Exemplu de aria unui triunghi. Aria unui triunghi. Formule generale pentru situația în care se cunosc razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este înmulțirea înălțimii cu lungimea bazei, urmată de împărțirea rezultatului la doi. in orice caz aceasta metoda departe de singurul. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom lua în considerare metode pentru calcularea ariei unor tipuri specifice de triunghi - dreptunghiular, isoscel și echilateral. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Modalități universale de a găsi aria unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notație specială. Vom descifra fiecare dintre ele:

• a, b, c sunt lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
• r este raza unui cerc care poate fi înscris în triunghiul nostru;
• R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
• α - valoarea unghiului format de laturile b si c;
• β este unghiul dintre a și c;
• γ - valoarea unghiului format de laturile a și b;
• h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
• p este jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul este ușor de completat până la un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trasate pe acesta. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original ar trebui să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului pe care îl formează. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, la înmulțirea lungimii laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h.

Aria figurii luate în considerare se găsește înmulțind jumătate din raza cercului, care poate fi înscrisă în el, cu perimetrul acestuia. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului circumscris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghic). Acest lucru se poate face cu ajutorul unor calcule mai complexe, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? O caracteristică a acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci aria se află după cum urmează:

Cum să găsești zona triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. Prin urmare, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este a, iar valoarea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este jumătate din produsul lungimii laturii a înmulțit cu rădăcina pătrată a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi regulat, aveți nevoie de pătratul laturii a înmulțit cu rădăcina pătrată a lui 3 și împărțit la 4.

Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri în planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:

1. Pozitiv - Zona nu poate fi mai mică de zero;
2. Normalizare - un pătrat cu o latură a unității are o zonă de 1;
3. Congruență - figurile congruente au aria egală;
4. Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.

Aria unui triunghi. În multe probleme de geometrie legate de calculul ariilor, se folosesc formule pentru aria unui triunghi. Sunt mai multe dintre ele, aici le vom considera pe cele principale.A enumera aceste formule ar fi prea simplu și inutil. Vom analiza originea principalelor formule, cele care sunt folosite cel mai des.

Înainte de a vă familiariza cu derivarea formulelor, asigurați-vă că vă uitați la articolul despre.După ce ați studiat materialul, puteți restabili cu ușurință formulele din memorie (dacă acestea „zboară” brusc la momentul potrivit pentru dvs.).

Prima formulă

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri de arie egală:

Prin urmare, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din aria paralelogramului:

Formula ariei triunghiului

* Adică, dacă știm orice latură a triunghiului și înălțimea coborâtă în această latură, atunci putem calcula întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula doi

După cum sa menționat deja în articolul despre aria unui paralelogram, formula are forma:

Aria unui triunghi este jumătate din aria sa, deci:

* Adică, dacă oricare două laturi dintr-un triunghi și unghiul dintre ele sunt cunoscute, putem calcula întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Formula lui Heron (a treia)

Această formulă este greu de obținut și nu aveți nevoie de ea. Uite ce frumoasa este, putem spune ca este amintita.

*Dacă sunt date trei laturi ale unui triunghi, atunci folosind această formulă putem calcula întotdeauna aria acestuia.

Formula Patru

Unde reste raza cercului înscris

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului înscris în el, atunci putem găsi întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula cinci

Unde Reste raza cercului circumscris.

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului circumscris, atunci putem găsi întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Apare întrebarea: dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi, atunci nu este mai ușor să-i găsești aria folosind formula lui Heron!

Da, este mai ușor, dar nu întotdeauna, uneori devine dificil. Are de-a face cu extragerea rădăcinilor. În plus, aceste formule sunt foarte convenabile de utilizat în problemele în care aria unui triunghi este dată, laturile sale sunt date și este necesar să se găsească raza unui cerc înscris sau circumscris. Astfel de sarcini sunt incluse în examen.

Să aruncăm o privire la formula:

Este un caz special al formulei pentru aria unui poligon în care este înscris un cerc:

Luați în considerare exemplul unui pentagon:

Conectăm centrul cercului cu vârfurile acestui pentagon și aruncăm perpendiculare din centru spre laturile sale. Obținem cinci triunghiuri, cu perpendicularele căzute fiind razele cercului înscris:

Aria pentagonului este:

Acum este clar că dacă vorbim despre un triunghi, atunci această formulă ia forma:

Formula șase

Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
   
3. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
   suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
   suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
este lungimea laturii pătratului,
este lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară este egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
sunt lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule pentru aria unui paralelogram

1. Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
   Zona paralelogramului
2. Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
   Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sinα

unde S este aria paralelogramului,
sunt lungimile laturilor paralelogramului,
este înălțimea paralelogramului,
este unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
   Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
   Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
   Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formulele zonei trapezului

1. Formula lui Heron pentru un trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimea bazelor trapezului,
   - lungimea laturilor trapezului,
   

Poate fi găsit cunoscând baza și înălțimea. Întreaga simplitate a schemei constă în faptul că înălțimea împarte baza a în două părți a 1 și a 2, iar triunghiul însuși în două triunghiuri dreptunghiulare, aria care se obține și. Atunci aria întregului triunghi va fi suma celor două zone indicate, iar dacă scoatem o jumătate din înălțime din paranteză, atunci în total obținem înapoi baza:

O metodă mai dificilă de calcul este formula Heron, pentru care trebuie să cunoașteți toate cele trei părți. Pentru această formulă, trebuie mai întâi să calculați semiperimetrul triunghiului: Formula lui Heron în sine implică rădăcina pătrată a semiperimetrului, înmulțită la rândul său cu diferența sa de fiecare parte.

Următoarea metodă, relevantă și pentru orice triunghi, vă permite să găsiți aria triunghiului prin două laturi și unghiul dintre ele. Dovada acestui lucru rezultă din formula cu înălțimea - tragem înălțimea la oricare dintre laturile cunoscute și prin sinusul unghiului α obținem că h=a⋅sinα . Pentru a calcula suprafața, înmulțiți jumătate din înălțime cu a doua latură.

O altă modalitate este să găsiți aria unui triunghi dat 2 unghiuri și latura dintre ele. Dovada acestei formule este destul de simplă și poate fi văzută clar din diagramă.

Coborâm înălțimea din partea de sus a celui de-al treilea colț spre partea cunoscută și, respectiv, numim segmentele rezultate x. Din triunghiuri dreptunghiulare se poate observa că primul segment x este egal cu produsul