Vēl 1905. gadā krievu lasītāji varēja izlasīt Viljama Džeimsa grāmatā “Psiholoģija” viņa argumentāciju par to, “kāpēc īstā mācīšanās ir tik slikts mācīšanās veids?”
“Zināšanas, kas iegūtas, vienkārši mācoties pie rokas, gandrīz neizbēgami tiek aizmirstas pilnīgi bez pēdām. Gluži pretēji, mentālais materiāls, ko atmiņa iegūst pakāpeniski, dienu no dienas, saistībā ar dažādiem kontekstiem, asociatīvi saistīts ar citiem ārējiem notikumiem un atkārtoti pakļauts diskusijām, veido šādu sistēmu, nonāk šādā saiknē ar citiem mūsu dzīves aspektiem. intelekts, tiek viegli atjaunots atmiņā ar ārēju notikumu masu, kas ilgu laiku paliek izturīgs ieguvums.
Kopš tā laika ir pagājuši vairāk nekā 100 gadi, un šie vārdi joprojām ir pārsteidzoši aktuāli. Par to pārliecināsies katru dienu, strādājot ar skolēniem. Milzīgie zināšanu robi ir tik lieli, ka var strīdēties: skolas matemātikas kurss didaktiskā un psiholoģiskā ziņā nav sistēma, bet gan sava veida ierīce, kas veicina īstermiņa atmiņu un vispār nerūpējas par ilgtermiņa atmiņu. .
Zināt skolas matemātikas kursu nozīmē apgūt katras matemātikas jomas materiālu un jebkurā laikā prast jebkuru no tiem atjaunināt. Lai to panāktu, ir sistemātiski jāsazinās ar katru no viņiem, kas dažkārt ne vienmēr ir iespējams lielās slodzes dēļ nodarbībā.
Ir vēl viens veids, kā ilgstoši iegaumēt faktus un formulas - tie ir atsauces signāli.
Trigonometrija ir viena no lielajām skolas matemātikas sadaļām, ko apgūst ģeometrijas kursā 8. un 9. klasē un algebras kursā 9. klasē, algebras un elementārās analīzes kursā 10. klasē.
Lielākais trigonometrijā pētīto materiālu apjoms iekrīt 10. klasē. Lielāko daļu šī trigonometrijas materiāla var apgūt un iegaumēt trigonometriskais aplis(vienības rādiusa aplis, kura centrs atrodas taisnstūra koordinātu sistēmas sākumā). Pielikums1.ppt
Šie ir šādi trigonometrijas jēdzieni:
- leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas;
- radiāna leņķa mērīšana;
- trigonometrisko funkciju definīciju joma un vērtību diapazons
- trigonometrisko funkciju vērtības dažām skaitliskā un leņķiskā argumenta vērtībām;
- trigonometrisko funkciju periodiskums;
- trigonometrisko funkciju vienmērīgums un dīvainības;
- trigonometrisko funkciju palielināšana un samazināšana;
- samazināšanas formulas;
- apgriezto trigonometrisko funkciju vērtības;
- vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana;
- vienkāršu nevienādību risināšana;
- trigonometrijas pamatformulas.
Apsvērsim iespēju pētīt šos jēdzienus trigonometriskajā aplī.
1) Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcija.
Iepazīstoties ar trigonometriskā apļa jēdzienu (vienības rādiusa aplis, kura centrs atrodas sākumā), sākotnējo rādiusu (apļa rādiusu Ox ass virzienā) un griešanās leņķi, studenti patstāvīgi iegūst definīcijas. sinusam, kosinusam, tangensam un kotangensam trigonometriskā aplī, izmantojot definīcijas no kursa ģeometrijas, tas ir, ņemot vērā taisnleņķa trijstūri ar hipotenūzu, kas vienāda ar 1.
Leņķa kosinuss ir apļa punkta abscisa, kad sākotnējais rādiuss tiek pagriezts par noteiktu leņķi.
Leņķa sinuss ir apļa punkta ordināta, kad sākotnējais rādiuss tiek pagriezts par noteiktu leņķi.
2) Trigonometriskā apļa leņķu radiāna mērīšana.
Pēc leņķa radiāna mēra ieviešanas (1 radiāns ir centrālais leņķis, kas atbilst loka garumam, kas vienāds ar apļa rādiusa garumu), studenti secina, ka leņķa radiāna mērījums ir leņķa skaitliskā vērtība. apļa griešanās leņķis, kas vienāds ar atbilstošā loka garumu, kad sākotnējais rādiuss tiek pagriezts par doto leņķi. .
Trigonometriskais aplis ir sadalīts 12 vienādās daļās pēc apļa diametra. Zinot, ka leņķis ir radiānos, varat noteikt radiāna mērījumu leņķiem, kas ir reizināti.
Un leņķu radiāna mērījumus, reizinājumus, iegūst līdzīgi:
3) Trigonometrisko funkciju definīcijas joma un vērtību diapazons.
Vai atbilstība starp griešanās leņķiem un riņķa punkta koordinātu vērtībām būs funkcija?
Katrs griešanās leņķis atbilst vienam punktam uz apļa, kas nozīmē, ka šī atbilstība ir funkcija.
Funkciju iegūšana
Uz trigonometriskā apļa var redzēt, ka funkciju definīcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa, un vērtību diapazons ir .
Ieviesīsim trigonometriskā apļa pieskares līniju un kotangenšu līniju jēdzienus.
1) Ļaujiet 
Ieviesīsim palīgtaisni paralēli Oy asij, uz kuras jebkuram skaitliskajam argumentam tiek noteiktas pieskares.
2) Līdzīgi iegūstam kotangenšu līniju. Ļaujiet y=1, tad . Tas nozīmē, ka kotangentes vērtības tiek noteiktas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla Ox asij.
Uz trigonometriskā apļa jūs varat viegli noteikt trigonometrisko funkciju definīcijas domēnu un vērtību diapazonu:
pieskarei -
kotangensam -
4) Trigonometrisko funkciju vērtības uz trigonometriskā apļa.
Kāja, kas atrodas pretī leņķim iekšā, ir vienāda ar pusi no hipotenūzas, tas ir, otra kāja saskaņā ar Pitagora teorēmu:
Tas nozīmē, ka, definējot sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu, varat noteikt leņķu vērtības, kas ir reizinātas vai radiāni. Sinusa vērtības tiek noteiktas pa Oy asi, kosinusu pa Ox asi, un pieskares un kotangentes vērtības var noteikt, izmantojot papildu asis, kas ir paralēlas attiecīgi Oy un Ox asīm.
Tabulētās sinusa un kosinusa vērtības atrodas uz attiecīgajām asīm šādi: 
Pieskares un kotangences tabulas vērtības - 
5) Trigonometrisko funkciju periodiskums.
Uz trigonometriskā apļa var redzēt, ka sinusa un kosinusa vērtības atkārtojas katrā radiānā, bet tangenss un kotangenss - katrā radiānā.
6) Trigonometrisko funkciju vienmērīgums un dīvainības.
Šo īpašību var iegūt, salīdzinot trigonometrisko funkciju pozitīvo un pretējo griešanās leņķu vērtības. Mēs to saņemam
Tas nozīmē, ka kosinuss ir pāra funkcija, visas pārējās funkcijas ir nepāra.
 |
7) Trigonometrisko funkciju palielināšana un samazināšanās.
Trigonometriskais aplis parāda, ka sinusa funkcija palielinās 
un samazinās 
Līdzīgi argumentējot, iegūstam kosinusa, tangensa un kotangensa pieaugošo un samazinošo funkciju intervālus.
8) Samazināšanas formulas.
Leņķim mēs ņemam trigonometriskā apļa leņķa mazāko vērtību. Visas formulas tiek iegūtas, salīdzinot trigonometrisko funkciju vērtības atlasīto taisnleņķa trīsstūru kājās.
Samazināšanas formulu piemērošanas algoritms:
1) Nosakiet funkcijas zīmi, griežot noteiktā leņķī.
Pagriežot stūri 
funkcija tiek saglabāta, pagriežot par leņķi - vesels skaitlis, nepāra skaitlis, kofunkcija (
9) Apgriezto trigonometrisko funkciju vērtības.
Ieviesīsim apgrieztās funkcijas trigonometriskām funkcijām, izmantojot funkcijas definīciju.
Katra trigonometriskā apļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtība atbilst tikai vienai griešanās leņķa vērtībai. Tas nozīmē, ka funkcijai definīcijas domēns ir , vērtību diapazons ir - Funkcijai definīcijas domēns ir , vērtību diapazons ir . Līdzīgi mēs iegūstam kosinusa un kotangenta apgriezto funkciju definīcijas domēnu un vērtību diapazonu.
Algoritms apgriezto trigonometrisko funkciju vērtību atrašanai:
1) apgrieztās trigonometriskās funkcijas argumenta vērtības atrašana uz atbilstošās ass;
2) sākotnējā rādiusa griešanās leņķa atrašana, ņemot vērā apgrieztās trigonometriskās funkcijas vērtību diapazonu.
Piemēram: 
10) Vienkāršu vienādojumu risināšana uz trigonometriskā apļa.
Lai atrisinātu formas vienādojumu, mēs atrodam apļa punktus, kuru ordinātas ir vienādas, un pierakstām atbilstošos leņķus, ņemot vērā funkcijas periodu.
Vienādojumam uz apļa atrodam punktus, kuru abscises ir vienādas, un pierakstām atbilstošos leņķus, ņemot vērā funkcijas periodu.
Līdzīgi formas vienādojumiem 
Vērtības tiek noteiktas uz pieskares un kotangenšu līnijām, un tiek reģistrēti attiecīgie griešanās leņķi.
Visus trigonometrijas jēdzienus un formulas skolēni apgūst paši skaidrā skolotāja vadībā, izmantojot trigonometrisko apli. Nākotnē šis “aplis” viņiem kalpos kā atskaites signāls vai ārējais faktors reproducēt atmiņā trigonometrijas jēdzienus un formulas.
Trigonometrijas izpēte uz trigonometriskā apļa palīdz:
- optimālā saskarsmes stila izvēle konkrētai nodarbībai, izglītības sadarbības organizēšana;
- stundu mērķi kļūst personiski nozīmīgi katram skolēnam;
- jauns materiāls balstoties uz Personīgā pieredze skolēna rīcība, domāšana, sajūtas;
- nodarbībā ietilpst dažādas formas zināšanu iegūšanas un asimilācijas darbs un metodes; ir savstarpējās un pašmācības elementi; paškontrole un savstarpēja kontrole;
- notiek ātra reakcija uz pārpratumiem un kļūdām (kopīga diskusija, atbalsta padomi, savstarpējas konsultācijas).
- -
Parasti, kad viņi vēlas kādu nobiedēt ar BAIDU MATEMĀTIKU, viņi kā piemēru min visādus sinusus un kosinusus, kā kaut ko ļoti sarežģītu un pretīgu. Bet patiesībā šī ir skaista un interesanta sadaļa, kuru var saprast un atrisināt.
Tēma sākas 9. klasē un ne vienmēr viss ir skaidrs ar pirmo reizi, ir daudz smalkumu un viltību. Es mēģināju kaut ko pateikt par tēmu.
Ievads trigonometrijas pasaulē:
Pirms ar galvu steigties formulās, no ģeometrijas jāsaprot, kas ir sinuss, kosinuss utt.
Leņķa sinuss- pretējās (leņķa) puses attiecība pret hipotenūzu.
Kosinuss- blakus esošo un hipotenūzu attiecība.
Pieskares- pretējā puse blakus esošajai pusei
Kotangenss- blakus pretējai.
Tagad apsveriet vienības rādiusa apli koordinātu plaknē un atzīmējiet uz tā leņķi alfa: (attēli ir klikšķināmi, vismaz daži)
- 
-
Tievas sarkanās līnijas ir perpendikulāras no apļa krustošanās punkta un taisnā leņķa uz vērša un oy ass. Sarkanais x un y ir x un y koordinātu vērtība uz asīm (pelēkais x un y ir tikai, lai norādītu, ka tās ir koordinātu asis, nevis tikai līnijas).
Jāņem vērā, ka leņķus aprēķina no vērša ass pozitīvā virziena pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Atradīsim tam sinusu, kosinusu utt.
sin a: pretējā puse ir vienāda ar y, hipotenūza ir vienāda ar 1.
sin a = y / 1 = y
Lai būtu pilnīgi skaidrs, no kurienes es iegūstu y un 1, skaidrības labad sakārtosim burtus un apskatīsim trīsstūrus.
- -
AF = AE = 1 - apļa rādiuss.
Tāpēc AB = 1 kā rādiuss. AB - hipotenūza.
BD = CA = y — kā oh vērtība.
AD = CB = x - kā vērtība saskaņā ar oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Nākamais ir kosinuss:
cos a: blakus puse - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Mēs arī izvadām tangenss un kotangenss.
tg a = y / x = sin a / cos a
gultiņa a = x / y = cos a / sin a
Pēkšņi mēs esam atvasinājuši pieskares un kotangences formulu.
Nu, aplūkosim konkrēti, kā tas tiek atrisināts.
Piemēram, a = 45 grādi.
Mēs iegūstam taisnleņķa trīsstūri ar vienu 45 grādu leņķi. Dažiem uzreiz ir skaidrs, ka tas ir vienādmalu trīsstūris, bet es to tomēr aprakstīšu.
Atradīsim trijstūra trešo leņķi (pirmais ir 90, otrais ir 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ja divi leņķi ir vienādi, tad to malas ir vienādas, tā tas izklausījās.
Tātad, izrādās, ka, ja mēs saskaitām divus šādus trīsstūrus vienu virs otra, mēs iegūstam kvadrātu, kura diagonāle ir vienāda ar rādiusu = 1. Pēc Pitagora teorēmas mēs zinām, ka kvadrāta ar malu a diagonāle ir vienāda ar saknes no diviem.
Tagad mēs domājam. Ja 1 (hipotenūza jeb diagonāle) ir vienāda ar kvadrāta malu, kas reizināta ar sakni no divi, tad kvadrāta malai jābūt vienādai ar 1/sqrt(2), un ja mēs reizinām šīs daļdaļas skaitītāju un saucēju. pēc saknes no diviem mēs iegūstam sqrt(2)/2 . Un tā kā trīsstūris ir vienādsānu, tad AD = AC => x = y
Mūsu trigonometrisko funkciju atrašana:
sin 45 = kvadrāts (2) / 2 / 1 = kvadrāts (2) / 2
cos 45 = kvadrāts (2) / 2 / 1 = kvadrāts (2) / 2
tg 45 = kvadrāts(2)/2/sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = kvadrāts(2)/2/sqrt(2)/2 = 1
Tādā pašā veidā jums jāstrādā ar atlikušajām leņķa vērtībām. Tikai trīsstūri nebūs vienādsānu, bet malas var atrast tikpat viegli, izmantojot Pitagora teorēmu.
Tādā veidā mēs iegūstam trigonometrisko funkciju vērtību tabulu no dažādiem leņķiem:
- 
-
Turklāt šis galds ir krāpniecisks un ļoti ērts.
Kā to izveidot pats bez problēmām: Uzzīmējiet šādu tabulu un ierakstiet lodziņos skaitļus 1 2 3.
- 
-
Tagad no šiem 1 2 3 ņem sakni un dala ar 2. Iznāk šādi:
- 
-
Tagad mēs izsvītrojam sinusu un uzrakstām kosinusu. Tās vērtības ir spoguļa sinuss:
- 
-
Pieskares atvasināšana ir tikpat vienkārša - jums ir jāsadala sinusa līnijas vērtība ar kosinusa līnijas vērtību:
- 
-
Kotangentes vērtība ir pieskares apgrieztā vērtība. Rezultātā mēs iegūstam kaut ko līdzīgu:
- 
-
Piezīmešī tangensa neeksistē, piemēram, P/2. Padomājiet, kāpēc. (Jūs nevarat dalīt ar nulli.)
Kas jums jāatceras šeit: sinuss ir y vērtība, kosinuss ir x vērtība. Tangenss ir y un x attiecība, un kotangenss ir pretējs. tātad, lai noteiktu sinusu/kosinusu vērtības, pietiek uzzīmēt iepriekš aprakstīto tabulu un apli ar koordinātu asīm (vērtības ir ērti aplūkot leņķos 0, 90, 180, 360).
- 
-
Nu, es ceru, ka jūs varat atšķirt ceturtdaļas:
- 
-
Tā sinusa, kosinusa utt. zīme ir atkarīga no tā, kurā ceturtdaļā atrodas leņķis. Lai gan absolūti primitīva loģiskā domāšana jūs novedīs pie pareizās atbildes, ja ņemsiet vērā, ka otrajā un trešajā ceturksnī x ir negatīvs, bet y ir negatīvs trešajā un ceturtajā. Nekas biedējošs vai biedējošs.
Es domāju, ka nebūtu nepareizi to pieminēt samazināšanas formulas ala spoki, kā visi dzird, kam ir patiesības grauds. Formulu kā tādu nav, jo tās ir nevajadzīgas. Visas šīs darbības nozīme: Mēs viegli atrodam leņķa vērtības tikai pirmajam ceturksnim (30 grādi, 45, 60). Trigonometriskās funkcijas ir periodiski, tāpēc mēs varam ievilkt jebkuru lielu leņķi pirmajā ceturksnī. Tad mēs uzreiz atradīsim tā nozīmi. Bet ar vienkāršu vilkšanu nepietiek - jums ir jāatceras par zīmi. Tam ir paredzētas samazināšanas formulas.
Tātad, mums ir liels leņķis vai drīzāk vairāk nekā 90 grādi: a = 120. Un mums ir jāatrod tā sinuss un kosinuss. Lai to izdarītu, mēs sadalīsim 120 šādos leņķos, ar kuriem mēs varam strādāt:
sin a = grēks 120 = grēks (90 + 30)
Mēs redzam, ka šis leņķis atrodas otrajā ceturksnī, sinuss tur ir pozitīvs, tāpēc tiek saglabāta + zīme sinusa priekšā.
Lai atbrīvotos no 90 grādiem, mēs mainām sinusu uz kosinusu. Šis ir noteikums, kas jums jāatceras:
grēks (90 + 30) = cos 30 = kvadrāts (3) / 2
Vai arī varat to iedomāties citā veidā:
grēks 120 = grēks (180–60)
Lai atbrīvotos no 180 grādiem, mēs nemainām funkciju.
grēks (180–60) = grēks 60 = kvadrāts (3) / 2
Mums ir vienāda vērtība, tāpēc viss ir pareizi. Tagad kosinuss:
cos 120 = cos (90 + 30)
Otrajā ceturtdaļā kosinuss ir negatīvs, tāpēc liekam mīnusa zīmi. Un mēs mainām funkciju uz pretējo, jo mums ir jānoņem 90 grādi.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Vai:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Kas jums jāzina, jāspēj un jādara, lai pārnestu leņķus uz pirmo ceturksni:
- sadalīt leņķi sagremojamos terminos;
-ņem vērā, kurā ceturksnī atrodas leņķis, un ieliec atbilstošu zīmi, ja funkcija šajā ceturksnī ir negatīva vai pozitīva;
- atbrīvoties no nevajadzīgām lietām:
*ja jāatbrīvojas no 90, 270, 450 un atlikušajiem 90+180n, kur n ir jebkurš vesels skaitlis, tad funkcija tiek apgriezta (sinuss pret kosinusu, tangenss kotangensam un otrādi);
*ja jāatbrīvojas no 180 un atlikušajiem 180+180n, kur n ir jebkurš vesels skaitlis, tad funkcija nemainās. (Šeit ir viena iezīme, taču to ir grūti izskaidrot vārdos, bet labi).
Tas ir viss. Es domāju, ka nav jāiegaumē pašas formulas, ja varat atcerēties dažus noteikumus un tos viegli izmantot. Starp citu, šīs formulas ir ļoti viegli pierādīt:
- 
-
Un viņi arī sastāda apgrūtinošas tabulas, tad mēs zinām:
- 
-
Trigonometrijas pamatvienādojumi: jums tie jāzina ļoti, ļoti labi, no galvas.
Fundamentālā trigonometriskā identitāte(vienlīdzība):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ja netici, tad labāk pašam pārbaudīt un pārliecināties. Aizstājiet dažādu leņķu vērtības.
Šī formula ir ļoti, ļoti noderīga, vienmēr atcerieties to. izmantojot to, jūs varat izteikt sinusu caur kosinusu un otrādi, kas dažkārt ir ļoti noderīgi. Bet, tāpat kā jebkura cita formula, jums ir jāzina, kā ar to rīkoties. Vienmēr atcerieties, ka trigonometriskās funkcijas zīme ir atkarīga no kvadranta, kurā atrodas leņķis. Tāpēc iegūstot sakni, jums jāzina ceturksnis.
Tangenss un kotangenss:Šīs formulas mēs jau atvasinājām pašā sākumā.
tg a = sin a / cos a
gultiņa a = cos a / sin a
Pieskares un kotangences reizinājums:
tg a * ctg a = 1
Jo:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - daļas tiek atceltas.
Kā redzat, visas formulas ir spēle un kombinācija.
Šeit ir vēl divi, kas iegūti, dalot ar pirmās formulas kosinusu kvadrātu un sinusa kvadrātu:
- 
-
Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējās divas formulas var izmantot ar leņķa a vērtības ierobežojumu, jo jūs nevarat dalīt ar nulli.
Papildināšanas formulas: ir pierādīts, izmantojot vektoru algebru.
- 
-
Reti lietots, bet precīzi. Skenēšanā ir formulas, taču tās var būt nesalasāmas vai arī digitālā forma ir vieglāk uztverama:
- -
Formulas dubults leņķis:
Tos iegūst, pamatojoties uz saskaitīšanas formulām, piemēram: dubultleņķa kosinuss ir cos 2a = cos (a + a) - vai tas kaut ko atgādina? Viņi vienkārši aizstāja betta ar alfa.
- 
-
Divas nākamās formulas ir iegūtas no pirmās aizstāšanas sin^2(a) = 1 — cos^2(a) un cos^2(a) = 1 — sin^2(a).
Dubultā leņķa sinuss ir vienkāršāks un tiek izmantots daudz biežāk:
- 
-
Un īpašie izvirtuļi var iegūt dubultā leņķa tangensu un kotangensu, ņemot vērā, ka tan a = sin a / cos a utt.
- 
-
Iepriekš minētajām personām Trīskāršā leņķa formulas: tos iegūst, saskaitot leņķus 2a un a, jo mēs jau zinām dubultleņķu formulas.
- 
-
Pusleņķa formulas:
- 
-
Es nezinu, kā tās tiek atvasinātas, vai precīzāk, kā to izskaidrot... Ja mēs izrakstīsim šīs formulas, aizstājot galveno trigonometrisko identitāti ar a/2, tad atbilde saplūst.
Formulas trigonometrisko funkciju saskaitīšanai un atņemšanai:
- 
-
Tos iegūst no saskaitīšanas formulām, bet tas nevienu neinteresē. Tās nenotiek bieži.
Kā jūs saprotat, joprojām ir daudz formulu, kuru uzskaitījums ir vienkārši bezjēdzīgs, jo es nevarēšu par tām uzrakstīt neko adekvātu, un sausās formulas var atrast jebkur, un tā ir spēle ar iepriekšējām esošajām formulām. Viss ir šausmīgi loģiski un precīzi. Es jums pastāstīšu tikai pēdējo par palīgleņķa metodi:
Izteiksmes a cosx + b sinx pārveidošanu formā Acos(x+) vai Asin(x+) sauc par palīgleņķa (vai papildu argumenta) ieviešanas metodi. Metode tiek izmantota, risinot trigonometriskos vienādojumus, novērtējot funkciju vērtības, ekstrēmu uzdevumos, un ir svarīgi atzīmēt, ka dažas problēmas nevar atrisināt, neieviešot palīgleņķi.
Neatkarīgi no tā, kā jūs mēģinājāt izskaidrot šo metodi, nekas nesanāca, tāpēc jums tas būs jādara pašam:
- 
-
Biedējoša lieta, bet noderīga. Ja atrisināsit problēmas, tam vajadzētu izdoties.
No šejienes, piemēram: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Tālāk kursā ir trigonometrisko funkciju grafiki. Bet vienai nodarbībai ar to pietiek. Ņemot vērā, ka skolā viņi to māca sešus mēnešus.
Uzrakstiet savus jautājumus, atrisiniet problēmas, pieprasiet skenēt dažus uzdevumus, izdomājiet, izmēģiniet to.
Vienmēr tavs, Dens Faradej.
Kādreiz skolā bija atsevišķs kurss trigonometrijas apguvei. Sertifikātā bija atzīmes trīs matemātikas disciplīnās: algebrā, ģeometrijā un trigonometrijā.
Tad skolas izglītības reformas ietvaros trigonometrija beidza pastāvēt kā atsevišķs priekšmets. Mūsdienu skolā pirmā iepazīšanās ar trigonometriju notiek 8. klases ģeometrijas kursā. Padziļinātāka mācību priekšmeta apguve turpinās 10. klases algebras kursā.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas vispirms tiek dotas ģeometrijā, izmantojot taisnleņķa trijstūra malu attiecības.
Akūts leņķis iekšā taisnleņķa trīsstūris sauc par pretējās puses attiecību pret hipotenūzu.
Kosinuss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu.
Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo malu.
Šīs definīcijas attiecas tikai uz asajiem leņķiem (no 0° līdz 90°).
Piemēram,
trijstūrī ABC, kur ∠C=90°, BC ir kāja, kas ir pretēja leņķim A, AC ir kāja, kas atrodas blakus leņķim A, AB ir hipotenūza.
10. klases algebras kurss iepazīstina ar sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām jebkuram leņķim (arī negatīvam).
Aplūkosim apli ar rādiusu R, kura centrs atrodas sākuma punktā - punktā O(0;0). Apļa krustošanās punktu ar abscisu ass pozitīvo virzienu apzīmēsim ar P 0 .
Ģeometrijā leņķi uzskata par plaknes daļu, ko ierobežo divi stari. Ar šo definīciju leņķis svārstās no 0° līdz 180°.
Trigonometrijā leņķi uzskata par stara OP 0 rotācijas rezultātu ap sākuma punktu O.
Tajā pašā laikā viņi vienojās apsvērt staru kūļa pagriešanu pretēji pulksteņrādītāja virzienam kā pozitīvu šķērsošanas virzienu un pulksteņrādītāja virzienā kā negatīvu (šī vienošanās ir saistīta ar patieso Saules kustību ap Zemi).
Piemēram, kad stars OP 0 tiek pagriezts ap punktu O par leņķi α pretēji pulksteņrādītāja virzienam, punkts P 0 nonāks punktā P α,
pagriežot ar leņķi α pulksteņrādītāja virzienā - līdz punktam F.
Izmantojot šo definīciju, leņķim var būt jebkura vērtība.
Turpinot griezt staru kūli OP 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, pagriežot leņķi α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, kur n ir vesels skaitlis (n∈ Ζ), atkal nonāksim punktā P α:
Leņķus mēra grādos un radiānos.
1° ir leņķis, kas vienāds ar 1/180 no izveidotā leņķa pakāpes.
1 radiāns ir centrālais leņķis, kura loka garums ir vienāds ar apļa rādiusu:
∠AOB=1 rad.
Radiāna simbolus parasti neraksta. Ierakstā nevar izlaist grāda apzīmējumu.
Piemēram,
Punktam P α , kas iegūts no punkta P 0, pagriežot staru OP 0 ap punktu O par leņķi α pretēji pulksteņrādītāja virzienam, ir koordinātas P α (x;y).
Nometīsim perpendikulāru P α A no punkta P α uz abscisu asi.
Taisnajā trijstūrī OP α A:
P α A - kāja, kas ir pretēja leņķim α,
OA — kāja blakus leņķim α,
OP α ir hipotenūza.
P α A=y, OA=x, OP α =R.
Pēc sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas taisnleņķa trijstūrī mums ir:
Tādējādi apļa gadījumā ar centru patvaļīga rādiusa sākumā sinusa leņķis α ir punkta P α ordinātu attiecība pret rādiusa garumu.
Kosinuss leņķis α ir punkta P α abscisu attiecība pret rādiusa garumu.
Pieskares leņķis α ir punkta P α ordinātu attiecība pret tā abscisu.
Kotangenss leņķis α ir punkta P α abscisu attiecība pret tā ordinātām.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības ir atkarīgas tikai no α vērtības un nav atkarīgas no rādiusa R garuma (tas izriet no apļu līdzības).
Tāpēc ir ērti izvēlēties R=1.
Apli, kura centrs atrodas sākumpunktā un rādiuss R=1, sauc par vienības apli.
Definīcijas
1) Sinus leņķi α sauc par vienības apļa punkta P α (x;y) ordinātu:
2) Kosinuss leņķi α sauc par vienības apļa punkta P α (x;y) abscisu:
3) Pieskares leņķis α ir punkta P α (x;y) ordinātu attiecība pret tā abscisu, tas ir, sinα attiecība pret cosα (kur cosα≠0):
4) Kotangenss leņķis α ir punkta P α (x;y) abscisu attiecība pret tā ordinātām, tas ir, cosα attiecība pret sinα (kur sinα≠0):
Šādā veidā ieviestās definīcijas ļauj aplūkot ne tikai leņķu trigonometriskās funkcijas, bet arī skaitlisko argumentu trigonometriskās funkcijas (ja par atbilstošām leņķa trigonometriskām funkcijām α radiānos uzskatām sinα, cosα, tanα un ctgα, tas ir, skaitļa α sinuss ir leņķa sinuss α radiānos, skaitļa α kosinuss ir leņķa kosinuss α radiānos utt.).
Trigonometrisko funkciju īpašības kā atsevišķa tēma tiek pētītas algebras kursā 10. vai 11. klasē. Trigonometriskās funkcijas plaši izmanto fizikā.
Kategorija: |Šajā nodarbībā mēs runāsim par to, kā rodas nepieciešamība ieviest trigonometriskās funkcijas un kāpēc tās tiek pētītas, kas jums ir jāsaprot šajā tēmā un kur jums tas vienkārši jāiegūst labāk (kas ir tehnika). Ņemiet vērā, ka tehnika un izpratne ir divas dažādas lietas. Piekrītu, ir atšķirība: iemācīties braukt ar velosipēdu, tas ir, saprast, kā to izdarīt, vai kļūt par profesionālu riteņbraucēju. Mēs īpaši runāsim par izpratni, par to, kāpēc ir vajadzīgas trigonometriskās funkcijas.
Ir četras trigonometriskās funkcijas, taču tās visas var izteikt ar vienu, izmantojot identitātes (vienādības, kas tās saista).
Formālās trigonometrisko funkciju definīcijas akūtiem leņķiem taisnleņķos (1. att.).
Sinus Taisnleņķa trijstūra akūts leņķis ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu.
Kosinuss Taisnleņķa trijstūra akūts leņķis ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Pieskares Taisnleņķa trijstūra akūts leņķis ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu.
Kotangenss Taisnleņķa trijstūra akūts leņķis ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo malu.
Rīsi. 1. Taisnstūra trijstūra akūtā leņķa trigonometrisko funkciju noteikšana
Šīs definīcijas ir formālas. Pareizāk ir teikt, ka ir tikai viena funkcija, piemēram, sinusa. Ja tās nebūtu tik vajadzīgas (ne tik bieži lietotas) tehnoloģijās, netiktu ieviestas tik dažādas trigonometriskās funkcijas.
Piemēram, leņķa kosinuss vienāds ar sinusu tas pats leņķis, pievienojot (). Turklāt leņķa kosinusu vienmēr var izteikt ar tā paša leņķa sinusu līdz zīmei, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti (). Leņķa tangenss ir sinusa attiecība pret kosinusu jeb apgrieztā kotangensa (2. att.). Daži vispār neizmanto kotangentu, aizstājot to ar . Tāpēc ir svarīgi saprast un prast strādāt ar vienu trigonometrisko funkciju.
Rīsi. 2. Saistība starp dažādām trigonometriskajām funkcijām
Bet kāpēc tādas funkcijas vispār bija vajadzīgas? Kādas praktiskas problēmas tās izmanto, lai atrisinātu? Apskatīsim dažus piemērus.
Divi cilvēki ( A Un IN) izstumiet automašīnu no peļķes (3. att.). Cilvēks IN var nostumt auto uz sāniem, bet diez vai tas palīdzēs A. No otras puses, viņa centienu virziens var pakāpeniski mainīties (4. att.).
Rīsi. 3. IN nospiež automašīnu uz sāniem
Rīsi. 4. IN sāk mainīt savu centienu virzienu
Ir skaidrs, ka viņu pūles būs visefektīvākās, kad viņi stumj automašīnu vienā virzienā (5. att.).
Rīsi. 5. Visefektīvākais kopīgais pūļu virziens
Cik daudz IN palīdz nospiest mašīnu tādā mērā, ka tās spēka virziens ir tuvu spēka virzienam, ar kuru tā darbojas A, ir leņķa funkcija un tiek izteikta ar tā kosinusu (6. att.).
Rīsi. 6. Kosinuss kā piepūles efektivitātes raksturojums IN
Ja reizinām spēka lielumu, ar kuru IN, uz leņķa kosinusa mēs iegūstam tā spēka projekciju uz spēka virzienu, ar kuru tas darbojas A. Jo tuvāk leņķis starp spēku virzieniem ir , jo efektīvāks būs kopīgu darbību rezultāts. A Un IN(7. att.). Ja viņi stumj automašīnu ar tādu pašu spēku pretējos virzienos, automašīna paliks savā vietā (8. att.).
Rīsi. 7. Kopīgo centienu efektivitāte A Un IN
Rīsi. 8. Pretējs spēku virziens A Un IN
Ir svarīgi saprast, kāpēc mēs varam aizstāt leņķi (tā ieguldījumu gala rezultātā) ar kosinusu (vai citu leņķa trigonometrisku funkciju). Faktiski tas izriet no šīs līdzīgu trīsstūru īpašības. Tā kā patiesībā mēs sakām sekojošo: leņķi var aizstāt ar divu skaitļu attiecību (sānu hipotenūza vai sānu puse). Tas nebūtu iespējams, ja, piemēram, vienam un tam pašam dažādu taisnleņķa trijstūru leņķim šīs attiecības būtu atšķirīgas (9. att.).
Rīsi. 9. Vienādas malu attiecības līdzīgos trīsstūros
Piemēram, ja attiecība un attiecība būtu atšķirīgas, tad mēs nevarētu ieviest pieskares funkciju, jo vienam un tam pašam leņķim dažādos taisnleņķa trīsstūros tangenss būtu atšķirīgs. Bet, ņemot vērā to, ka līdzīgu taisnleņķu trijstūri kāju garumu attiecības ir vienādas, funkcijas vērtība nebūs atkarīga no trijstūra, kas nozīmē, ka akūtais leņķis un tā trigonometrisko funkciju vērtības ir vienādas. viens pret vienu.
Pieņemsim, ka mēs zinām noteikta koka augstumu (10. att.). Kā izmērīt blakus esošās ēkas augstumu?
Rīsi. 10. 2. piemēra nosacījuma ilustrācija
Mēs atrodam tādu punktu, ka caur šo punktu novilkta līnija un mājas virsotne iet caur koka galotni (11. att.).
Rīsi. 11. 2. piemēra problēmas risinājuma ilustrācija
Mēs varam izmērīt attālumu no šī punkta līdz kokam, attālumu no tā līdz mājai, un mēs zinām koka augstumu. No proporcijas var atrast mājas augstumu: .
Proporcija ir divu skaitļu attiecības vienādība. Šajā gadījumā līdzīgu taisnleņķa trīsstūru kāju garumu attiecības vienādība. Turklāt šīs attiecības ir vienādas ar noteiktu leņķa lielumu, kas tiek izteikts ar trigonometrisko funkciju (pēc definīcijas tā ir tangensa). Mēs atklājam, ka katram akūtajam leņķim tā trigonometriskās funkcijas vērtība ir unikāla. Tas ir, sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss patiešām ir funkcijas, jo katrs akūts leņķis atbilst tieši vienai katra no tām vērtībai. Līdz ar to tos var sīkāk izpētīt un izmantot to īpašības. Trigonometrisko funkciju vērtības visiem leņķiem jau ir aprēķinātas un var tikt izmantotas (tās var atrast Bradis tabulās vai izmantojot jebkuru inženiertehnisko kalkulatoru). Bet mēs ne vienmēr varam atrisināt apgriezto problēmu (piemēram, izmantojot sinusa vērtību, lai atjaunotu tai atbilstošā leņķa mēru).
Lai kāda leņķa sinuss būtu vienāds vai aptuveni (12. att.). Kāds leņķis atbildīs dotā vērtība sinusa? Protams, varam atkal izmantot Bradis tabulu un atrast kādu vērtību, bet izrādās, ka tā nebūs vienīgā (13. att.).
Rīsi. 12. Leņķa atrašana pēc tā sinusa vērtības
Rīsi. 13. Apgriezto trigonometrisko funkciju polisēmija
Līdz ar to, rekonstruējot leņķa trigonometriskās funkcijas vērtību, rodas apgriezto trigonometrisko funkciju daudzvērtība. Tas var šķist grūti, bet patiesībā mēs katru dienu saskaramies ar līdzīgām situācijām.
Ja tu aizsedz logus un nezini, vai ārā ir gaišs vai tumšs, vai arī tu atrodies alā, tad pamostoties ir grūti pateikt, vai pulkstenis ir viens pēcpusdienā, naktī vai nākamajā dienā (14. att.). Faktiski, ja jūs jautājat mums "Cik pulkstens?", mums godīgi jāatbild: "Stundu plus reizināts ar kur"
Rīsi. 14. Polisēmijas ilustrācija, izmantojot pulksteņa piemēru
Varam secināt, ka tas ir periods (intervāls, pēc kura pulkstenis rādīs tādu pašu laiku kā tagad). Trigonometriskajām funkcijām ir arī periodi: sinuss, kosinuss utt. Tas ir, to vērtības tiek atkārtotas pēc dažām izmaiņām argumentā.
Ja uz planētas nenotiktu diena un nakts vai gadalaiku maiņa, tad mēs nevarētu izmantot periodisko laiku. Galu galā mēs numurējam tikai gadus augošā secībā, bet dienām ir stundas, un katru jaunu dienu skaitīšana sākas no jauna. Tāda pati situācija ir ar mēnešiem: ja šobrīd ir janvāris, tad pēc dažiem mēnešiem atkal nāks janvāris utt. Ārējie atskaites punkti palīdz izmantot periodisku laika (stundu, mēnešu) skaitīšanu, piemēram, Zemes griešanos ap savu asi un Saules un Mēness stāvokļa izmaiņas debesīs. Ja Saule vienmēr karājās vienā pozīcijā, tad, lai aprēķinātu laiku, mēs skaitītu sekundes (minūtes) no šī paša aprēķina sākuma. Tad datums un laiks varētu skanēt šādi: miljards sekunžu.
Secinājums: nav nekādu grūtību attiecībā uz apgriezto funkciju polisēmiju. Patiešām, var būt iespējas, ja tam pašam sinusam ir dažādas nozīmes leņķis (15. att.).
Rīsi. 15. Leņķa atjaunošana no tā sinusa vērtības
Parasti, risinot praktiskas problēmas, vienmēr strādājam standarta diapazonā no līdz . Šajā diapazonā katrai trigonometriskās funkcijas vērtībai ir tikai divas atbilstošas leņķa mēra vērtības.
Apsveriet kustīgu jostu un svārstu kausa formā ar caurumu, no kura izplūst smiltis. Svārsts šūpojas, lente kustas (16. att.). Rezultātā smiltis atstās pēdas sinusa (vai kosinusa) funkcijas grafika veidā, ko sauc par sinusa vilni.
Faktiski sinusa un kosinusa grafiki atšķiras viens no otra tikai atskaites punktā (uzzīmējot vienu no tiem un pēc tam izdzēšot koordinātu asis, nevarēsit noteikt, kurš grafiks ir uzzīmēts). Tāpēc nav jēgas kosinusu grafu saukt par grafiku (kāpēc tam pašam grafikam jāizdomā atsevišķs nosaukums)?
Rīsi. 16. Problēmas izklāsta ilustrācija 4. piemērā
Funkcijas grafiks var arī palīdzēt saprast, kāpēc apgrieztajām funkcijām būs daudz vērtību. Ja sinusa vērtība ir fiksēta, t.i. novelkam taisnu līniju paralēli abscisu asij, tad krustpunktā iegūstam visus punktus, kuros leņķa sinuss ir vienāds ar doto. Skaidrs, ka šādu punktu būs bezgalīgi daudz. Tāpat kā piemērā ar pulksteni, kur laika vērtība atšķīrās par , tikai šeit leņķa vērtība atšķirsies par lielumu (17. att.).
Rīsi. 17.Sinusa polisēmijas ilustrācija
Ja ņemam vērā pulksteņa piemēru, tad punkts (pulksteņrādītāja virzienā) pārvietojas ap apli. Trigonometriskās funkcijas var definēt tāpat – ņemiet vērā nevis leņķus taisnleņķa trijstūrī, bet gan leņķi starp apļa rādiusu un ass pozitīvo virzienu. Apļu skaits, kuram punkts ies cauri (vienojāmies skaitīt kustību pulksteņrādītāja virzienā ar mīnusa zīmi, bet pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar plusa zīmi), tas ir punkts (18. att.).
Rīsi. 18.Sinusa vērtība uz apļa
Tātad apgrieztā funkcija ir unikāli definēta noteiktā intervālā. Šim intervālam mēs varam aprēķināt tā vērtības un iegūt visu pārējo no atrastajām vērtībām, saskaitot un atņemot funkcijas periodu.
Apskatīsim vēl vienu perioda piemēru. Mašīna brauc pa ceļu. Iedomāsimies, ka viņas ritenis ir iebraucis krāsā vai peļķē. Reizēm var pamanīt krāsas nospiedumus vai peļķes uz ceļa (19. attēls).
Rīsi. 19. Perioda ilustrācija
Skolas kursā ir diezgan daudz trigonometrisko formulu, bet kopumā pietiek atcerēties tikai vienu (20. att.).
Rīsi. 20.Trigonometriskās formulas
Dubultā leņķa formulu var viegli iegūt arī no summas sinusa, aizstājot to (līdzīgi kosinusu). Varat arī iegūt produktu formulas.
Patiesībā jums ir jāatceras ļoti maz, jo, risinot problēmas, šīs formulas tiks atcerētas. Protams, kāds būs slinks, lai daudz izlemtu, bet tad viņam šī tehnika un līdz ar to arī pašas formulas nebūs vajadzīgas.
Un tā kā formulas nav vajadzīgas, tad nav vajadzības tās iegaumēt. Jums tikai jāsaprot doma, ka trigonometriskās funkcijas ir funkcijas, kuras izmanto, lai aprēķinātu, piemēram, tiltus. Gandrīz neviens mehānisms nevar iztikt bez to izmantošanas un aprēķina.
1. Bieži rodas jautājums, vai vadi var būt absolūti paralēli zemei. Atbilde: nē, viņi nevar, jo viens spēks darbojas uz leju, bet pārējie darbojas paralēli - tie nekad nelīdzsvaros (21. att.).
2. Vienā plaknē ratus velk gulbis, vēži un līdaka. Vienā virzienā lido gulbis, otrā velk vēži, bet trešajā līdaka (22. att.). Viņu spēkus var līdzsvarot. Šo līdzsvaru var aprēķināt, izmantojot trigonometriskās funkcijas.
3. Vanšu tilts (23. att.). Trigonometriskās funkcijas palīdz aprēķināt kabeļu skaitu, to virzienu un nospriegošanu.
Rīsi. 23. Vanšu tilts
Rīsi. 24. "Stīgu tilts"
Rīsi. 25. Lielais Obukhovska tilts
Saites uz vietni ma-te-ri-a-lyInternetUrok
Matemātika 6. klase:
Ģeometrija 8. klase:
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
