atrisinot vairākas problēmas, ir jāatrisina, kā saka: kur mēs esam bez Pitagora teorēmas?
Strādāsim ar vienādsānu trapeci. Tam ir vienādas malas un leņķi pie pamatnēm. Emuārā ir raksts par trapecveida formu.
Ievērojiet mazo un svarīga nianse, ko pašu uzdevumu risināšanas procesā sīkāk neaprakstīsim. Paskaties, ja mums ir dotas divas pamatnes, tad lielākā bāze ar nolaistiem augstumiem tiek sadalīta trīs segmentos - viens ir vienāds ar mazāko pamatni (tās ir taisnstūra pretējās malas), pārējās divas ir vienādas ar katru cits (šīs ir vienādu taisnleņķa trīsstūru kājas):
Vienkāršs piemērs: dotas divas vienādsānu trapeces pamatnes 25 un 65. Lielāko bāzi sadala segmentos šādi:
*Un tālāk! Nav iekļauts uzdevumos burtu apzīmējumi. Tas tika darīts apzināti, lai nepārslogotu risinājumu ar algebriskiem precizējumiem. Piekrītu, ka tas ir matemātiski analfabēts, bet mērķis ir saprast lietas būtību. Un virsotņu un citu elementu apzīmējumus vienmēr var izveidot pats un pierakstīt matemātiski pareizu risinājumu.
Apskatīsim uzdevumus:
27439. Vienādsānu trapeces pamati ir 51 un 65. Malas ir 25. Atrodiet trapeces asā leņķa sinusu.
Lai atrastu leņķi, ir jākonstruē augstumi. Skicē mēs apzīmējam datus daudzuma stāvoklī. Apakšējā pamatne ir 65, ar augstumu tā ir sadalīta segmentos 7, 51 un 7:
IN taisnleņķa trīsstūris Mēs zinām hipotenūzu un kāju, varam atrast otro kāju (trapeces augstumu) un pēc tam aprēķināt leņķa sinusu.
Saskaņā ar Pitagora teorēmu norādītā kāja ir vienāda ar:
Tādējādi:
Atbilde: 0,96
27440. Vienādsānu trapeces pamati ir 43 un 73. Trapeces asā leņķa kosinuss ir 5/7. Atrodi pusi.
Konstruēsim augstumus un atzīmēsim datus lieluma stāvoklī; apakšējā bāze ir sadalīta segmentos 15, 43 un 15:
27441. Vienādsānu trapeces lielākā pamatne ir 34. Mala ir 14. Akūta leņķa sinuss ir (2√10)/7. Atrodiet mazāko pamatni.
Celsim augstumus. Lai atrastu mazāko bāzi, mums ir jāatrod, ar ko ir vienāds segments, kas ir taisnā trijstūra kāja (norādīts zilā krāsā):
Mēs varam aprēķināt trapeces augstumu un pēc tam atrast kāju:
Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs aprēķinām kāju:
Tātad mazākā bāze ir:
27442. Vienādsānu trapeces pamati ir 7 un 51. Akūta leņķa pieskare ir 5/11. Atrodiet trapeces augstumu.
Konstruēsim augstumus un atzīmēsim datus lieluma stāvoklī. Apakšējā bāze ir sadalīta segmentos:
Ko darīt? Mēs izsakām mums zināmā leņķa tangensu pie pamatnes taisnleņķa trijstūrī:
27443. Vienādsānu trapeces mazākais pamats ir 23. Trapeces augstums ir 39. Akūta leņķa pieskare ir 13/8. Atrodiet lielāku bāzi.
Mēs veidojam augstumus un aprēķinām, ar ko ir vienāda kāja:
Tādējādi lielākā bāze būs vienāda ar:
27444. Vienādsānu trapeces pamati ir 17 un 87. Trapeces augstums ir 14. Atrodi asā leņķa tangensu.
Mēs veidojam augstumus un iezīmējam zināmās vērtības uz skices. Apakšējā bāze ir sadalīta segmentos 35, 17, 35:
Pēc pieskares definīcijas:
77152. Vienādsānu trapeces pamati ir 6 un 12. Trapeces akūtā leņķa sinuss ir 0,8. Atrodi pusi.
Izveidosim skici, konstruēsim augstumus un atzīmēsim zināmās vērtības, lielākā bāze tiek sadalīta 3., 6. un 3. segmentā:
Izteiksim hipotenūzu, kas apzīmēta kā x, izmantojot kosinusu:
No galvenā trigonometriskā identitāte meklēsim cosα
Tādējādi:
27818. Kāds ir vienādsānu trapeces lielākais leņķis, ja zināms, ka pretējo leņķu starpība ir 50 0? Sniedziet atbildi grādos.
No ģeometrijas kursa mēs zinām, ka, ja mums ir divas paralēlas taisnes un šķērsvirziena, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180 0. Mūsu gadījumā tā ir
Nosacījums saka, ka starpība starp pretējiem leņķiem ir 50 0, tas ir
