и режеща равнина, която е успоредна на основата му.
Или с други думи: пресечена пирамида- това е такъв полиедър, който се образува от пирамида и нейното сечение, успоредно на основата.
Секция, която е успоредна на основата на пирамидата, разделя пирамидата на 2 части. Частта от пирамидата между нейната основа и сечение е пресечена пирамида.
Този участък за пресечена пирамида се оказва една от основите на тази пирамида.
Разстоянието между основите на пресечена пирамида е височина на пресечена пирамида.
Пресечената пирамида ще правилнокогато пирамидата, от която е получен, също е била правилна.
Височината на страничната повърхност на трапец на правилна пресечена пирамида е апотемаредовна пресечена пирамида.
Свойства на пресечена пирамида.
1. Всяка странична повърхност на правилна пресечена пирамида е равнобедрен трапец със същия размер.
2. Основите на пресечена пирамида са подобни многоъгълници.
3. Страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са с еднакъв размер и единият е наклонен спрямо основата на пирамидата.
4. Страничните лица на пресечена пирамида са трапецоиди.
5. Двугранните ъгли при страничните ръбове на правилна пресечена пирамида са с еднаква големина.
6. Съотношението на площите на основите: S 2 /S 1 = k 2.
Формули за пресечена пирамида.
За произволна пирамида:
Обемът на пресечена пирамида е равен на 1/3 от произведението на височината з (операционна система) от сбора на площите на горната основа S1 (а б В Г Д), долната основа на пресечената пирамида S2 (А Б В Г Д) и средната пропорционална стойност между тях.
Обем на пирамидата:
където S1, S2- основна площ,
зе височината на пресечена пирамида.
Площ на страничната повърхност 
е равен на сбора от площите на страничните лица на пресечената пирамида.
За обикновена пресечена пирамида:
Правилна пресечена пирамида- полиедър, който се образува от правилна пирамида и нейното сечение, което е успоредно на основата.
Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е ½ произведението на сбора от периметрите на нейните основи и апотема.
където S1, S2- основна площ,
φ е двугранният ъгъл в основата на пирамидата.
CHе височината на пресечена пирамида, P1и P2- периметрите на основите, S1и S2- базови площи, S страна- странична повърхност, S пълен- обща площ:
Разрез на пирамида от равнина, успоредна на основата.
Сечението на пирамидата от равнина, която е успоредна на основата й (перпендикулярна на височината), разделя височината и страничните ръбове на пирамидата на пропорционални сегменти.
Сечението на пирамидата от равнина, която е успоредна на нейната основа (перпендикулярна на височината), е многоъгълник, който е подобен на основата на пирамидата, докато коефициентът на подобие на тези многоъгълници съответства на съотношението на техните разстояния от върха на пирамидата.
Площите на сеченията, които са успоредни на основата на пирамидата, са свързани като квадратите на техните разстояния от върха на пирамидата.
Възможността за изчисляване на обема на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните форми е пирамидата. В тази статия ще разгледаме пирамидите, както пълни, така и пресечени.
Пирамида като триизмерна фигура
Всички знаят за египетските пирамиди, така че имат добра представа за каква фигура ще се говори. Въпреки това египетските каменни конструкции са само частен случай на огромен клас пирамиди.
Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с някаква точка от пространството, която не принадлежи на базовата равнина. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.
Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2*n ръба и n+1 върха. Тъй като разглежданата фигура е перфектен полиедър, броят на маркираните елементи се подчинява на уравнението на Ойлер:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многоъгълникът, разположен в основата, дава името на пирамидата, например триъгълна, петоъгълна и т.н. На снимката по-долу е показан набор от пирамиди с различни основи.
Точката, в която са свързани n триъгълника на фигурата, се нарича връх на пирамидата. Ако от него се спусне перпендикуляр към основата и го пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарече права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава има наклонена пирамида.
Права фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгъл, се нарича правилна.
Формула за обем на пирамида
За да изчислим обема на пирамидата, използваме интегралното смятане. За да направите това, ние разделяме фигурата на секущи равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. На фигурата по-долу е показана четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която тънък разрез е отбелязан с четириъгълник.
Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Тук A 0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z = 0, тогава формулата дава стойността A 0 .
За да получите формулата за обема на пирамидата, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Замествайки зависимостта A(z) и изчислявайки антипроизводната, стигаме до израза:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
Получихме формулата за обема на пирамида. За да намерите стойността на V, достатъчно е да умножите височината на фигурата по площта на основата и след това да разделите резултата на три.
Имайте предвид, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от произволен тип. Тоест той може да бъде наклонен, а основата му може да бъде произволен n-ъгълник.
и неговия обем
Получено в параграф по-горе обща формулаза обем може да се прецизира в случай на пирамида с правилна основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото пи.
Замествайки израза за A 0 в общата формула, получаваме обема правилна пирамида:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Например за триъгълна пирамида тази формула води до следния израз:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
За правилна четириъгълна пирамида формулата за обем приема формата:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Определянето на обемите на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.
Пирамида пресечена
Да предположим, че сме взели произволна пирамида и отрязахме част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни бази и n трапеци, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с успоредни подобни основи. Тоест дължините на страните на едната от тях могат да се получат чрез умножаване на дължините на другата по някакъв коефициент k.
На фигурата по-горе е изобразен пресечен правилен.Вижда се, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.
Формулата, която може да бъде извлечена с помощта на интегрално изчисление, подобно на даденото, е:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Където A 0 и A 1 са площите съответно на долната (голяма) и горната (малка). Променливата h означава височината на пресечена пирамида.
Обемът на пирамидата на Хеопс
Любопитно е да се реши задачата за определяне на обема, който съдържа най-голямата египетска пирамида.
През 1984 г. британските египтолози Марк Легнер (Mark Lehner) и Джон Гудман (Jon Goodman) установяват точните размери на пирамидата на Хеопс. Първоначалната му височина е 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средната дължина на всяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.
Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, тогава формулата е валидна за нея:
Включвайки числата, получаваме:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Обемът на пирамидата на Хеопс е почти 2,6 милиона m 3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският басейн има обем от 2,5 хиляди m 3. Тоест, за да се запълни цялата пирамида на Хеопс, ще са необходими повече от 1000 такива басейна!
пресечена пирамидасе нарича полиедър, чиито върхове са върховете на основата и върховете на сечението му от равнина, успоредна на основата.
Свойства на пресечена пирамида:
- Основите на пресечена пирамида са подобни многоъгълници.
- Страничните лица на пресечена пирамида са трапецоиди.
- Страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са равни и еднакво наклонени към основата на пирамидата.
- Страничните лица на правилната пресечена пирамида са равнобедрени трапеции, равни един на друг и еднакво наклонени към основата на пирамидата.
- Двугранните ъгли при страничните ръбове на правилната пресечена пирамида са равни.
Площ и обем на пресечена пирамида
Нека - височината на пресечена пирамида, и - периметрите на основите на пресечена пирамида, и - площите на основите на пресечена пирамида, - площта на страничната повърхност на пресечена пирамида, - площта от пълната повърхност на пресечена пирамида, - обемът на пресечена пирамида. Тогава са налице следните отношения:
.
Ако всички двугранни ъгли в основата на пресечена пирамида са равни и височините на всички странични повърхности на пирамидата са равни, тогава
пирамидасе нарича полиедър, едната от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .
Странично ребропирамида се нарича страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата Височина пирамидата е разстоянието от върха й до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Разрез на пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.
Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сбор от площите на всички странични лица. Пълна площ е сборът от площите на всички странични лица и основата.
Теореми
1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.
2. Ако в пирамидата всички странични ръбове имат еднакви дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.
3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.
За да се изчисли обемът на произволна пирамида, формулата е правилна:
където V- сила на звука;
S основно- базова площ;
Хе височината на пирамидата.
За обикновена пирамида следните формули са верни:
където стр- периметърът на основата;
з а- апотема;
Х- височина;
S пълен
S страна
S основно- базова площ;
Vе обемът на правилна пирамида.
пресечена пирамиданарича се частта от пирамидата, затворена между основата и сечещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида нарича се частта от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.
Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно лице. диагонално сечение Секция от пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.
За пресечена пирамида формулите са валидни:
(4)
където С 1 , С 2 - области на горната и долната основа;
S пълене общата повърхност;
S странае страничната повърхност;
Х- височина;
Vе обемът на пресечена пирамида.
За обикновена пресечена пирамида е вярна следната формула:
където стр 1 , стр 2 - периметри на основата;
з а- апотема на правилна пресечена пирамида.
Пример 1В дясното триъгълна пирамидадвугранният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклон на страничния ръб към равнината на основата.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 18).
 |
Пирамидата е правилна, което означава, че основата е равностранен триъгълник и всички странични страни са равни равнобедрени триъгълници. Двугранният ъгъл в основата е ъгълът на наклон на страничната повърхност на пирамидата спрямо равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата е проектиран в центъра на триъгълника (центърът на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклон на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи OB. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Олинеен сегмент BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: 
От намираме: 
Отговор:
Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.
Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечена пирамида:
Отговор: 112 см3.
Пример 3Намерете площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито основни страни са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 19).
Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Основите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го от къде НО 1 Еперпендикулярно от точка НО 1 в равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от НО 1 на AC. НО 1 Е\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и 
ОМе радиусът на вписаната окръжност:
MK=DE.
Според питагоровата теорема от
Странична лицева област: 
Отговор:
Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи б (а> б). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата j. Намерете общата повърхност на пирамидата.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 21). Обща площ на пирамидата SABCDе равно на сбора от площите и площта на трапеца ABCD.
Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. триъгълник СОДе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. По теорема за площта ортогонална проекциясамолетна фигура получаваме:
По същия начин това означава 
Така проблемът се свежда до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). точка Ое центърът на окръжност, вписана в трапец.
Тъй като окръжността може да бъде вписана в трапец, тогава или По теоремата на Питагор имаме
Пирамидата е полиедър, чиято основа е представена от произволен многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх, който съответства на върха на пирамидата.
Ако в пирамида се начертае секция, успоредна на основата, тя ще раздели фигурата на две части. Пространството между долната основа и секцията, ограничено от лица, се нарича пресечена пирамида.
Формулата за обема на пресечена пирамида е една трета от произведението на височината и сумата от площите на горната и долната основа с тяхната средна пропорционална стойност:
Помислете за пример за изчисляване на обема на пресечена пирамида.
Проблем: Дадена е триъгълна пресечена пирамида. Височината му е h = 10 см, страните на една от основите са a = 27 см, b = 29 см, c = 52 см. Периметърът на втората основа е P2 = 72 см. Намерете обема на пирамидата. 
За да изчислим обема, се нуждаем от площта на основите. Като знаем дължините на страните на един триъгълник, можем да изчислим >. За да направите това, трябва да намерите полупериметъра: 
Сега нека намерим S2: 
Знаейки, че пирамидата е пресечена, заключаваме, че триъгълниците, лежащи в основите, са подобни. Коефициентът на подобие на тези триъгълници може да се намери от съотношението на периметрите. Съотношението на площите на триъгълниците ще бъде равно на квадрата на този коефициент: 
Сега, когато намерихме площите на основите на пресечена пирамида, можем лесно да изчислим нейния обем:
По този начин, чрез изчисляване на коефициента на подобие и изчисляване на площта на основите, ние намерихме обема на дадена пресечена пирамида.
