Bisektora jēdziens. Trijstūra elementi. Bisektors. kopsavilkums un pamatformulas

Ģeometrija ir viena no sarežģītākajām un mulsinošākajām zinātnēm. Tajā tas, kas pirmajā mirklī šķiet pašsaprotams, ļoti reti izrādās pareizs. Bisektori, augstumi, mediānas, projekcijas, pieskares - milzīgs skaits patiešām sarežģītu terminu, kurus ir ļoti viegli sajaukt.

Patiesībā ar atbilstošu vēlmi jūs varat saprast jebkuras sarežģītības teoriju. Runājot par bisektrijām, mediānām un augstumiem, jums jāsaprot, ka tie nav unikāli trijstūriem. No pirmā acu uzmetiena tās ir vienkāršas līnijas, taču katrai no tām ir savas īpašības un funkcijas, kuru zināšanas ievērojami vienkāršo ģeometrisko problēmu risinājumu. Tātad, kāda ir trijstūra bisektrise?

Definīcija

Pats termins "bisektors" nāk no latīņu vārdu "divi" un "sagriezt", "griezt", kas netieši norāda uz tā īpašībām. Parasti, kad bērni tiek iepazīstināti ar šo staru, viņiem tiek dota īsa frāze, kas jāatceras: "Biszektorija ir žurka, kas skrien pa stūriem un sadala stūri uz pusēm." Protams, šāds skaidrojums nav piemērots vecākiem skolēniem, turklāt viņiem parasti tiek jautāts nevis par leņķi, bet gan par ģeometrisku figūru. Tātad trijstūra bisektrise ir stars, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējo malu, vienlaikus sadalot leņķi divās vienādās daļās. Punkts pretējā pusē, kurā nāk bisektrise, tiek nejauši izvēlēts patvaļīgam trīsstūrim.

Pamatfunkcijas un īpašības

Šim staram ir dažas pamata īpašības. Pirmkārt, tā kā trijstūra bisektrise sadala leņķi uz pusēm, jebkurš punkts, kas atrodas uz tā, atradīsies vienādā attālumā no malām, kas veido virsotni. Otrkārt, katrā trijstūrī var uzzīmēt trīs bisektorus atbilstoši pieejamo leņķu skaitam (tātad vienā četrstūrī tie jau būs četri utt.). Punkts, kurā krustojas visi trīs stari, ir trīsstūrī ierakstītā apļa centrs.

Īpašības kļūst sarežģītākas

Nedaudz sarežģīsim teoriju. Cits interesants īpašums: trijstūra leņķa bisektrise sadala pretējo malu segmentos, kuru attiecība ir vienāda ar virsotni veidojošo malu attiecību. No pirmā acu uzmetiena tas ir sarežģīti, bet patiesībā viss ir vienkārši: piedāvātajā attēlā RL: LQ = PR: PK. Starp citu, šī īpašība tika saukta par “Bisektoru teorēmu” un pirmo reizi parādījās sengrieķu matemātiķa Eiklida darbos. Vienā no krievu mācību grāmatām to atcerējās tikai septiņpadsmitā gadsimta pirmajā ceturksnī.

Tas ir nedaudz sarežģītāk. Četrstūrī bisektrise nogriež vienādsānu trīsstūri. Šajā attēlā parādīti visi vienādi leņķi vidējam AF.

Un četrstūrīšos un trapecēs vienpusējo leņķu bisektrise ir perpendikulāra viena otrai. Parādītajā zīmējumā leņķis APB ir 90 grādi.

Vienādsānu trīsstūrī

Vienādsānu trijstūra bisektrise ir daudz noderīgāks stars. Tajā pašā laikā tas ir ne tikai leņķa dalītājs uz pusēm, bet arī mediāna un augstums.

Mediāna ir segments, kas nāk no kāda stūra un nokrīt pretējās puses vidū, tādējādi sadalot to vienādās daļās. Augstums ir perpendikuls, kas nolaižas no virsotnes uz pretējo pusi, un ar tā palīdzību jebkuru problēmu var reducēt uz vienkāršu un primitīvu Pitagora teorēmu. Šajā situācijā trijstūra bisektrise ir vienāda ar starpības sakni starp hipotenūzas kvadrātu un otru kāju. Starp citu, ar šo īpašību visbiežāk saskaras ģeometriskās problēmās.

Konsolidācijai: šajā trīsstūrī bisektrise FB ir mediāna (AB = BC) un augstums (leņķi FBC un FBA ir 90 grādi).

Kontūrā

Tātad, kas jums jāatceras? Trijstūra bisektrise ir stars, kas sadala tā virsotni uz pusēm. Trīs staru krustpunktā atrodas šajā trijstūrī ierakstītā apļa centrs (vienīgais šīs īpašības trūkums ir tas, ka tam nav praktiskas vērtības un tas kalpo tikai rasējuma kompetentai izpildei). Tas arī sadala pretējo pusi segmentos, kuru attiecība ir vienāda ar to malu attiecību, starp kurām šis stars gāja. Četrstūrī īpašības kļūst nedaudz sarežģītākas, taču, jāatzīst, tās praktiski nekad neparādās problēmās skolas līmenī, tāpēc programmā tie parasti netiek skarti.

Vienādsānu trīsstūra bisektrise ir jebkura skolēna galvenais sapnis. Tas ir gan mediāna (tas ir, pretējo pusi sadala uz pusēm), gan augstums (perpendikulāri šai pusei). Problēmu risināšana ar šādu bisektoru tiek reducēta uz Pitagora teorēmu.

Bisektora pamatfunkciju, kā arī tās pamatīpašību zināšanas ir nepieciešamas gan vidējo, gan ģeometrisko uzdevumu risināšanai. augsts līmenis grūtības. Faktiski šis stars ir atrodams tikai planimetrijā, tāpēc nevar teikt, ka informācijas iegaumēšana par to ļaus jums tikt galā ar visa veida uzdevumiem.

Leņķa iekšpusē, vienādā attālumā no leņķa malām.

Mnemoniskais likums

Bisektrise ir žurka, kas skrien ap stūriem un sadala stūri uz pusēm.

Ļauj vieglāk atcerēties formulējumu. Visbiežāk izmanto bērni.

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Skatiet, kas ir “Bisektors” citās vārdnīcās:

bisektors- y, w. bissecrice f. matemātika. Taisna līnija, kas iet caur leņķa virsotni un sadala to uz pusēm. BAS 2. Uzzīmējiet bisektrisi. Vasjukova 1999. Bisektrise ir žurka, kas skrien pa stūriem un sadala stūri uz pusēm. 1994. Beļaņins. Lex. Brokg...... Krievu valodas gallicismu vēsturiskā vārdnīca

Matemātika, līnija, taisne Krievu sinonīmu vārdnīca. bisektora lietvārds, sinonīmu skaits: 3. rinda (182) ... Sinonīmu vārdnīca

- (no latīņu valodas bis divreiz un seco es griežu) leņķis ir pustaisna līnija (staru), kas izplūst no leņķa virsotnes un sadala to uz pusēm... Liels enciklopēdiskā vārdnīca

- [ise], bisektori, sieviete. (no lat. bissectrix secant cross) (mat.). 1. Stūrī ir taisna līnija, kas sadala leņķi uz pusēm. 2. Trijstūrī taisne, kas novilkta no kāda leņķa uz pretējo malu un sadalot šo malu daļās, ir taisna... ... Vārdnīca Ušakova

BIKSEKTRIZE, s, sieviete. Matemātikā: stars (ar 3 cipariem), kas izplūst no leņķa virsotnes un sadala to uz pusēm. Ožegova skaidrojošā vārdnīca. S.I. Ožegovs, N.Ju. Švedova. 1949 1992… Ožegova skaidrojošā vārdnīca

bisektors- BISEXTER, s, f. Matemātikas skolotājs skolā. No skolas... Krievu argota vārdnīca

bisektors- - [A.S. Goldbergs. Angļu-krievu enerģētikas vārdnīca. 2006] Enerģētikas tēmas kopumā EN vidējā līnija ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

BISEKTORS- stars, kas izplūst no leņķa augšdaļas un sadala to uz pusēm; jebkurš punkts B. atrodas vienādā attālumā no leņķa malām. Trīs trijstūra B. leņķi krustojas vienā punktā trijstūrī ierakstītā apļa centrā... Lielā Politehniskā enciklopēdija

- (franču bissectrice lat. bis sectrix (bissectricis) griešana divās daļās) ģeom. stars, kas iet caur leņķa virsotni un sadala to uz pusēm. Jauna vārdnīca svešvārdi. by EdwART, 2009. bisector [ise], bisectors, w. [no latīņu valodas. bissektriks –…… Krievu valodas svešvārdu vārdnīca

Y; un. [franču bissecrice no lat. bis divreiz un secare preparēt] Mat. Stars, kas izplūst no stūra augšdaļas un sadala to uz pusēm. * * * leņķa bisektrise (no latīņu valodas bis divreiz un seco es sagriežu), puslīnija (staurs), kas izplūst no leņķa virsotnes un sadala to... enciklopēdiskā vārdnīca

Grāmatas

• Bisektors ir tāda žurka..., Natālija Citronova. Autores pirmā grāmata ir stāsti un esejas par brašajiem deviņdesmitajiem... Uzrakstīts viegli, ar humoru, bez asiņainām vai seksa ainām...

Šodien būs ļoti viegla nodarbība. Mēs apsvērsim tikai vienu objektu - leņķa bisektrisi - un pierādīsim tā vissvarīgāko īpašību, kas mums ļoti noderēs nākotnē.

Vienkārši neatslābiniet: dažreiz skolēni, kuri vēlas iegūt augstu punktu skaitu vienā un tajā pašā vienotajā valsts eksāmenā vai vienotajā valsts eksāmenā, pirmajā stundā pat nevar precīzi formulēt bisektora definīciju.

Un tā vietā, lai veiktu patiešām interesantus uzdevumus, mēs tērējam laiku tik vienkāršām lietām. Tāpēc lasiet, skatieties un pieņemiet to. :)

Sākumā nedaudz dīvains jautājums: kas ir leņķis? Tieši tā: leņķis ir vienkārši divi stari, kas izplūst no viena un tā paša punkta. Piemēram:

Kā redzat attēlā, leņķi var būt asi, strupi, taisni - tagad tam nav nozīmes. Bieži vien ērtības labad uz katra stara tiek atzīmēts papildu punkts un saka, ka mums priekšā ir leņķis $AOB$ (rakstīts kā $\angle AOB$).

Šķiet, ka Captain Obviousness dod mājienu, ka papildus stariem $OA$ un $OB$ vienmēr ir iespējams uzzīmēt vēl vairākus starus no punkta $O$. Bet starp tiem būs viens īpašs - viņu sauc par bisektoru.

Definīcija. Leņķa bisektrise ir stars, kas iziet no šī leņķa virsotnes un sadala leņķi uz pusēm.

Iepriekšminētajiem leņķiem bisektrise izskatīsies šādi:

Bisektoru piemēri akūtiem, neasiem un taisniem leņķiem

Tā kā reālos zīmējumos ne vienmēr ir acīmredzams, ka noteikts stars (mūsu gadījumā tas ir $OM$ stars) sadala sākotnējo leņķi divos vienādos, ģeometrijā ir ierasts atzīmēt vienādus leņķus ar vienādu loku skaitu ( mūsu zīmējumā tas ir 1 loks akūtam leņķim, divi strupam, trīs taisnam).

Labi, mēs esam noskaidrojuši definīciju. Tagad jums ir jāsaprot, kādas īpašības ir bisektoram.

Leņķa bisektora galvenā īpašība

Faktiski bisektoram ir daudz īpašību. Un mēs noteikti tos apskatīsim nākamajā nodarbībā. Bet ir viens triks, kas jums ir jāsaprot tieši tagad:

Teorēma. Leņķa bisektrise ir to punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā leņķa malām.

Tulkojumā no matemātikas krievu valodā tas nozīmē divus faktus vienlaikus:

1. Jebkurš punkts, kas atrodas uz noteikta leņķa bisektrise, atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām.
2. Un otrādi: ja punkts atrodas vienādā attālumā no noteiktā leņķa malām, tad tas garantēti atrodas uz šī leņķa bisektrise.

Pirms šo apgalvojumu pierādīšanas noskaidrosim vienu punktu: ko īsti sauc par attālumu no punkta līdz leņķa malai? Šeit mums palīdzēs vecā labā attāluma noteikšana no punkta līdz līnijai:

Definīcija. Attālums no punkta līdz taisnei ir perpendikula garums, kas novilkts no dotā punkta uz šo taisni.

Piemēram, ņemiet vērā līniju $l$ un punktu $A$, kas neatrodas uz šīs taisnes. Uzzīmēsim perpendikulu $AH$, kur $H\in l$. Tad šī perpendikula garums būs attālums no punkta $A$ līdz taisnei $l$.

Tā kā leņķis ir vienkārši divi stari un katrs stars ir taisnas līnijas gabals, ir viegli noteikt attālumu no punkta līdz leņķa malām. Tie ir tikai divi perpendikuli:

Tas ir viss! Tagad mēs zinām, kas ir attālums un kas ir bisektrise. Tāpēc mēs varam pierādīt galveno īpašumu.

Kā solīts, mēs sadalīsim pierādījumu divās daļās:

1. Attālumi no punkta uz bisektora līdz leņķa malām ir vienādi

Apsveriet patvaļīgu leņķi ar virsotni $O$ un bisektrisi $OM$:

Pierādīsim, ka tieši šis punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.

Pierādījums. Zīmēsim perpendikulus no punkta $M$ uz leņķa malām. Sauksim tos par $M((H)_(1))$ un $M((H)_(2))$:

Zīmējiet perpendikulus leņķa malām

Dabūja divus taisnleņķa trīsstūris: $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$. Viņiem ir kopīga hipotenūza $OM$ un vienādi leņķi:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ pēc nosacījuma (jo $OM$ ir bisektrise);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ pēc konstrukcijas;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, jo summa asi stūri taisnleņķa trijstūra leņķis vienmēr ir 90 grādi.

Līdz ar to trijstūriem ir vienādi sānu leņķi un divi blakus leņķi (skat. trijstūri vienādības zīmes). Tāpēc jo īpaši $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.i. attālumi no punkta $O$ līdz leņķa malām patiešām ir vienādi. Q.E.D. :)

2. Ja attālumi ir vienādi, tad punkts atrodas uz bisektrise

Tagad situācija ir pretēja. Dots leņķis $O$ un punkts $M$ vienādā attālumā no šī leņķa malām:

Pierādīsim, ka stars $OM$ ir bisektrise, t.i. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Pierādījums. Vispirms uzzīmēsim tieši šo staru $OM$, pretējā gadījumā nebūs ko pierādīt:

Vadīja $OM$ staru stūrī

Atkal mēs iegūstam divus taisnleņķa trīsstūrus: $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$. Acīmredzot tie ir vienādi, jo:

1. Hipotenūza $OM$ - vispārīga;
2. Kājas $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ pēc nosacījuma (galu galā punkts $M$ atrodas vienādā attālumā no leņķa malām);
3. Arī atlikušās kājas ir vienādas, jo ar Pitagora teorēmu $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Tāpēc trīsstūri $\vartriangle OM((H)_(1))$ un $\vartriangle OM((H)_(2))$ no trim malām. Jo īpaši to leņķi ir vienādi: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Un tas nozīmē tikai to, ka $OM$ ir bisektrise.

Lai pabeigtu pierādījumu, mēs atzīmējam iegūtos vienādus leņķus ar sarkaniem lokiem:

Bisektrise sadala leņķi $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ divos vienādos.

Kā redzat, nekas sarežģīts. Mēs esam pierādījuši, ka leņķa bisektrise ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no šī leņķa malām. :)

Tagad, kad esam vairāk vai mazāk izlēmuši par terminoloģiju, ir pienācis laiks pāriet uz to jauns līmenis. Nākamajā nodarbībā apskatīsim sarežģītākas bisektoru īpašības un uzzināsim, kā tās pielietot reālu problēmu risināšanai.

Trijstūra bisektrise ir segments, kas sadala trijstūra leņķi divos vienādos leņķos. Piemēram, ja trijstūra leņķis ir 120 0, tad, zīmējot bisektrisi, mēs izveidosim divus leņķus, katrs pa 60 0.

Un tā kā trijstūrī ir trīs leņķi, var novilkt trīs bisektrise. Viņiem visiem ir viens robežpunkts. Šis punkts ir trīsstūrī ierakstītā apļa centrs. Citā veidā šo krustošanās punktu sauc par trijstūra centru.

Kad krustojas divas iekšējā un ārējā leņķa bisektrise, tiek iegūts leņķis 90 0. Ārējais stūris trijstūrī – leņķis, kas atrodas blakus trijstūra iekšējam leņķim.

Rīsi. 1. Trīsstūris, kurā ir 3 bisektrise

Bisektrise sadala pretējo pusi divos segmentos, kas ir savienoti ar malām:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Bisektoru punkti atrodas vienādā attālumā no leņķa malām, kas nozīmē, ka tie atrodas vienādā attālumā no leņķa malām. Tas ir, ja no jebkura bisektrise punkta mēs nolaižam perpendikulus katrai no trijstūra leņķa malām, tad šie perpendikri būs vienādi.

Ja no vienas virsotnes zīmējat mediānu, bisektrisi un augstumu, tad mediāna būs garākais segments, bet augstums - īsākais.

Dažas bisektora īpašības

Dažos trīsstūru veidos bisektrisei ir īpašas īpašības. Tas galvenokārt attiecas uz vienādsānu trīsstūri. Šim skaitlim ir divas identiskas malas, un trešo sauc par pamatu.

Ja no vienādsānu trijstūra leņķa virsotnes uz pamatni uzzīmē bisektrisi, tad tai būs gan augstuma, gan mediānas īpašības. Attiecīgi bisektora garums sakrīt ar mediānas garumu un augstumu.

Definīcijas:

• Augstums- perpendikuls, kas novilkts no trijstūra virsotnes uz pretējo malu.
• Mediāna– segments, kas savieno trijstūra virsotni un pretējās malas vidu.

Rīsi. 2. Bisektors iekšā vienādsānu trīsstūris

Tas attiecas arī uz vienādmalu trīsstūri, tas ir, trīsstūri, kurā visas trīs malas ir vienādas.

Uzdevuma piemērs

Trijstūrī ABC: BR ir bisektrise, kur AB = 6 cm, BC = 4 cm un RC = 2 cm. Atņemiet trešās malas garumu.

Rīsi. 3. Bisektrise trijstūrī

Risinājums:

Bisektrise dala trijstūra malu noteiktā proporcijā. Izmantosim šo proporciju un izteiksim AR. Tad mēs atradīsim trešās malas garumu kā to segmentu summu, kuros šī mala tika sadalīta ar bisektri.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Tad viss segments AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Vienādsānu trijstūrī bisektrise, kas novilkta uz pamatni, sadala trīsstūri divos vienādos taisnstūra trīsstūros.

Ko mēs esam iemācījušies?

Izpētot bisektoru tēmu, mēs uzzinājām, ka tas sadala leņķi divos vienādos leņķos. Un, ja jūs to uzzīmējat vienādsānu vai vienādmalu trīsstūrī līdz pamatnei, tad tam vienlaikus būs gan mediānas, gan augstuma īpašības.

Tests par tēmu

Raksta vērtējums

Vidējais vērtējums: 4.2. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 157.

Vārds “bisector” ir tulkots no franču valodas kā “griešana divās daļās”. Leņķa bisektrise ir “līdzdalošais” leņķis, t.i. sadalot uz pusēm leņķi.

Leņķa bisektrise - stars, kas novilkts no leņķa virsotnes starp tā malām un sadalot leņķi uz pusēm.

Leņķa bisektrise var tikt konstruēta, izmantojot leņķa pakāpes mēru, izmantojot transportieri. Lai to izdarītu, noteiktā leņķa pakāpes mērs tiek sadalīts uz pusēm un pusleņķa pakāpes mērs tiek novietots vienā virsotnes pusē. Šāda leņķa otrā puse būs dotā leņķa bisektrise.

Ja dotā leņķa grādu mērs ir 60°, tad abi leņķi, kas izveidoti, izmantojot bisektoru, ir katrs 30°, jo 60°:2 = 30°.

Taisns leņķis ar bisektri dalīts divos taisnleņķos (180°:2=90°), jebkurš strups leņķis ar bisektri dalīts divos akūtos leņķos.

Leņķa bisektrise konstruēšana, izmantojot kompasu un lineālu

• No jebkura rādiusa leņķa virsotnes ir jānozīmē apļa loka tā, lai tas krustotu leņķa malas
• No katra loka un leņķa malas krustpunkta (ir divi) atkal uzzīmējiet apļa dvēseli (ar atšķirīgu rādiusu)
• Caur jebkuru no papildus konstruētu apļu loku krustpunktiem no leņķa virsotnes novelciet staru, kas būs šī leņķa bisektrise.

Trijstūra leņķa bisektrise

Trijstūra leņķa bisektrise ir leņķa bisektrise segments, kas novilkts no leņķa virsotnes līdz tā krustpunktam ar pretējo malu.

Trijstūrim ir trīs bisektrise, kas novilkta no katras tās virsotnes.

Trijstūra leņķa bisektrisei ir daudz īpašu īpašību, kas aprakstītas atsevišķā rakstā "