Trīsstūra malas augstumā. Trīsstūra augstums. Vizuālais ceļvedis (2020). Personiskās informācijas aizsardzība

Trīsstūris) vai iziet ārpus trijstūra pie neasā trijstūra.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5

✪ Trijstūra AUGSTUMA VIDĒJĀ BIsektrise 7. pakāpe

✪ bisektrise, mediāna, trīsstūra augstums. Ģeometrija 7. klase

✪ 7. klase, 17. nodarbība, trīsstūra mediānas, bisektrise un augstumi

✪ Mediāna, bisektrise, trīsstūra augstums | Ģeometrija

✪ Kā atrast bisektora garumu, mediānu un augstumu? | Nerd ar mani #031 | Boriss Trušins

Subtitri

Trīsstūra trīs augstumu krustošanās punkta īpašības (ortocentrs)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ virs labā bultiņa (CA))+(\overright arrow (EC))\cdot (\overright arrow (AB))=0)

(Lai pierādītu identitāti, izmantojiet formulas

Punkts E jāuzskata par trijstūra divu augstumu krustpunktu.)

• Ortocentrs izogonāli konjugēts ar centru ierobežots aplis .
• Ortocentrs atrodas uz vienas līnijas ar centroīdu, centru apgraizīts aplis un deviņu punktu apļa centrs (skat. Eilera taisni).
• Ortocentrs asa trijstūra ir tā ortotrijstūrī ierakstītā riņķa centrs.
• Trijstūra centrs, ko apraksta ortocentrs ar virsotnēm dotā trijstūra malu viduspunktos. Pēdējo trīsstūri sauc par trijstūri, kas papildina pirmo trīsstūri.
• Pēdējo īpašību var formulēt šādi: Ap trijstūri norobežotā apļa centrs kalpo ortocentrs papildu trīsstūris.
• Punkti, simetriski ortocentrs trijstūris attiecībā pret tā malām atrodas uz apļa apļa.
• Punkti, simetriski ortocentrs trijstūri attiecībā pret malu viduspunktiem arī atrodas uz ierobežotā apļa un sakrīt ar punktiem, kas ir diametrāli pretēji attiecīgajām virsotnēm.
• Ja O ir apļa ΔABC centrs, tad O H → = O A → + O B → + O C → (\displeja stils (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• Attālums no trijstūra virsotnes līdz ortocentram ir divreiz lielāks nekā attālums no apļveida loka centra līdz pretējai malai.
• Jebkurš segments, kas novilkts no ortocentrs Pirms krustošanās ar apli, to vienmēr dala uz pusēm ar Eilera apli. Ortocentrs ir šo divu apļu viendabības centrs.
• Hamiltona teorēma. Trīs taisnu līniju segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā trijstūra virsotnēm, sadala to trīs trīsstūros, kuriem ir tāds pats Eilera aplis (deviņu punktu aplis) kā sākotnējam akūtajam trīsstūrim.
• Hamiltona teorēmas sekas:
  • Trīs taisnas līnijas segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā trijstūra virsotnēm, sadala to trīs daļās Hamiltona trīsstūris kam ir vienādi ierobežotu apļu rādiusi.
  • Trīs ierobežoto apļu rādiusi Hamiltona trīsstūri vienāds ar apļa rādiusu, kas apvilkts ap sākotnējo akūto trīsstūri.
• Akūtā trijstūrī ortocentrs atrodas trīsstūra iekšpusē; strupā leņķī - ārpus trijstūra; taisnstūrveida formā - taisna leņķa virsotnē.

Vienādsānu trīsstūra augstumu īpašības

• Ja trijstūrī divi augstumi ir vienādi, tad trijstūris ir vienādsānu (Šteinera-Lemusa teorēma), un trešais augstums ir gan leņķa, no kura tas rodas, mediāna un bisektrise.
• Ir arī otrādi: vienādsānu trīsstūrī divi augstumi ir vienādi, un trešais augstums ir gan mediāna, gan bisektrise.
• Vienādmalu trīsstūrim visi trīs augstumi ir vienādi.

Trijstūra augstumu pamatu īpašības

• Pamatojums augstumi veido tā saukto ortotrijstūri, kuram ir savas īpašības.
• Aplis, kas apzīmēts ap ortotrijstūri, ir Eilera aplis. Šis aplis satur arī trīs trijstūra malu viduspunktus un trīs viduspunktus no trim segmentiem, kas savieno ortocentru ar trijstūra virsotnēm.
• Vēl viens pēdējā īpašuma formulējums:
  • Eilera teorēma deviņu punktu lokam. Pamatojums trīs augstumi patvaļīgs trīsstūris, tā trīs malu viduspunkti ( tās iekšējās pamatus mediānas) un trīs segmentu viduspunkti, kas savieno tā virsotnes ar ortocentru, visi atrodas uz viena apļa (uz deviņu punktu aplis).
• Teorēma. Jebkurā trīsstūrī segments, kas savieno pamatojums divi augstumi trīsstūris, nogriež dotajam līdzīgu trīsstūri.
• Teorēma. Trijstūrī segments, kas savieno pamatojums divi augstumi trijstūri, kas atrodas no divām pusēm antiparalēli trešajai personai, ar kuru viņam nav kopīgu uzskatu. Apli vienmēr var novilkt caur tā diviem galiem, kā arī caur abām trešās minētās malas virsotnēm.

Citas trīsstūra augstumu īpašības

• Ja trīsstūris daudzpusīgs (skalēns), tad tā iekšējais no jebkuras virsotnes novilktā bisektrise atrodas starp iekšējais mediāna un augstums, kas ņemts no vienas virsotnes.
• Trijstūra augstums ir izogonāli konjugēts ar diametru (rādiusu) ierobežots aplis, kas novilkta no tās pašas virsotnes.
• Akūtā trīsstūrī ir divi augstumi nogrieziet no tā līdzīgus trīsstūrus.
• Taisnā trīsstūrī augstums, kas novilkta no taisnā leņķa virsotnes, sadala to divos trīsstūros, kas ir līdzīgi sākotnējam.

Trijstūra minimālā augstuma īpašības

Trijstūra minimālajam augstumam ir daudz ekstrēmu īpašību. Piemēram:

• Trijstūra minimālās ortogonālās projekcijas uz taisnēm, kas atrodas trijstūra plaknē, garums ir vienāds ar mazāko no tā augstumiem.
• Minimālajam taisnajam griezumam plaknē, caur kuru var izvilkt stingru trīsstūrveida plāksni, jābūt vienādam ar šīs plāksnes mazāko augstumu.
• Nepārtraukti kustoties diviem punktiem pa trijstūra perimetru vienam pret otru, maksimālais attālums starp tiem kustības laikā no pirmās tikšanās uz otro nedrīkst būt mazāks par trijstūra mazākā augstuma garumu.
• Trijstūra minimālais augstums vienmēr atrodas šajā trīsstūrī.

Pamata attiecības

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),) Kur S (\displaystyle S)- trīsstūra laukums, a (\displaystyle a)- trijstūra malas garums, par kuru ir pazemināts augstums.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Kur b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- sānu izstrādājums, R − (\displaystyle R-) ierobežota apļa rādiuss
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Kur r (\displaystyle r)- ierakstītā apļa rādiuss.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Kur S (\displaystyle S) - trijstūra laukums.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- trijstūra mala, līdz kurai augstums samazinās h a (\displaystyle h_(a)).
• Vienādsānu trijstūra augstums, kas nolaists līdz pamatnei: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2, (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

Taisnā trijstūra augstuma teorēma

Ja taisnleņķa trijstūrī ABC augstums ir garums h (\displaystyle h) vilkts no taisna leņķa virsotnes, dala hipotenūzu ar garumu c (\displaystyle c) segmentos m (\displaystyle m) Un n (\displaystyle n), kas atbilst kājām b (\displaystyle b) Un a (\displaystyle a), tad šādas vienādības ir patiesas.

Trijstūri.

Pamatjēdzieni.

Trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim segmentiem un trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Segmentus sauc ballītēm, un punkti ir virsotnes.

Leņķu summa trīsstūris ir 180º.

Trīsstūra augstums.

Trīsstūra augstums- tas ir perpendikuls, kas novilkts no virsotnes uz pretējo pusi.

Akūtā trijstūrī augstums ir ietverts trīsstūrī (1. att.).

Taisnstūra trīsstūrī kājas ir trijstūra augstumi (2. att.).

Strupā trijstūrī augstums sniedzas ārpus trijstūra (3. att.).

Trijstūra augstuma īpašības:

Trijstūra bisektrise.

Trijstūra bisektrise- tas ir segments, kas sadala virsotnes stūri uz pusēm un savieno virsotni ar punktu pretējā pusē (5. att.).

Bisektora īpašības:

Trijstūra mediāna.

Trijstūra mediāna- tas ir segments, kas savieno virsotni ar pretējās puses vidu (9.a att.).

Trijstūra vidējā līnija.

Trijstūra vidējā līnija- tas ir segments, kas savieno tā abu malu viduspunktus (10. att.).

Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās

Trijstūra ārējais leņķis.

Ārējais stūris no trijstūra ir vienāds ar divu neblakus esošu iekšējo leņķu summu (11. att.).

Trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par jebkuru leņķi, kas nav blakus.

Taisns trīsstūris.

Taisns trīsstūris ir trīsstūris, kuram ir taisns leņķis (12. att.).

Sānu taisnleņķa trīsstūris pretējā taisnā leņķa sauc hipotenūza.

Pārējās divas puses sauc kājas.

Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī.

1) Taisnleņķa trijstūrī augstums, kas novilkts no taisnā leņķa, veido trīs līdzīgus trīsstūrus: ABC, ACH un HCB (14.a att.). Attiecīgi leņķi, ko veido augstums, ir vienādi ar leņķiem A un B.

Att.14a

Vienādsānu trīsstūris.

Vienādsānu trīsstūris ir trīsstūris, kura abas malas ir vienādas (13. att.).

Šīs vienādās puses sauc puses, un trešais - pamata trīsstūris.

Vienādsānu trijstūrī pamata leņķi ir vienādi. (Mūsu trīsstūrī leņķis A ir vienāds ar leņķi C).

Vienādsānu trīsstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir gan trijstūra bisektrise, gan augstums.

Vienādmalu trīsstūris.

Vienādmalu trīsstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas (14. att.).

Vienādmalu trīsstūra īpašības:

Ievērojamas trīsstūru īpašības.

Trijstūriem ir unikālas īpašības, kas palīdzēs veiksmīgi atrisināt problēmas, kas saistītas ar šīm formām. Dažas no šīm īpašībām ir aprakstītas iepriekš. Bet mēs tos atkārtojam vēlreiz, pievienojot tiem dažas citas brīnišķīgas funkcijas:

Trīsstūru vienādības zīmes.

Pirmā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Otrā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra mala un tai blakus esošie leņķi ir vienādi ar cita trijstūra malu un tai blakus esošiem leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Trešā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra trīs malas ir vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Trijstūra nevienlīdzība.

Jebkurā trīsstūrī katra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu.

Pitagora teorēma.

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trijstūra laukums.

1) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas reizinājuma un augstuma, kas novilkta uz šo pusi:

ak
S = ——
2

2) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no jebkuru divu tā malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām:

1
S = — AB · A.C. · grēks A
2

Trīsstūris, kas norobežots ap apli.

Apli sauc par ierakstītu trijstūrī, ja tas skar visas tā malas (16. att.). A).

Aplī ierakstīts trīsstūris.

Par trīsstūri tiek teikts, ka tas ir ierakstīts aplī, ja tas pieskaras tam ar visām virsotnēm (17. att. a).

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trīsstūris (18. att.).

Sinus akūts leņķis x pretī kāju līdz hipotenūzai.
To apzīmē šādi: grēksx.

Kosinuss akūts leņķis x taisnleņķa trīsstūra ir attiecība blakus kāju līdz hipotenūzai.
Apzīmēts šādi: cos x.

Pieskares akūts leņķis x- šī ir pretējās puses attiecība pret blakus esošo pusi.
Tas ir apzīmēts šādi: tgx.

Kotangenss akūts leņķis x- šī ir blakus esošās puses attiecība pret pretējo pusi.
Tas ir apzīmēts šādi: ctgx.

Noteikumi:

Kāja pretī stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un grēka reizinājumu x:

b = c grēks x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un cos reizinājumu x:

a = c cos x

Kāja pretī stūrim x, ir vienāds ar otrā posma reizinājumu ar tg x:

b = a tg x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar otrā posma reizinājumu ar ctg x:

a = b· ctg x.

Jebkuram asam leņķim x:

grēks (90° - x) = cos x

cos (90°- x) = grēks x

Risinot dažāda veida problēmas, gan tīri matemātiskas, gan lietišķas (īpaši būvniecībā), bieži vien ir jānosaka noteiktas ģeometriskas figūras augstuma vērtība. Kā aprēķināt šo vērtību (augstumu) trīsstūrī?

Ja mēs apvienosim 3 punktus pa pāriem, kas neatrodas uz vienas līnijas, tad iegūtais skaitlis būs trīsstūris. Augstums ir taisnes daļa no jebkuras figūras virsotnes, kas, krustojoties ar pretējo malu, veido 90° leņķi.

Atrodiet skalēnas trīsstūra augstumu

Noteiksim trijstūra augstuma vērtību gadījumā, ja figūrai ir patvaļīgi leņķi un malas.

Gārņa formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kur

p – puse no figūras perimetra, h(a) – nogrieznis uz malu a, kas novilkts tai taisnā leņķī,

p=(a+b+c)/2 – pusperimetra aprēķins.

Ja ir figūras laukums, varat izmantot sakarību h(a)=2S/a, lai noteiktu tās augstumu.

Trigonometriskās funkcijas

Lai noteiktu segmenta garumu, kas veido taisnu leņķi, krustojot ar malu a, var izmantot šādas attiecības: ja ir zināma mala b un leņķis γ vai mala c un leņķis β, tad h(a)=b*sinγ vai h(a)=c *sinβ.
Kur:
γ – leņķis starp malu b un a,
β ir leņķis starp malu c un a.

Saistība ar rādiusu

Ja sākotnējais trīsstūris ir ierakstīts aplī, varat izmantot šāda apļa rādiusu, lai noteiktu augstumu. Tās centrs atrodas vietā, kur krustojas visi 3 augstumi (no katras virsotnes) - ortocentrs, un attālums no tā līdz virsotnei (jebkurai) ir rādiuss.

Tad h(a)=bc/2R, kur:
b, c – 2 pārējās trīsstūra malas,
R ir apļa rādiuss, kas aptver trīsstūri.

Atrodiet augstumu taisnleņķa trijstūrī

Šāda veida ģeometriskajā figūrā 2 malas, krustojot, veido taisnu leņķi - 90°. Tāpēc, ja vēlaties tajā noteikt augstuma vērtību, jums jāaprēķina vai nu vienas kājas izmērs, vai segmenta izmērs, kas veido 90° ar hipotenūzu. Nosakot:
a, b – kājas,
c – hipotenūza,
h(c) – perpendikulāri hipotenūzai.
Varat veikt nepieciešamos aprēķinus, izmantojot šādas attiecības:

• Pitagora teorēma:

a=√(c 2-b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jo S=ab/2, tad h(c)=ab/c.

• Trigonometriskās funkcijas:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Atrodiet vienādsānu trīsstūra augstumu

Šis ģeometriskā figūra Tas izceļas ar divu vienāda izmēra malu un trešās – pamatnes klātbūtni. Lai noteiktu augstumu, kas novilkts uz trešo, atšķirīgo pusi, palīgā nāk Pitagora teorēma. Ar apzīmējumiem
a - puse,
c – bāze,
h(c) ir nogrieznis līdz c 90° leņķī, tad h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Trijstūra augstums ir perpendikuls, kas nolaižas no jebkuras trijstūra virsotnes uz pretējo malu vai tā pagarinājumu (malu, uz kuru perpendikuls nolaižas, šajā gadījumā sauc par trijstūra pamatni).

Strupā trijstūrī divi augstumi atrodas uz malu pagarinājuma un atrodas ārpus trijstūra. Trešais atrodas trīsstūra iekšpusē.

Akūtā trijstūrī visi trīs augstumi atrodas trijstūra iekšpusē.

Taisnstūra trīsstūrī kājas kalpo kā augstumi.

Kā atrast augstumu no bāzes un laukuma

Atcerēsimies formulu trijstūra laukuma aprēķināšanai. Trijstūra laukumu aprēķina pēc formulas: A = 1/2bh.

• A ir trīsstūra laukums
• b ir trijstūra mala, uz kuras augstums ir pazemināts.
• h - trijstūra augstums

Apskatiet trīsstūri un padomājiet par to, kādus daudzumus jūs jau zināt. Ja jums ir piešķirts laukums, atzīmējiet to ar "A" vai "S". Jums arī jāpiešķir puses nozīme, atzīmējiet to ar "b". Ja jums nav piešķirts laukums un nav piešķirts sāns, izmantojiet citu metodi.

Ņemiet vērā, ka trijstūra pamatne var būt jebkura mala, līdz kuras augstums ir pazemināts (neatkarīgi no tā, kā trijstūris ir novietots). Lai to labāk saprastu, iedomājieties, ka varat pagriezt šo trīsstūri. Pagrieziet to tā, lai tā puse, kuru zināt, būtu vērsta uz leju.

Piemēram, trijstūra laukums ir 20, un viena no tā malām ir 4. Šajā gadījumā "A = 20", "b = 4".

Aizstājiet jums dotās vērtības formulā, lai aprēķinātu laukumu (A = 1/2bh) un atrastu augstumu. Vispirms reiziniet malu (b) ar 1/2 un pēc tam sadaliet laukumu (A) ar iegūto vērtību. Tādā veidā jūs atradīsiet trīsstūra augstumu.

Mūsu piemērā: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Atcerieties vienādmalu trīsstūra īpašības. Vienādmalu trīsstūrī visas malas un visi leņķi ir vienādi (katrs leņķis ir 60˚). Ja jūs uzzīmējat augstumu šādā trīsstūrī, jūs iegūsit divus vienādus taisnstūrus.
Piemēram, apsveriet vienādmalu trīsstūri ar 8. malu.

Atcerieties Pitagora teorēmu. Pitagora teorēma nosaka, ka jebkurā taisnleņķa trijstūrī ar kājiņām “a” un “b” hipotenūza “c” ir vienāda ar: a2+b2=c2. Ar šo teorēmu var atrast vienādmalu trijstūra augstumu!

Sadaliet vienādmalu trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros (lai to izdarītu, uzzīmējiet augstumu). Pēc tam marķējiet viena no taisnleņķa trīsstūriem malas. Vienādmalu trijstūra sānu mala ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza “c”. Kāja “a” ir vienāda ar 1/2 no vienādmalu trijstūra malas, un kājiņa “b” ir vēlamais vienādmalu trijstūra augstums.

Tātad mūsu vienādmalu trīsstūra piemērā ar zināmo malu 8: c = 8 un a = 4.

Pievienojiet šīs vērtības Pitagora teorēmai un aprēķiniet b2. Pirmkārt, kvadrātā "c" un "a" (reiziniet katru vērtību ar sevi). Pēc tam no c2 atņemiet a2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Noņemt Kvadrātsakne no b2, lai atrastu trijstūra augstumu. Lai to izdarītu, izmantojiet kalkulatoru. Iegūtā vērtība būs jūsu vienādmalu trīsstūra augstums!

b = √48 = 6,93

Kā atrast augstumu, izmantojot leņķus un malas

Padomājiet par to, kādas nozīmes jūs zināt. Jūs varat atrast trīsstūra augstumu, ja zināt malu un leņķu vērtības. Piemēram, ja ir zināms leņķis starp pamatni un sāniem. Vai arī, ja ir zināmas visu trīs pušu vērtības. Tātad, apzīmēsim trijstūra malas: "a", "b", "c", trijstūra leņķus: "A", "B", "C" un laukumu - burtu "S".

Ja jūs zināt visas trīs malas, jums būs nepieciešams trīsstūra laukums un Herona formula.

Ja zināt abas malas un leņķi starp tām, varat izmantot šādu formulu, lai atrastu laukumu: S=1/2ab(sinC).

Ja jums ir dotas visu trīs malu vērtības, izmantojiet Herona formulu. Izmantojot šo formulu, jums būs jāveic vairākas darbības. Vispirms jums jāatrod mainīgais “s” (ar šo burtu mēs apzīmējam pusi no trīsstūra perimetra). Lai to izdarītu, aizstājiet zināmās vērtības ar šo formulu: s = (a+b+c)/2.

Trijstūrim ar malām a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultāts ir: s=12/2, kur s=6.

Pēc tam, kā otro soli, mēs atrodam laukumu (Gērona formulas otrā daļa). Platība = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Vārda "apgabals" vietā ievietojiet līdzvērtīgu formulu, lai atrastu laukumu: 1/2bh (vai 1/2ah, vai 1/2ch).

Tagad atrodiet līdzvērtīgu augstuma (h) izteiksmi. Mūsu trīsstūrim būs spēkā šāds vienādojums: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Kur 3/2h=√(6(2(3(1))). Izrādās, ka 3/2h = √(36). Izmantojot kalkulatoru, aprēķiniet kvadrātsakni. Mūsu piemērā: 3/2h = 6. Izrādās, ka augstums (h) ir vienāds ar 4, mala b ir pamatne.

Ja saskaņā ar problēmas nosacījumiem ir zināmas divas malas un leņķis, varat izmantot citu formulu. Aizstāt apgabalu formulā ar ekvivalentu izteiksmi: 1/2bh. Tādējādi jūs iegūsit šādu formulu: 1/2bh = 1/2ab(sinC). To var vienkāršot līdz šādai formai: h = a(sin C), lai noņemtu vienu nezināmu mainīgo.

Tagad atliek tikai atrisināt iegūto vienādojumu. Piemēram, pieņemsim, ka "a" = 3, "C" = 40 grādi. Tad vienādojums izskatīsies šādi: “h” = 3 (sin 40). Izmantojot kalkulatoru un sinusu tabulu, aprēķiniet “h” vērtību. Mūsu piemērā h = 1,928.

Pirmkārt, trīsstūris ir ģeometriska figūra, ko veido trīs punkti, kas neatrodas vienā taisnē un ir savienoti ar trim segmentiem. Lai atrastu trīsstūra augstumu, vispirms ir jānosaka tā veids. Trijstūri atšķiras pēc to leņķu lieluma un vienādu leņķu skaita. Atkarībā no leņķu lieluma trijstūris var būt akūts, strups un taisnstūrveida. Pamatojoties uz vienādu malu skaitu, trīsstūrus izšķir kā vienādsānu, vienādmalu un skalēnu. Augstums ir perpendikuls, kas ir nolaists trijstūra pretējā pusē no tā virsotnes. Kā atrast trīsstūra augstumu?

Kā atrast vienādsānu trīsstūra augstumu

Priekš vienādsānu trīsstūris Raksturīgi ir tas, ka malas un leņķi tā pamatnē ir vienādi, tāpēc vienādsānu trijstūra augstumi, kas novilkti uz sānu malām, vienmēr ir vienādi viens ar otru. Turklāt šī trīsstūra augstums ir gan mediāna, gan bisektrise. Attiecīgi augstums sadala pamatni uz pusēm. Mēs apsveram iegūto taisnstūra trīsstūri un atrodam malu, tas ir, vienādsānu trīsstūra augstumu, izmantojot Pitagora teorēmu. Izmantojot šādu formulu, mēs aprēķinām augstumu: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, kur: a ir šī vienādsānu trijstūra mala, b ir šī vienādsānu trijstūra pamatne.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra augstumu

Trīsstūri ar vienādām malām sauc par vienādmalu. Šāda trīsstūra augstums ir iegūts no vienādsānu trīsstūra augstuma formulas. Izrādās: H = √3/2*a, kur a ir šī vienādmalu trijstūra mala.

Kā atrast skalēnas trīsstūra augstumu

Skalēna ir trīsstūris, kura divas malas nav vienādas viena ar otru. Šādā trīsstūrī visi trīs augstumi būs atšķirīgi. Jūs varat aprēķināt augstumu garumus, izmantojot formulu: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, kur a ir trijstūra mala vai vispirms aprēķināt konkrēta trīsstūra laukumu, izmantojot Herona formulu, kas izskatās šādi: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, kur a, b, c ir skalēna trijstūra malas, un p ir tā pusperimetrs. Katrs augstums = 2*laukums/mala

Kā atrast taisnleņķa trijstūra augstumu

Taisnstūrim ir viens taisns leņķis. Augstums, kas iet uz vienu no kājām, vienlaikus ir arī otrā kāja. Tāpēc, lai atrastu augstumus, kas atrodas uz kājām, jums jāizmanto modificēta Pitagora formula: a = √(c 2 − b 2), kur a, b ir kājas (a ir kāja, kas jāatrod), c ir hipotenūzas garums. Lai atrastu otro augstumu, iegūtā vērtība a jāievieto b vietā. Lai atrastu trešo augstumu, kas atrodas trijstūra iekšpusē, tiek izmantota šāda formula: h = 2s/a, kur h ir taisnleņķa trijstūra augstums, s ir tā laukums, a ir malas garums, līdz kuram augstums būs perpendikulāri.

Trīsstūri sauc par akūtu, ja visi tā leņķi ir asi. Šajā gadījumā visi trīs augstumi atrodas akūtā trīsstūrī. Trijstūri sauc par stulbu, ja tam ir viens strups leņķis. Divi strupā trijstūra augstumi atrodas ārpus trijstūra un krīt uz malu turpinājumu. Trešā puse atrodas trīsstūra iekšpusē. Augstumu nosaka, izmantojot to pašu Pitagora teorēmu.

Vispārīgas formulas trijstūra augstuma aprēķināšanai

• Formula trijstūra augstuma noteikšanai caur malām: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), kur h ir atrodamais augstums, a, b un c ir malas dots trīsstūris, p ir tā pusperimetrs, .
• Formula trijstūra augstuma noteikšanai, izmantojot leņķi un malu: H=b sin y = c sin ß
• Formula trijstūra augstuma noteikšanai caur laukumu un malu: h = 2S/a, kur a ir trijstūra mala, un h ir augstums, kas konstruēts malai a.
• Formula trijstūra augstuma noteikšanai, izmantojot rādiusu un malas: H= bc/2R.