și un plan de tăiere care este paralel cu baza sa.
Sau cu alte cuvinte: trunchi de piramidă- acesta este un astfel de poliedru, care este format dintr-o piramidă și secțiunea sa paralelă cu baza.
O secțiune care este paralelă cu baza piramidei împarte piramida în 2 părți. Partea piramidei dintre baza și secțiunea sa este trunchi de piramidă.
Această secțiune pentru o piramidă trunchiată se dovedește a fi una dintre bazele acestei piramide.
Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate este înălțimea piramidei trunchiate.
Piramida trunchiată va corect când piramida din care a fost derivată era și ea corectă.
Înălțimea feței laterale trapezoidale a unei piramide trunchiate obișnuite este apotemă piramida trunchiată obișnuită.
Proprietățile unei piramide trunchiate.
1. Fiecare față laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este un trapez isoscel de aceeași dimensiune.
2. Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare.
3. Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt de dimensiuni egale și una este înclinată față de baza piramidei.
4. Fețele laterale ale unei trunchi de piramidă sunt trapeze.
5. Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de mărime egală.
6. Raportul ariilor bazelor: S 2 /S 1 \u003d k 2.
Formule pentru o piramidă trunchiată.
Pentru o piramidă arbitrară:
Volumul unei piramide trunchiate este egal cu 1/3 din produsul înălțimii h (OS) prin suma ariilor bazei superioare S1 (abcde), baza inferioară a piramidei trunchiate S2 (ABCDE) și media proporțională dintre ele.
Volumul piramidei:
Unde S1, S2- suprafata de baza,
h este înălțimea piramidei trunchiate.
Suprafata laterala 
este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale piramidei trunchiate.
Pentru o piramidă trunchiată obișnuită:
Piramida trunchiată corectă- un poliedru, care este format dintr-o piramidă regulată și secțiunea acesteia, care este paralelă cu baza.
Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este ½ produsul dintre suma perimetrelor bazelor sale și apotema.
Unde S1, S2- suprafata de baza,
φ este unghiul diedric de la baza piramidei.
CH este înălțimea piramidei trunchiate, P1Și P2- perimetrele bazelor, S1Și S2- zone de baza, partea S- suprafata laterala, S plin- suprafata totala:
Secțiunea unei piramide după un plan paralel cu baza.
Secțiunea piramidei printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțime) împarte înălțimea și marginile laterale ale piramidei în segmente proporționale.
Secțiunea piramidei printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțime) este un poligon care este similar cu baza piramidei, în timp ce coeficientul de similitudine al acestor poligoane corespunde raportului dintre distanța lor față de vârf. a piramidei.
Zonele secțiunilor care sunt paralele cu baza piramidei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârful piramidei.
Capacitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă în rezolvarea unui număr de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune forme este piramida. În acest articol, vom lua în considerare piramidele, atât pline, cât și trunchiate.
Piramida ca figură tridimensională
Toată lumea știe despre piramidele egiptene, așa că au o idee bună despre ce figură va fi discutată. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.
Obiectul geometric luat în considerare în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este conectat la un punct din spațiu care nu aparține planului de bază. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.
Orice piramidă este formată din n+1 fețe, 2*n muchii și n+1 vârfuri. Deoarece figura luată în considerare este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă ecuația lui Euler:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligonul situat la bază dă numele piramidei, de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Un set de piramide cu baze diferite este prezentat în fotografia de mai jos.
Punctul în care sunt conectate n triunghiuri ale figurii se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază și o intersectează în centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci există o piramidă înclinată.
O figură dreaptă, a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (echiunghiular), se numește regulată.
Formula de volum piramidală
Pentru a calcula volumul piramidei, folosim calculul integral. Pentru a face acest lucru, împărțim figura pe planuri secante paralele cu baza într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care un strat subțire de secțiune este marcat cu un patrulater.
Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată prin formula:
A(z) = A0 *(h-z)2/h2.
Aici A 0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z = 0, atunci formula dă valoarea A 0 .
Pentru a obține formula pentru volumul piramidei, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Înlocuind dependența A(z) și calculând antiderivată, ajungem la expresia:
V = -A0 *(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
Am obținut formula pentru volumul unei piramide. Pentru a găsi valoarea lui V, este suficient să înmulțiți înălțimea figurii cu aria bazei și apoi să împărțiți rezultatul cu trei.
Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de tip arbitrar. Adică poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.
și volumul acestuia
Primit la paragraful de mai sus formula generala pentru volum poate fi rafinat în cazul unei piramide cu o bază regulată. Aria unei astfel de baze se calculează prin următoarea formulă:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este numărul pi.
Înlocuind expresia pentru A 0 în formula generală, obținem volumul piramida corecta:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă duce la următoarea expresie:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, formula volumului ia forma:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Determinarea volumelor piramidelor obișnuite necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.
Piramida trunchiată
Să presupunem că am luat o piramidă arbitrară și am tăiat o parte din suprafața ei laterală care conține vârful. Figura rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze similare paralele. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeilalte cu un coeficient k.
Figura de mai sus prezintă una regulată trunchiată.Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.
Formula care poate fi derivată folosind un calcul integral similar cu cel de mai sus este:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Unde A 0 și A 1 sunt zonele bazei inferioare (mari) și, respectiv, superioare (mici). Variabila h desemnează înălțimea piramidei trunchiate.
Volumul piramidei lui Keops
Este curios să rezolvi problema determinării volumului pe care îl conține cea mai mare piramidă egipteană.
În 1984, egiptologii britanici Mark Lehner și Jon Goodman au stabilit dimensiunile exacte ale piramidei lui Cheops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungimea medie a fiecăreia dintre cele patru laturi ale structurii a fost de 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.
Să folosim cifrele date pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este un patruunghiular obișnuit, atunci formula este valabilă pentru aceasta:
Introducând numerele, obținem:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Volumul piramidei lui Keops este de aproape 2,6 milioane m 3. Pentru comparație, observăm că bazinul olimpic are un volum de 2,5 mii m 3. Adică, pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops, va fi nevoie de peste 1000 de astfel de bazine!
trunchi de piramidă se numește poliedru ale cărui vârfuri sunt vârfurile bazei și vârfurile secțiunii sale de un plan paralel cu baza.
Proprietățile piramidei trunchiate:
- Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare.
- Fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.
- Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt egale și egal înclinate spre baza piramidei.
- Fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale între ele și înclinate în mod egal către baza piramidei.
- Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt egale.
Suprafața și volumul unei piramide trunchiate
Fie - înălțimea piramidei trunchiate și - perimetrele bazelor piramidei trunchiate și - zonele bazelor piramidei trunchiate, - aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate, - aria a suprafeței întregi a trunchiului piramidei, - volumul trunchiului piramidei. Atunci sunt valabile următoarele relații:
.
Dacă toate unghiurile diedrice de la baza unei piramide trunchiate sunt egale și înălțimile tuturor fețelor laterale ale piramidei sunt egale, atunci
Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .
Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt egale triunghiuri isoscele. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.
Suprafața laterală piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.
Teoreme
1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.
2. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.
3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.
Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:
Unde V- volum;
S principal- suprafata de baza;
H este înălțimea piramidei.
Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:
Unde p- perimetrul bazei;
h a- apotema;
H- inaltime;
S plin
partea S
S principal- suprafata de baza;
V este volumul unei piramide regulate.
trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.
Fundamente trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.
Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:
(4)
Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;
S plin este suprafața totală;
partea S este aria suprafeței laterale;
H- inaltime;
V este volumul piramidei trunchiate.
Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:
Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;
h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.
Exemplul 1 In dreapta piramida triunghiulara unghiul diedrului la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 18).
 |
Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEȘi OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 dar. punct DESPRE secțiune BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: 
Din găsim: 
Răspuns:
Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patruunghiulare trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.
Soluţie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:
Răspuns: 112 cmc.
Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare obișnuite, ale cărei laturi de bază sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 19).
Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsește-l de unde DAR 1 E perpendicular de la un punct DAR 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la DAR 1 pe AC. DAR 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct DESPRE- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și 
OM este raza cercului înscris:
MK=DE.
Conform teoremei lui Pitagora din
Zona feței laterale: 
Răspuns:
Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze darȘi b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.
Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct DESPRE- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. După teorema ariei proiecție ortogonală figura plană obținem:
În mod similar, înseamnă 
Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct DESPRE este centrul unui cerc înscris într-un trapez.
Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem
O piramidă este un poliedru a cărui bază este reprezentată printr-un poligon arbitrar, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun, care corespunde vârfului piramidei.
Dacă o secțiune paralelă cu baza este desenată într-o piramidă, atunci figura va împărți în două părți. Se numește spațiul dintre baza inferioară și secțiune, delimitat de fețe trunchi de piramidă.
Formula pentru volumul unei piramide trunchiate este o treime din produsul înălțimii și suma ariilor bazelor superioare și inferioare cu proporția medie a acestora:
Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide trunchiate.
Problemă: Având în vedere o piramidă trunchiată triunghiulară. Înălțimea sa este h = 10 cm, laturile uneia dintre baze sunt a = 27 cm, b = 29 cm, c = 52 cm. Perimetrul celei de-a doua baze este P2 = 72 cm. Aflați volumul piramidei. 
Pentru a calcula volumul, avem nevoie de aria bazelor. Cunoscând lungimile laturilor unui triunghi, putem calcula >. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți semi-perimetrul: 
Acum să găsim S2: 
Știind că piramida este trunchiată, ajungem la concluzia că triunghiurile aflate la baze sunt asemănătoare. Coeficientul de similitudine al acestor triunghiuri poate fi găsit din raportul perimetrelor. Raportul ariilor triunghiurilor va fi egal cu pătratul acestui coeficient: 
Acum că am găsit zonele bazelor piramidei trunchiate, putem calcula cu ușurință volumul acesteia:
Astfel, calculând coeficientul de similaritate și calculând aria bazelor, am găsit volumul piramidei trunchiate date.
