Обем и площ на тетраедъра. Правилен тетраедър (пирамида). Правилен тетраедър

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (секционна твърда геометрия, задачи за пирамидата). Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът корен квадратен, а в скоби е основният израз.За прости радикални изрази може да се използва знакът "√".. правилен тетраедъре правилна триъгълна пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници.

За правилен тетраедър всички диедрични ъгли при ръбовете и всички триедрични ъгли при върховете са равни

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилен тетраедър са дадени в таблицата.

Където:
S - Площ на повърхността на правилен тетраедър
V - обем
h - височина, спусната до основата
r - радиус на окръжността, вписана в тетраедъра
R - радиус на описаната окръжност
а - дължина на ребрата

Практически примери

Задача.
Намерете повърхността на триъгълна пирамида с всеки ръб равен на √3

Решение.
Тъй като всички ръбове на триъгълна пирамида са равни, това е правилно. Повърхността на правилната триъгълна пирамида е S = a 2 √3.
Тогава
S = 3√3

Отговор: 3√3

Задача.
Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са 4 см. Намерете обема на пирамидата

Решение.
Тъй като в правилната триъгълна пирамида височината на пирамидата е проектирана към центъра на основата, която е и центърът на описаната окръжност, тогава

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Така че височината на пирамидата OM може да се намери от правоъгълен триъгълник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Обемът на пирамидата се намира по формулата V = 1/3 Sh
В този случай намираме площта на основата по формулата S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Отговор: 16√2/3см

Да разгледаме произволен триъгълник ABC и точка D, която не лежи в равнината на този триъгълник. Свържете тази точка със сегменти към върховете на триъгълника ABC. В резултат на това получаваме триъгълници ADC, CDB, ABD. Повърхността, ограничена от четири триъгълника ABC, ADC, CDB и ABD, се нарича тетраедър и се обозначава DABC.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат неговите лица.
Страните на тези триъгълници се наричат ръбове на тетраедъра. И техните върхове са върхове на тетраедър

Тетраедърът има 4 лица, 6 ребраИ 4 върха.
Две ръбове, които нямат общ връх, се наричат противоположни.
Често за удобство се нарича едно от лицата на тетраедъра основа, а останалите три лица са странични лица.

По този начин тетраедърът е най-простият полиедър, чиито лица са четири триъгълника.

Но също така е вярно, че всяка произволна триъгълна пирамида е тетраедър. Тогава също е вярно, че тетраедърът се нарича пирамида с триъгълник в основата си.

Височината на тетраедъранарича се сегмент, който свързва връх с точка, разположена на противоположната страна и перпендикулярна на нея.
Медиана на тетраедърнаречен сегмент, който свързва върха с точката на пресичане на медианите на противоположното лице.
Бимедиен тетраедърсе нарича сегмент, който свързва средните точки на пресичащите се ръбове на тетраедъра.

Тъй като тетраедърът е пирамида с триъгълна основа, обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата

Се площта на всяко лице,
Х- височината, спусната на това лице

Правилен тетраедър - специален вид тетраедър

Нарича се тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници правилно.
Свойства на правилния тетраедър:

Всички ръбове са равни.
Всички равнинни ъгли на правилния тетраедър са 60°
Тъй като всеки от върховете му е върхът на три правилни триъгълника, сумата от равнинните ъгли на всеки връх е 180°
Всеки връх на правилен тетраедър се проектира в ортоцентъра на противоположната страна (до пресечната точка на височините на триъгълника).

Нека ни бъде даден правилен тетраедър ABCD с ръбове равни на a . DH е неговата височина.
Нека направим допълнителни конструкции BM - височината на триъгълника ABC и DM - височината на триъгълника ACD .
Височина BM е равна на BM и е равна
Помислете за триъгълник BDM, където DH, което е височината на тетраедъра, също е височината на този триъгълник.
Височината на триъгълник, спусната до страната MB, може да бъде намерена с помощта на формулата

, където
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Заменете тези стойности във формулата за височина. Вземи

Да извадим 1/2а. Вземи

Приложете формулата разлика на квадратите

След някои малки трансформации получаваме

Обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата
,
където ,

Замествайки тези стойности, получаваме

Така формулата за обем за правилен тетраедър е

където а– ръб на тетраедър

Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

Нека ни бъдат дадени координатите на върховете на тетраедъра

Начертайте вектори от върха , , .
За да намерите координатите на всеки от тези вектори, извадете съответната начална координата от крайната. Вземи

Отговор: 6.

Отговор: 000

Площта на тетраедъра е 1. Намерете повърхността на полиедър, чиито върхове са средните точки на страните на този тетраедър.

Решение.

прототип.

Площта на тетраедъра е 12. Намерете повърхността на полиедър, чиито върхове са средните точки на ръбовете на този тетраедър.

Желаната повърхност се състои от четири двойки равни триъгълници, всеки от които има площ, равна на една четвърт от площта на лицето на оригиналния тетраедър. Следователно желаната площ е равна на половината от повърхността на тетраедъра и е равна на 6.

Отговор: 6.

Решение.